河北省保定市莲池区河北保定师范附属学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试题答案

这是一份河北省保定市莲池区河北保定师范附属学校2022-2023学年九年级上学期月考数学试题答案，共24页。试卷主要包含了 下列方程中是一元二次方程的是， 一元二次方程的解是， 矩形具有而菱形不具有的性质是， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；
B．是二元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
C．当时，、、是常数时，是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
D．是分式方程，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】用因式分解的方法解方程即可．
【详解】x2-4x=0，
x（x-4）=0，
x=0，x-4=0，
x1=0，x2=4，
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对边平行且相等B. 对角线垂直C. 对角线互相平分D. 对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题．
【详解】解：矩形性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．
4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：
，
，
．
故选A．
【点睛】题目主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.
【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.
7. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，连接，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形和等边三角形的性质，得出，，再根据等边对等角的性质，得到，然后根据三角形内角和定理，得到，即可求出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键．
8. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D.
【答案】B
【解析】
【分析】把代入原方程，再结合一元二次方程的定义可得答案．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，理解方程的解的含义是解本题的关键．
9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
∴可配成紫色的概率是：
故选D．
10. 已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等的实数解
D. 当时，方程总有两个不相等实数解
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，．
当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，
当且时，方程有两个不相等的实数解．
综上所述，说法C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
11. 根据下列表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A. B. C. D. 无法判定
【答案】A
【解析】
【分析】由表格可发现y的值和0.84之间有个0，再看对应的x的值即可得．
【详解】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
所以的一个解x的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
12. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线的性质求解即可.
【详解】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=BO=OC，OM为△ACD的中位线，
∴OM=CD=2.5，AC==13，
∴BO=OA=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选D．
【点睛】BEN本题考查矩形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答的关键.
13. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 289（1﹣x）2=256B. 256（1﹣x）2=289
C. 289（1﹣2x）2=256D. 256（1﹣2x）2=289
【答案】A
【解析】
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，掌握增长率类问题的一般等量关系是解题的关键．
14. 边长为的正方形绕点A逆时针旋转30°得到正方形，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）

A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正方形的性质证明，进而得到，再利用的三角函数值求解即可
【详解】解：如图，设与相交于点，

在和，
，
∴，
∴
∵旋转角为30°，
∴，
∴，
在中，×=1，
∴这个风筝的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．
15. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A. 方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程
B. 若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0
C. 若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程
D. 若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程
【答案】B
【解析】
【分析】通过解一元方程可对A进行判断；先解方程得到x1=3，x2=- ，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用3m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断．
【详解】解：A. 解方程−4x+3=0得x1=1, x2=3，所以A选项的说法正确；
B. 解方程得x1=3, x2=-,当−=3×3,则9m+n=0;当−=×3，则m+n=0，所以B选项的说法错误；
C. 解方程得x1=3, x2=−,而m+n=0,则x2=1，所以C选项说法正确；
D. 解方程得x1=−m, x2=n,而3m+n=0,即n=−3m,所以x1=3 x2，所以D选项的说法正确.
故选B.
【点睛】本题主要考查根与系数的关系, 一元二次方程的解，熟悉掌握是关键.
16. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则下列说法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE=30°；③AF=CF；④ =2+，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定，可以证明①②正确，作FH⊥BC于H，设FH=CH=a，则BH=a，利用勾股定理求出a，即可判断③④正确；
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，△AEB是等边三角形，
∴AD=AE=AB=BE=BC,∠DAB=∠CBA=90°,∠EAB=∠EBA=60°，
∴∠DAE=∠EBC=30°，
∴△ADE≌△BCE，故①正确，
∵∠BEC=∠BCE=(180°−30°)=75°,∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠BCE−∠ACB=30°，故②正确，
作FH⊥BC于H,设FH=CH=a,则BH=3，
∵BC=4，
∴a+a=4，
∴a=2−2，
∴CF=a=2−2，
∵AC=4，
∴AF=AC=CF=6−2，
∴AF=CF，故③正确，
∵BF=2FH=4−4，
∴EF=BE−BF=8−4，
∴S△BCES△ECF==2+，故④正确，
故选D.
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟悉掌握是关键.
二．填空题（本大题共3小题，17、18每题3分，19题每空2分，共10分）
17. 已知m是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】由一元二方程根的定义得到，则，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2
【点睛】此题考查了一元二次方程解的定义、求代数式的值，整体代入是解题的关键．
18. 已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程的根，该等腰三角形的周长为 _____．
【答案】17
【解析】
【分析】先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边长关系进行判断即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：或，
当时，三边为2，2，5，不能构成三角形；
当时，三边为6，6，5，能构成三角形，
综上，该等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边长关系，掌握因式分解法求一元二次方程的解是关键．
19. 已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则CF=__________，图中阴影部分的面积为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由菱形的性质来证明△ABH∽△ADE，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求得BH的长；同理，求出CF的长度；然后根据三角形的边角关系求出菱形BCGJ的高；最后求出菱形BCGJ的面积和梯形BHFC的面积，进而求得阴影部分的面积．
【详解】在△ADE和△ABH中，∠HAB=∠EAD，
∵图中是三个菱形排列，
∴HBFCED，
∴∠AHB=∠AED，∠ABH=∠ADE，
∴△ABH∽△ADE，
∴AB：AD=BH：DE；
又∵AB=2，AD=2+3+5=10，DE=5，
∴BH=1；
同理，求得CF=；
∵菱形的较小锐角为60°，即∠HBC=∠FCD=60°，
如图，作JM⊥CG于M点，
∴梯形BHFC，即菱形JBCG的高JM=3×sin60°=；
∴S梯形BHCF=×（1+）×=，
S菱形JBCG=3×=，
∴S阴影=S菱形JBCG-S梯形BHCF=．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，梯形与菱形的面积以及三角形中的边角关系，是基础性比较强的一道题．
三．解答题（共7小题，共68分）
20. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法解方程;
（2）利用因式分解法解方程;
（3）利用配方法解方程;
（4）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：
∴，
∴；
【小问2详解】
，
∴或，
∴；
【小问3详解】
∴
∴
∴，
∴
【小问4详解】
∴
∴，即
．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键．
21. 甲乙两人报名参加疫情防控志愿者活动，他们将被随机分配到A、B、C、D四个小区协助医务人员做核酸检测工作．
（1）甲被派到C小区的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据简单的概率公式求解即可；
（2）画出树状图得出所有的等可能的结果数和满足条件的的结果数，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：甲被派到C小区的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图为：
由图知，一共有16种等可能的结果，其中甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的有1种，
所以，甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的概率为．
【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率、简单的概率计算公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法步骤是解答的关键．
22. AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC 于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）连接AF，CE．
①当EF⊥AC时，四边形AFCE是什么四边形？请证明你的结论；
②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①菱形，证明见解析
②
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．
（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；
②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．
【小问1详解】
证明：∵O是AC中点，
∴AO=CO，
∵ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DAC=∠BCA，
在ΔAOE和ΔCOF中，
，
∴ΔAOE ≌ ΔCOF(ASA)，
∴AE=CF，
【小问2详解】
解：①菱形，
∵AE∥CF且AE=CF，
∴AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴AECF是菱形，
②∵AECF是矩形，
∴AF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=1，
∴BF= AF=，
∵BC=2，
∴FC=，
在RtΔAFC中AF=FC=，
∴AC=，
又∵AFCE是矩形，
∴EF=AC=．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质、矩形的性质是解决问题的关键．
23. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
【答案】（1）AB的长为6米
（2）不能围成面积52平方米的花圃，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为（24−3x）米，根据花圃面积为36平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度a为10米，即可得出结论；
（2）不能围成面积为52平方米的花圃，根据花圃面积为52平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝−48＜0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为52平方米的花圃．
【小问1详解】
解:花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）米，
∴﹣3x2+24x＝36，
解得x1＝2，x2＝6，
当x＝2时，24﹣3x＝18＞15，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝6＜15，符合题意，
故AB的长为6米；
【小问2详解】
不能，理由如下：
∴﹣3x2+24x＝52，
整理得：3x2﹣24x+52＝0，
∵△=242﹣4×3×52＜0，
方程无实数根，
∴不能围成面积52平方米的花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
24. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）当时，有最大值
【解析】
【分析】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；
（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．
【详解】（1）证明：
．
．
．
．
是正数．
（2）解：由题意得：，，．
．
．
．
又∵
当时，有最大值．
【点睛】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．
25. 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克.经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数关系，并且得到了表中的数据：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元?
【答案】（1）；（2）该种水果价格每千克应调低至6元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由已知可得二元一次方程组解得k，b的值．
（2）由题意可得关于x的等式．解出x的值即可．
试题解析：（1）由表格得知
解得
∴
（2）由题意可得
整理得：
解得：
答：该种水果价格每千克应调低至6元．
26. 在正方形中，是边上一点，
（1）将绕点按顺时针方向旋转，使、重合，得到，如图1所示，观察可知：与相等的线段是 ，_____；
（2）如图2，正方形中，、分别是、边上的点，且，试通过旋转的方法证明：；
（3）在（2）题中，连接分别交、于点、，求、、的数量关系．
【答案】（1）BF，AED
（2）见解析 （3）BM2+DN2＝MN2，证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图1，直接根据旋转的性质得到，；
（2）将绕点按顺时针方向旋转，则与重合，得到，根据旋转的性质得，，，而，则，再根据全等三角形的判定方法得到，则，于是，即可得到；
（3）根据正方形的性质有，将绕点按顺时针方向旋转，则与重合，得到，根据旋转的性质得，，，再证明得到，由于，得到为直角三角形，根据勾股定理得，然后利用等相等代换即可得到．
【小问1详解】
如图1，绕点按顺时针方向旋转，使、重合，得到，
，．
故答案为：，；
【小问2详解】
将绕点按顺时针方向旋转，则与重合，得到，如图2，
则，
，
点、、共线，
由旋转知，，，，
，
，
，
在和中
，
，
，
而，
，
【小问3详解】
理由：如图3，
四边形为正方形，
，
如图3，将绕点按顺时针方向旋转，则与重合，得到，连接，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
为直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
价格x（元/千克）
7
5
价格y（千克）
2000
4000