广东省佛山市南海区桂江第一初级中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题答案

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佛山市南海区2019−2020桂江一中八年级上第一次段考试卷
考试时间100分钟 满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各组数中，不是“勾股数”的是 ( )
A. 7，24，25B. 1，，C. 6，8，10D. 9，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股数的定义：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数进行判断即可．
【详解】∵,不是正整数，
∴不是“勾股数”的是1,,.
故选B.
【点睛】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念.
2. 的相反数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解．
【详解】解：=2，
∴的相反数是-2，
故选B．
【点睛】本题考查了相反数的意义和立方根，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3. 估计的值（ ）．
A. 在3到4之间B. 在4到5之间C. 在5到6之间D. 在6到7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴在5到6之间．
故选C．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分与小数部分是解题的关键．
4. 和数轴上的点一一对应的是( )
A. 整数B. 有理数C. 无理数D. 实数
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数与数轴的关系，可得答案．
【详解】实数与数轴上的点一一对应，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数与数轴上的点一一对应．
5. 实数，，，，，（相邻两个之间依次多一个），其中无理数有（ ）个
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称即可解答．
【详解】解：∵，，是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
，（相邻两个之间依次多一个），，属于无理数；
∴无理数共有个，
故选．
【点睛】本题考查了无理数的概念，有理数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．
6. 下列根式中，最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式
【详解】解：A、，不最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．
7. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的面积为，再利用图中面积的关系解答即可．
【详解】解：设面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的面积为，
∴，，
由图可知：，
∴，
∴图中字母所代表的正方形面积为，
故选．
【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
8. 由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A. 8mB. 10mC. 16mD. 18m
【答案】C
【解析】
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．
所以大树的高度是10＋6＝16米．
故选：C．
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
9. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴错误，
故项不符合题意；
∵，
∴正确，
故项符合题意；
∵，
∴错误，
故项不符合题意；
∵，
∴错误，
故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质，掌握对应法则是解题的关键．
10. 已知为实数，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，平方的非负性，一元一次方程的实际应用，掌握二次根式的非负性及平方的非负性是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 的平方根是________，的立方根是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，开平方运算解答即可．
【详解】解：①∵，
∴的平方根是，
故答案为；
②∵，
∴，
∴的立方根为，
∴的立方根是，
故答案为．
【点睛】本题考查了平方根的定义，开平方运算，立方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
12. 满足的整数是_________________________。
【答案】－1、0、1、2
【解析】
【分析】根据-＜-1＜0＜=2，从而可求出符合条件的整数，从而得出答案．
【详解】因为-＜-1＜0＜=2，
所以满足的整数是－1、0、1、2.
故答案为：－1、0、1、2
【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用．
13. 的绝对值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
14. 若的平方根是±3，则__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平方根的定义先得到（±3）2=2a-1，解方程即可求出a．
【详解】解：∵2a-1的平方根为±3，
∴（±3）2=2a-1，
解得a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
15. 已知聪明的同学你能不用计算器得出（1）_______．（2）_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可．
【详解】解：（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键．
16. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为.若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径的长度是________.
【答案】13
【解析】
【分析】该题主要考查曲面（或折面）上的最短路径的求解，这在我们平时做题时会经常遇到，对于这类涉及到空间图形的问题，我们一般的解法就是作出立体图形的侧面展开图，然后进行分析，利用平面知识解决曲面问题，这也是一种很好的转化思想．
【详解】解：
根据题意，画出侧面展开图.

故答案为：13.
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键在于把侧面展开后根据两点之间线段最短去求解.
三、解答题（一）（每题6分，共18分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）把12和8分解出一些平方数的因数，根据二次根式乘法法则和二次根式性质化简和，再约分，合并同类二次根式；
（2）把48和27分解出一些平方数的因数，根据二次根式乘法法则和二次根式性质化简和，把的分子分母都乘3，化简，再合并同类二次根式．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握分解因式，二次根式的乘、除法法则，二次根式的性质，是解题的关键．这里用到的二次根式的性质是，二次根式的乘法法则是，二次根式的除法法则是．
18. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式及二次根式的性质化简即可解答；
（2）将方程化简为，再利用开立方运算法则即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
整理得：，
开立方得：，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算法则，含有立方的方程的解法，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
19. 一个正方体，它的体积是棱长为2cm的正方体的体积的27倍，求这个正方体的棱长是多少？
【答案】
【解析】
【分析】设该正方体的棱长为cm，根据题意建立等量关系，再开立方即可求解．
【详解】解：设该正方体的棱长为cm，由题意得：
即
解得：
故：该正方体的棱长为．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算、立方根．根据实际问题建立等量关系是解题关键．
四、解答题（二）（小题7分，共21分）
20. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计强的厚度，请计算阳光透过的最大面积．

【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出长方形的宽，再根据矩形的面积公式即可求出面积．
【详解】解∶根据勾股定理，得直角三角形的斜边是，
所以阳光透过的最大面积是．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，注意阳光透过的最大面积，即是长方形的面积．
21. 如图所示，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求出旗杆在离底部多少米的位置断裂？
【答案】离底6米处折断.
【解析】
【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．
【详解】解：在Rt△ABC中，C=90º ，BC=8米
设AC=x米，则AB=（16 – x ）米
∵
即
解得x = 6
答：旗杆在离底部6米的位置断裂．
22. 如图，长方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或进行计算．

（1）在图1中，画一条长为的线段；
（2）在图2中，画一个面积为的钝角三角形；
（3）在图3中，计算图中四边形的面积．
【答案】（1）图解析；
（2）图解析； （3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理，数形结合思想作出图形即可；
（2）作一个底为，高为的三角形即可；
（3）把四边形面积看成矩形面积减去周围三个三角形即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴即为所求；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴是即为所求；
【小问3详解】
解：如图，．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，四边形的面积，勾股定理，勾三角形的面积，学会利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
五、解答题（三）（每题9分，共27分）
23. 一个零件的形状如图，工人师傅按规定做得，，，，，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

【答案】36
【解析】
【分析】利用勾股定理求，再利用勾股定理逆定理求，分别求的面积．
【详解】，，，
∴，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的应用，掌握勾股定理以及逆定理的应用；学会用割补法去求算图形的面积是解题的关键．
24. 新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式：（海伦公式）若有一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积；八年级的学生小明发现利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．
（1）以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为，
即，
∴____________．
根据海伦公式可得：
（2）小明是个爱动脑筋的学生，他想，能不能不用公式也可以求解此题呢，首先，他想到，要求面积，若令底为，必须要求高，因此他作了下图，并且作了高，但接下去该怎么做，他就没有思路了，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？

【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据可得的值，最后利用海伦公式即可解答；
（2）根据三角形的高线可知。设，利用勾股定理列方程即可解答．
【小问1详解】
解：∵一个三角形边长依次为，
即，
∴，
根据海伦公式可得：，
故答案为，；
【小问2详解】
解：∵是的高线，
∴，
∵，
∴设，则,
∵，，
∴
∴，
∴，
即，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的高线，海伦公式，读懂题意理解海伦公式是解题的关键．
25. 探索与研究：
方法1：如图（a），对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转所得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图（b），是任意的符合条件的两个全等的和拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

【答案】见解析
【解析】
【分析】方法1：根据， 可得，可得，即可；
方法2：如图，连接，由，可得，再由， 可得，再由，即可得结论．
【详解】解：方法1：∵由图（a）可知，
∴，
又∵正方形的边长为b， ，，
∴
即
整理得∶；
方法2：如图，连接，
∵，
∴，

由图形知，
如图（b）中， ，
∴，
由图（b），，
又∵， ，，， ，
∴
即
整理得∶ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，利用面积法证明勾股定理是解题的关键．