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2023-2024学年湘教版(2012)九年级上册第四章锐角三角形单元测试卷(含答案)
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2023-2024学年 湘教版(2012)九年级上册 第四章� 锐角三角形� �单元测试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________1.如图,在中,,,过点A作于点D,.若E,F分别为的中点,则的长为( )A.2 B. C. D.42.如图,已知第一象限内的点在反比例函数上,第二象限的点B在反比例函数上,且,,则的值为( ) A.48 B. C. D.363.如图,在中,,是斜边上的中线,,,则的值是( )A. B. C. D.4.如图,在菱形中,,,,则的值是( )A. B.2 C. D.5.将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上,则的值等于( ) A. B. C. D.6.在中,,,则,则( )A.24 B.20 C.16 D.157.如图,在中,,的垂直平分线交于点D,交于点E,,则( ) A. B. C. D.8.如图,菱形的边长为4,且于点为上一点,且的周长最小,则的周长的最小值为( )A. B. C. D.9.如图,在中,,,是上一点,若,则的长为( ).A. B. C. D.10.如图所示,小明爬一土坡,坡度为,他从A处爬到B处离地面高度为米,则这个土坡直线距离长为( )A.3米 B.4米 C.5米 D.6米11.如图,在中,,则 .12.在中,于点,点在上,,连接交于点,,,,则长为 .13.如图,在平行四边形中,对角线交于点O,将沿翻折得到,连接,,则 .14.2023年9月29日开通沈阳地铁四号线,如图是某站地铁扶梯的示意图,扶梯的坡度(i为铅直高度与水平宽度的比).小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B,则小明上升的铅直高度为 米.15.如图,在平面直角坐标系中,,,…的斜边都在坐标轴上,.若点的坐标为,,,,…则依此规律,的值为 .16.小明将一副新买的三角尺如图所示叠放在一起,则的值是 .17.计算:(1)(2)解方程:.(3)先化简,再求值:,其.18.计算:(1);(2).评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案:1.A【分析】本题考查解直角三角形,三角形中位线定理,由等腰直角三角形的性质求出,由锐角的正弦求出,由三角形中位线定理求出.【详解】解:,是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∵E,F分别为的中点,∴是的中位线,∴.故选:A.2.C【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数(k为常数,)的图象是双曲线,图象上的点的横纵坐标的积是定值k,即。也考查了相似三角形的判定与性质及特殊角的三角函数值.作轴于点C,作轴于点D,如图,证明,利用相似三角形的性质得到,利用反比例函数k的几何意义得到,从而解绝对值方程得到满足条件的k的值.【详解】解:作轴于点C,作轴于点D.则,则,∵,∴,∴,∴,∴.又∵,∴,∴. 3.D【分析】此题考查了求锐角的余弦值以及直角三角形斜边上的中线性质,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长,然后求出的值即可.熟练掌握锐角三角函数值的求法是解本题的关键.【详解】解:在中,,是斜边上的中线,,,,,,故选:D.4.B【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,欲求的值,只需通过解直角三角形求得的值即可.【详解】解:设菱形边长为,,,,,,,,,.故选:B.5.D【分析】本题考查的是求解锐角的正弦,本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中,从而可得答案.【详解】解:如图, ∵,∴,在中,设,,,.故选:D.6.D【分析】本题主要考查了正弦的性质,利用正弦的性质求值即可.理解正弦的性质是解题的关键.【详解】在中,,即,解得:.故选:D.7.C【分析】本题考查求角的正切值,线段垂直平分线的性质,根据中垂线的性质,得到,根据,设,则,勾股定理求出的长,再利用,进行求解即可.【详解】解:∵的垂直平分线交于点D,∴,∵,∴设,则,∵,∴,∴;故选C8.B【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值,然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值,再利用勾股定理求出,进而解决问题.【详解】解:连接交于点,连接,,四边形是菱形,对角线所在直线是其一条对称轴,点,点关于直线对称,与是等边三角形,,,是的中点,,的周长,要求的周长的最小值可先求出的最小值即可,而的最小值就是的长,过点作,交的延长线于点,四边形是菱形,,,在中,,,在中,,,,的周长的最小值为,故选:B.【点睛】本题考查轴对称最短路线问题,菱形的性质,勾股定理,特殊值的三角函数,掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键.9.A【分析】本题考查了解直角三角形,在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形,也考查了等腰直角三角形的性质,作于,由,得,根据等腰直角三角形的性质得到 ,设则,,在中,利用的正切得到,然后由可计算出 ,再利用 ,进行计算即可,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形,再利用三角函数求边长.【详解】作于,如图,∵,∴,∵,∴,∴,是等腰直角三角形,∴,在中,设,则,则,在中,,∴,∴,解得:,∴,故选:.10.B【分析】本题考查了坡度的定义与相关计算,属于基础题型,熟知概念是关键.设斜坡的水平宽度为x米,根据坡度的定义可求出x,再根据勾股定理求解即可.【详解】解:设斜坡的水平宽度为x米,根据题意,得,解得,∴米,故选:B.11./0.6【分析】本题考查了求余弦,勾股定理,先根据勾股定理求出的长,再根据锐角三角函数的定义解答,掌握三角函数的定义是解题的关键.【详解】解:∵在中,,∴,∴,故答案为:.12.3【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,勾股定理,已知正切求边长.在上截取,延长至,使得,连接,设,,则,根据,得出,证明,得出,,,进而证明得出,根据已知条件得出,证明得出,在中,勾股定理得出,进而得出,即可求解.【详解】解:如图所示,在上截取,延长至,使得,连接,∵,∴设,,则,∵,∴,,∵,在和中,,∴,∴,,,∴,,又∵,∴,∴,∵,,∴,又∵,∴,∴,即,在和中,,∴,∴,∴,在中,,∴∴故答案为:3.13.【分析】连接,过点作交的延长线于点,设,交于点,过点作于点,根据题意求得的长,进而等面积法求得的长,解,进而根据,利用正弦相等,列出方程,解方程,即可求解.【详解】解:如图所示,连接,过点作交的延长线于点,设,交于点,过点作于点,∵在平行四边形中,对角线交于点O,∴∵将沿翻折得到,∴,∴是直角三角形;∵,∴∴,∴,∴∵平行四边形的面积∴∴∴,∴∵∴∴∴即解得:,故答案为:.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠的性质,勾股定理,解直角三角形,熟练掌握以上知识是解题的关键.14.【分析】本题考查坡度和勾股定理,由可得,设,,根据勾股定理求出,再根据长度求出k值,即可求解.【详解】解:由题意知(米),扶梯的坡度,,设,,则,,(米),故答案为:.15./【分析】本题考查了规律型,点的坐标,坐标与图形性质,含30度的直角三角形三边的关系及三角函数.根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到结论.【详解】解:,;;,…,,∴.故答案为 :.16./【分析】设,解,得出,解,得出,代入,计算即可求得答案.本题考查了解直角三角形,锐角三角函数的定义,设,用含k的代数式表示出与是解题的关键.【详解】解:设,∵在中,,,∴,∵在中,,,∴,∴.故答案为.17.(1)1(2),(3),【分析】本题考查解一元二次方程,二次根式的混合运算,分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则,二次根式混合运算的法则及一元二次方程的求解方法是解题关键.(1)根据绝对值的性质、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数次幂的意义进行计算即可;(2)利用因式分解法求解即可;(3)根据分式的混合运算法则把原式化简,,得,代入计算得到答案.【详解】(1)解:原式;(2),,,,,;(3),由,得,原式.18.(1)(2)【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、零次幂、负整数指数幂及绝对值:(1)利用特殊角的三角函数值的混合运算法则即可求解;(2)利用特殊角的三角函数值的混合运算、零次幂、负整数指数幂及绝对值的运算法则即可求解;熟练掌握其运算法则是解题的关键.【详解】(1)解:原式.(2)原式.
2023-2024学年 湘教版(2012)九年级上册 第四章� 锐角三角形� �单元测试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________1.如图,在中,,,过点A作于点D,.若E,F分别为的中点,则的长为( )A.2 B. C. D.42.如图,已知第一象限内的点在反比例函数上,第二象限的点B在反比例函数上,且,,则的值为( ) A.48 B. C. D.363.如图,在中,,是斜边上的中线,,,则的值是( )A. B. C. D.4.如图,在菱形中,,,,则的值是( )A. B.2 C. D.5.将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上,则的值等于( ) A. B. C. D.6.在中,,,则,则( )A.24 B.20 C.16 D.157.如图,在中,,的垂直平分线交于点D,交于点E,,则( ) A. B. C. D.8.如图,菱形的边长为4,且于点为上一点,且的周长最小,则的周长的最小值为( )A. B. C. D.9.如图,在中,,,是上一点,若,则的长为( ).A. B. C. D.10.如图所示,小明爬一土坡,坡度为,他从A处爬到B处离地面高度为米,则这个土坡直线距离长为( )A.3米 B.4米 C.5米 D.6米11.如图,在中,,则 .12.在中,于点,点在上,,连接交于点,,,,则长为 .13.如图,在平行四边形中,对角线交于点O,将沿翻折得到,连接,,则 .14.2023年9月29日开通沈阳地铁四号线,如图是某站地铁扶梯的示意图,扶梯的坡度(i为铅直高度与水平宽度的比).小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B,则小明上升的铅直高度为 米.15.如图,在平面直角坐标系中,,,…的斜边都在坐标轴上,.若点的坐标为,,,,…则依此规律,的值为 .16.小明将一副新买的三角尺如图所示叠放在一起,则的值是 .17.计算:(1)(2)解方程:.(3)先化简,再求值:,其.18.计算:(1);(2).评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案:1.A【分析】本题考查解直角三角形,三角形中位线定理,由等腰直角三角形的性质求出,由锐角的正弦求出,由三角形中位线定理求出.【详解】解:,是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∵E,F分别为的中点,∴是的中位线,∴.故选:A.2.C【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数(k为常数,)的图象是双曲线,图象上的点的横纵坐标的积是定值k,即。也考查了相似三角形的判定与性质及特殊角的三角函数值.作轴于点C,作轴于点D,如图,证明,利用相似三角形的性质得到,利用反比例函数k的几何意义得到,从而解绝对值方程得到满足条件的k的值.【详解】解:作轴于点C,作轴于点D.则,则,∵,∴,∴,∴,∴.又∵,∴,∴. 3.D【分析】此题考查了求锐角的余弦值以及直角三角形斜边上的中线性质,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长,然后求出的值即可.熟练掌握锐角三角函数值的求法是解本题的关键.【详解】解:在中,,是斜边上的中线,,,,,,故选:D.4.B【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,欲求的值,只需通过解直角三角形求得的值即可.【详解】解:设菱形边长为,,,,,,,,,.故选:B.5.D【分析】本题考查的是求解锐角的正弦,本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中,从而可得答案.【详解】解:如图, ∵,∴,在中,设,,,.故选:D.6.D【分析】本题主要考查了正弦的性质,利用正弦的性质求值即可.理解正弦的性质是解题的关键.【详解】在中,,即,解得:.故选:D.7.C【分析】本题考查求角的正切值,线段垂直平分线的性质,根据中垂线的性质,得到,根据,设,则,勾股定理求出的长,再利用,进行求解即可.【详解】解:∵的垂直平分线交于点D,∴,∵,∴设,则,∵,∴,∴;故选C8.B【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值,然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值,再利用勾股定理求出,进而解决问题.【详解】解:连接交于点,连接,,四边形是菱形,对角线所在直线是其一条对称轴,点,点关于直线对称,与是等边三角形,,,是的中点,,的周长,要求的周长的最小值可先求出的最小值即可,而的最小值就是的长,过点作,交的延长线于点,四边形是菱形,,,在中,,,在中,,,,的周长的最小值为,故选:B.【点睛】本题考查轴对称最短路线问题,菱形的性质,勾股定理,特殊值的三角函数,掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键.9.A【分析】本题考查了解直角三角形,在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形,也考查了等腰直角三角形的性质,作于,由,得,根据等腰直角三角形的性质得到 ,设则,,在中,利用的正切得到,然后由可计算出 ,再利用 ,进行计算即可,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形,再利用三角函数求边长.【详解】作于,如图,∵,∴,∵,∴,∴,是等腰直角三角形,∴,在中,设,则,则,在中,,∴,∴,解得:,∴,故选:.10.B【分析】本题考查了坡度的定义与相关计算,属于基础题型,熟知概念是关键.设斜坡的水平宽度为x米,根据坡度的定义可求出x,再根据勾股定理求解即可.【详解】解:设斜坡的水平宽度为x米,根据题意,得,解得,∴米,故选:B.11./0.6【分析】本题考查了求余弦,勾股定理,先根据勾股定理求出的长,再根据锐角三角函数的定义解答,掌握三角函数的定义是解题的关键.【详解】解:∵在中,,∴,∴,故答案为:.12.3【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,勾股定理,已知正切求边长.在上截取,延长至,使得,连接,设,,则,根据,得出,证明,得出,,,进而证明得出,根据已知条件得出,证明得出,在中,勾股定理得出,进而得出,即可求解.【详解】解:如图所示,在上截取,延长至,使得,连接,∵,∴设,,则,∵,∴,,∵,在和中,,∴,∴,,,∴,,又∵,∴,∴,∵,,∴,又∵,∴,∴,即,在和中,,∴,∴,∴,在中,,∴∴故答案为:3.13.【分析】连接,过点作交的延长线于点,设,交于点,过点作于点,根据题意求得的长,进而等面积法求得的长,解,进而根据,利用正弦相等,列出方程,解方程,即可求解.【详解】解:如图所示,连接,过点作交的延长线于点,设,交于点,过点作于点,∵在平行四边形中,对角线交于点O,∴∵将沿翻折得到,∴,∴是直角三角形;∵,∴∴,∴,∴∵平行四边形的面积∴∴∴,∴∵∴∴∴即解得:,故答案为:.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠的性质,勾股定理,解直角三角形,熟练掌握以上知识是解题的关键.14.【分析】本题考查坡度和勾股定理,由可得,设,,根据勾股定理求出,再根据长度求出k值,即可求解.【详解】解:由题意知(米),扶梯的坡度,,设,,则,,(米),故答案为:.15./【分析】本题考查了规律型,点的坐标,坐标与图形性质,含30度的直角三角形三边的关系及三角函数.根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到结论.【详解】解:,;;,…,,∴.故答案为 :.16./【分析】设,解,得出,解,得出,代入,计算即可求得答案.本题考查了解直角三角形,锐角三角函数的定义,设,用含k的代数式表示出与是解题的关键.【详解】解:设,∵在中,,,∴,∵在中,,,∴,∴.故答案为.17.(1)1(2),(3),【分析】本题考查解一元二次方程,二次根式的混合运算,分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则,二次根式混合运算的法则及一元二次方程的求解方法是解题关键.(1)根据绝对值的性质、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数次幂的意义进行计算即可;(2)利用因式分解法求解即可;(3)根据分式的混合运算法则把原式化简,,得,代入计算得到答案.【详解】(1)解:原式;(2),,,,,;(3),由,得,原式.18.(1)(2)【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、零次幂、负整数指数幂及绝对值:(1)利用特殊角的三角函数值的混合运算法则即可求解;(2)利用特殊角的三角函数值的混合运算、零次幂、负整数指数幂及绝对值的运算法则即可求解;熟练掌握其运算法则是解题的关键.【详解】(1)解:原式.(2)原式.
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