广东省佛山市禅城区惠景中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题答案

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2.作答时请不要超出答卷密封线．
3.不能使用计算器．
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在下列实数中：（相邻的两个4之间3的个数逐次加1），无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．
【详解】解：0，，是整数，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
无理数有，（相邻两个3之间4的个数逐次加，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数，算术平方根，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
2. 三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）

A. 6B. 4C. 64D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形面积公式求出直角边的长和斜边长，再根据勾股定理求出另一直角边长即可得出结论．
【详解】解：面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，
由勾股定理得，正方形的边长，
∴正方形的面积为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，掌握以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积是解题的关键．
3. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根以及积的乘方的运算法则逐项判断即可作答．
【详解】A项，，原计算错误，故本项不符合题意；
B项，，原计算错误，故本项不符合题意；
C项，，原计算错误，故本项不符合题意；
D项，，计算正确，故本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根以及积的乘方的运算，掌握相应的运算法则以及算术平方根的定义是解答本题的关键．
4. 已知一个直角三角形两边长分别为3和5，这第三边长的平方是（ ）
A. 16B. 16或34C. 16或31D. 34
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条题意，求第三边的长的平方必须分类讨论，即第三边是斜边或是直角边的两种情况，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】当第三边是直角边时，则可设第三边为斜边值x，
由勾股定理得：，
当第三边是斜边时，则可设第三边直角边值x，
由勾股定理得：．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，当已知条件没有明确哪边是斜边时，必须分类讨论．
5. 等腰三角形腰长为13cm，底边长为10cm，则其面积为 ( )
A. 30B. 40C. 50D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可知BD=BC=5cm，AD⊥BC，再由勾股定理即可求出AD的长，最后由三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作等腰底边BC上的高AD，
根据题意可得：AB=13cm．
∵为等腰三角形，
∴BD=BC=5cm，AD⊥BC，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．利用等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
6. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，在下列关系中，不属于直角三角形的是（ ）
A. b2=a2﹣c2 B. a：b：c=3：4：5
C. ∠A﹣∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，三角形内角和为180°进行分析即可．
【详解】A选项：∵b2=a2-c2，∴a2=b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；
B选项：∵32+42=52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C选项：∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴是直角三角形，故此选项不合题意；
D选项：∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴∠C=180°× =75°，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选D.
【点睛】主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7. 如图，能判定的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法对各选项进行判断即可．
【详解】选项A：若，不能判定，故A选项不符题意，
选项B：若，不能判定，故B选项不符题意，
选项C：若，不能判定，故C选项不符题意，
选项D：若，根据内错角相等，两直线平行能判定，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法及搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念是解题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 估算的值在1和2之间
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式中，被开方数越大，这个实数也就越大，据此即可作答．
【详解】根据二次根式的性质有：，，
∴，故B、C项错误；
∵，，
∴，，
∴，故D项错误；
∵，
∴，
∴，故A项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的估算，二次根式的减法运算，属于基础题，掌握估算无理数的方法是解题的关键．
9. 如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A. 2.5B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．
【详解】解：四边形OABC是矩形，
，
在中，由勾股定理可知：，
，
弧长为，故在数轴上表示的数为，
故选：．
【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．
10. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A. 如图1，展开后测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意；
C．测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；
D．在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAC=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定是解题的关键．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷中）
11. 4的算术平方根是_____；﹣27的立方根是_____．
【答案】 ①. 2 ②. -3
【解析】
【分析】分别根据算术平方根及立方根的定义进行解答．
【详解】解：∵（±2）2＝4，
∴4的算术平方根，2；
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：2，﹣3．
【点睛】本题考查的是算术平方根及立方根的定义，注意一个正数正的平方根叫这个数的算术平方根；立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．
12 如图，射线，分别与直线相交于点G、H，若，，则_____．

【答案】##115度
【解析】
【分析】利用线段平行的判定与性质定理即可解答．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段平行的判定与性质，解题的关键是熟练掌握线段平行的判定与性质这一知识点．
13. 命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_________，结论是_____________．
【答案】 ①. 两直线平行 ②. 内错角相等
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
【详解】解：将命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果两直线平行，那么内错角相等”，
所以该命题的题设为：两直线平行；结论为：内错角相等．
故答案为：两直线平行；内错角相等．
14. 若x，y为实数，且，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据非负性得出x、y的值，进而解答即可．
【详解】解：由题意可得：x+2=0，y-3=0，
可得：x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入，
故答案为：1
【点睛】此题考查非负性和乘方运算，关键是根据非负性得出x、y的值．
15. 如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是_____．
【答案】25
【解析】
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，
根据题意得：，，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
即，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
16. 如图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据折叠变换的性质可得，设设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求出，问题得解.
【详解】解：∵长方形纸片折叠C点与A点重合，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∴，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了折叠变换的性质，勾股定理等知识，主要利用了翻折前后对应线段相等，难点在于利用勾股定理列出方程.
三、解答题（本大题的解答过程要求写必要的基本步骤，17~19题每小题6分，20~22题每小题7分，23~25题9分，共66分）
17. 计算
【答案】9
【解析】
【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂，乘方等运算法则计算即可求得结果．
【详解】解：
=
．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂等知识，解题的关键是正确运用运算法则进行化简．
18. 解方程
【答案】
【解析】
【分析】先化简，得到一元一次方程，将x系数化为1即可．
【详解】解：，
即，
化简得：，
解得：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解答此题的关键．
19. 已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，，F是AD上一点，FE延长线交BC的延长线于点G．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠B，即可得出答案；
【详解】证明：∵∠EGH是△FBG的外角，
∴∠EGH＞∠B，
又∵，
∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGH＞∠ADE．
【点睛】．本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质的应用，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
20. 完后才能下面推理过程：
如图，已知，，可推得平行，理由如下：
∵（已知）
且（_______________），
∴（_____________________），
∴（__________________________），
∴，
∵，
∴ __________（等量代换）．
∴平行（_______________________）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据题干给出的证明思路，结合平行线的判定与性质，即可作答．
【详解】∵（已知）
且（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴，
∵，
∴（等量代换）.
∴平行（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握同位角相等，两直线平行以及内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键．
21. 某单位有一块四边形的空地，，量得个边的长度米，米，米，米，现计划在空地内种草．

（1）连接，证明：是直角三角形；
（2）若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
【答案】（1）见解析 （2）1080元
【解析】
【分析】（1）先求的长，再使用勾股定理的逆定理即可证明；
（2）利用求出面积即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，在中，

，
在中，
，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
（平方米），
∴所需费用为（元）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理和求四边形面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点及运用割补法求面积．
22. 如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选取（1）中一个正确的命题进行证明．
【答案】（1）正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么①
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法来判断即可作答；
（2）根据全等三角形的判定与性质，即可证明．
【小问1详解】
正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么①，
【小问2详解】
如果①，③，那么②，
证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
即．
如果②，③，那么①，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有，，，、等．
23. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），5
【解析】
【分析】（1）直接利用单项式乘单项式，整式的乘除进行计算即可；
（2）直接利用完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可化简，最后代值即可计算．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合计算与化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合计算的运算法则．
24. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2， 也可以表示为4×ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上高CD的长为多少?
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2， 画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．
【答案】(1)详见解析;(2) ;(3)详见解析>
【解析】
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高．
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【详解】解：（1）梯形ABCD面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2，
也利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2=ab+c2+ab，即a2+b2=c2
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4=×5×h，
∴h=．
（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，
∴边长为（a+2b）（a+b），
由此可画出的图形为：
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.
25. （1）如图1，在中，平分，平分，若，则_______；若，则_______；

（2）如图2，在中，，三等分，，三等分．若，则_______；

（3）如图3，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

（4）如图4，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．

【答案】（1），，（2），（3），（4），理由见详解
【解析】
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可；
（2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；
（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出和，然后根据三角形的内角和定理列式表示出，然后整理即可得解；
（4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解．
【详解】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
；
由三角形的内角和定理得，，
平分，平分，
，，
，
；
故答案为：，；
（2）由三角形的内角和定理得，，
，三等分，，三等分，
，，
，
；
故答案为：；
（3）是外角与外角的平分线和的交点，
，，
在中，
，
由三角形的内角和定理得，，
；
（4）．
理由如下：由三角形的外角性质得，，
，
是与外角的平分线和的交点，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．