河南省南阳市新野县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份河南省南阳市新野县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共21页。试卷主要包含了试题卷上不要答题，请用0等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
一、选择题（共10小题30分）
1. 下列式子正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一解答．
【详解】解：A. ，计算正确，故A正确；
B. ，原计算错误，故B错误；
C. ，原计算错误，故C错误；
D. ，原计算错误，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2. 关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（ ）
A. 或4B. 或7C. 3或4D. 3或7
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入原方程得到关于的一元二次方程，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程的一个根是4，
∴，
即，
即
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
3. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4. 如图，在中，，，点D是上一点，连接，，，则长是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由直角三角形两锐角互余可得，然后根据三角形外角的性质求得，从而得到，最后根据等角对等边可得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键．
5. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的边长，判断出为直角三角形，再根据正切的概念求出tan∠BAC的值．
【详解】如图，根据网格可得，
，，，
则有，
故为直角三角形；
中，．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是利用勾股定理得到直角三角形．
6. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】由于x的方程有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要注意．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∵，，
∴ 且，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键掌握一元二次方程根的判别式与方程根之间的关系，一元二次方程的根的判别式：当 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
7. 某超市在“五一黄金周”期间开展有奖促销活动，每买100元商品，可参加抽奖一次，中奖的概率为，小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会，则小明（ ）
A. 能中奖一次B. 能中奖二次C. 至少能中奖一次D. 中奖次数不能确定
【答案】D
【解析】
【分析】由于中奖概率为，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定．
故选：D．
【点睛】本题考查概率公式，解答此题要明确概率和事件的关系：①P（A）＝0，为不可能事件；②P（A）＝1为必然事件；③0＜P（A）＜1为随机事件．
8. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
9. 若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为或，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点在轴上得出 ，再根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值．
【详解】解：抛物线的顶点在轴上，
∴ ，
∴ ，
不等式的解集为或，
或是关于的方程的解，
∴ ，，
解得，
的值为，
故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
①
②
③
④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴-1＜x＜0，；，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；△=b2-4ac＞0；再由图象可知当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0；即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，对称轴，图象与y轴的交点，函数与x轴有两个不同的交点，
∴，；③错误
；②错
；①错误
当时，，即；
当时，，即；
∴，即；
∴只有④是正确的；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．
二、填空题（共5小题15分）
11. 一元二次方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据x（x-1）=0得到两个一元一次方程x=0，x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】解：x(x+1)=0，
x=0或x+1=0，
故答案为：．
【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法．
12. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13. 如图，斜坡的坡度是，如果点B离地面的高度是3米，那么斜坡的长度是_____________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据坡度的定义，求出水平宽度的长，再利用勾股定理求出斜坡的长度即可．
【详解】解：斜坡的坡度是，
，
点B离地面的高度是3米，
，
（米）
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义、勾股定理是解答此题的关键．
14. 如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
【详解】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，
分别为：；；；
其中有2种能够让灯泡发光，分别是；；
所以P（灯泡发光）=．
故本题答案为：．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15. 已知二次函数，若当时，的最大值是4，则的值为______．
【答案】或-4
【解析】
【分析】先求出二次函数的对称轴解析式，再分a＞0与a＜0时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线
∵1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大，
当x=4时y有最大值4，
16a-16a+3a=4，解得：，
当a＜0时，抛物线开口向下，x=2时y有最大值4，
a×22-4a×2+3a=4，
解得a=-4
故答案为：或-4
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分a＞0与a＜0两种情况讨论求解，有一定的难度．
三、解答题（共8小题，75分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式对算式进行处理并将相应的特殊角的三角函数值代入算式，按照相关的运算法则进行运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题综合考查了二次根式的运算和特殊角的三角函数值．在进行二次根式混合运算的时候，可以适当地运用乘法公式简化运算．不注意运算顺序是进行二次根式混合运算的过程中容易出错的地方． 特殊角三角函数值是中学数学的重要内容也是常考知识点，需要重点记忆．
17. 已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）m=．
【解析】
【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据题意列出不等式，解不等式即可；
（2）根据题意确定k的值，计算即可．
【详解】（1）△=（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）
=4k2﹣12k+9﹣4k2+4
=﹣12k+13，
∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，
解得：k＜，又k﹣1≠0，∴k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵k是符合条件的最大整数，∴k=0，
x2﹣4x=0，
解得：x=0或4，
①当x=0时，x2+mx﹣1=0无意义；
②当x=4时，42+4m﹣1=0，解得：m=．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
18. 已知：如图，在中，，点D、E是边上的两个点，且，过点C作交延长线于点F，连接并延长与交于点G．

（1）求证：；
（2）连接，如果，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由知，，由证,得，，即，，即可得证；
（2）由，，证，可得，即，结合得，再由得，继而知，即可证，即可得证．
【小问1详解】
，
，，
，
，，
，，
即，，
；
【小问2详解】
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质及边角的转化得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．
19. 如图大楼和大楼相距140米，在大楼的顶端有一信号发射塔，已知大楼的高为120米，在大楼底A处测得大楼的顶端D的仰角为，在大楼的顶端B处测得发射塔的顶端E的仰角为，求发射塔的高度．（）

【答案】22米
【解析】
【分析】延长B处的水平线交于F，利用解直角三角形解题即可求解．
【详解】解：延长B处水平线交于F，

由题意知：米，
在中，，
在中，，
，，
，
，
答：塔的高度约为22米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，能作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式计算即可；
（2）格局题意，列出表格，再根据概率计算公式计算即可．
【小问1详解】
解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
解：列出表格如下：
一共有12种情况，其中至少有1位是或的有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为．
【点睛】本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解答本题的关键．
21. 某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）如果涨价3元，每天的销售利润是多少？
（2）如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）350元
（2）涨价4元利润最大，最大利润是360元
【解析】
【分析】（1）直接根据题中的逻辑关系即可求解；
（2）题中等量关系为利润（售价进价) 售出件数，根据该等量关系列出函数关系式，再的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
【小问1详解】
解：如果涨价3元，
则每天售：（件），
每件单价为13（元），
涨价3元利润为：；
【小问2详解】
解：设涨价x元，利润为y元，
则每天售：（件），
每件单价为：（元），
，
，
∴当时y有最大值，最大值为360（元），
即涨价4元利润最大，最大利润是360（元）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题目中的逻辑关系及正确列出二次函数是解题的关键．
22. 如图，直线：与抛物线：相交于点，两点．
（1）求A，两点的坐标．
（2）将直线向上移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围．
（3）点为抛物线上位于直线上方的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点．当时，求点的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为，点的坐标为
（2）
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）联立直线和抛物线的解析式，解方程组，得到A，B两点的坐标；
（2）联立直线和抛物线的解析式，根据直线与抛物线有公共点，得到根的判别式大于或等于0，解不等式得到a的取值范围；
（3）作轴于点，交AB于点，证明△PQD是等腰直角三角形，根据 ，得到PD=1，设点的坐标为，点的坐标为，推出，求出点的坐标为或．
【小问1详解】
，
，
解得，，，
∴，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
【小问2详解】
由题意可得，
联立，
∴，
∵直线与抛物线仍有公共点．
∴，∴，
∵a>0，
∴；
【小问3详解】
作轴于点，交于点，
∵点Ａ的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴在Rt△POD中，，
∴，，
设点P的坐标为，点的坐标为，
，
即，解得，，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质、根的判别式、勾股定理等是解题的关键．
23. [教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）[结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么 ．
（3）如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，则 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长到E，使，连接、，证得四边形是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；
（2）如图2中，设交于点O．证明，求出，证明，可得结论；
（3）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，利用勾股定理求出，可得结论．
【小问1详解】
证明：延长到E，使，连接，
∴则．
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图2中，设交于点O．
∵，
∴，
∴．
由翻折的性质可知．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图3中，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题．例2 如图，在中，，是斜边上的中线．求证： ．
证明：延长至点E，使，连接．