2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（人教A版，范围：空间向量与立体几何直线与圆圆锥曲线数列）01（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（人教A版，范围：空间向量与立体几何直线与圆圆锥曲线数列）01（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线，即，
则直线的斜率，所以倾斜角为.故选：C
2．向量，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．
【答案】B
【解析】由题设，故.故选：B
3．已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ）
A．160B．253C．180D．190
【答案】B
【解析】设数列的首项为，公差为，
因为，所以，解得，
所以，故选：B.
4．已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.故选：C.
5．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
又直线的方向向量为，则，
所以，
设直线与直线所成的角为，则，则，
所以点到直线的距离为．故选：A．
6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】由焦点到其准线的距离为得；
设在准线上的射影为如图,
则，
当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D．
7．等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
所以，
令，整理得，解得，故选：A.
8．已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
由，则点为线段的中点，
则，从而有，
又，所以，
又由，
则，即，
所以，所以．故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，
所以D错误，故选：AC．
10．已知在等比数列中，满足，，是的前n项和，则下列说法正确的是（ ）．
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．数列中，，，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】依题意可知，
所以，所以数列是等比数列，A选项正确.
，所以，且，所以数列是递减数列，B选项错误.
设，则，
所以数列是等差数列，C选项正确.
，因为，
故数列{}中，不成等比数列，所以D选项错误.故选：AC.
11．已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．三棱锥的体积为D．直线与所成的角为
【答案】ABD
【解析】对于A，在正方体中，,
平面，平面，故平面，A正确；
对于B，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
连接，，则,
则，，
则，，
故，即,
而平面，故平面，B正确；
对于C，连接，三棱锥的体积
，C错误；
对于D，连接EF，，
则，
故，
即，由于异面直线所成角大于小于等于，
故直线与所成的角为，D正确，故选：ABD
12．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，延长交准线于
【答案】ACD
【解析】抛物线的焦点为，准线为，则，
由，得，
对于A，当时，，
则，，故A正确；
对于B，当时，可得，，
则，
设直线，把代入，可得，
令，则，同理，
则，
因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，由B选项知，，故C正确；
对于D，当时，，则，
，
，
由选项A知，
，，
，故D正确．故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列中，，，，则 .
【答案】
【解析】由题意知，，
，，
，，
，，
易知是周期为6的数列，．
14．以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是 .
【答案】
【解析】圆心到切线的距离，所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
15．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】因为，则，
而异面直线所成角的范围为，
所以异面直线所成角的余弦值为.
16．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】因为椭圆：的离心率为，则，
又因为，即，
则，
可得，
所以，①
又因为，可得，②
又因为，③
由①②③知，，
在中，由余弦定理可得，
可得为锐角，则，
所以，即的斜率为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知点和直线．
（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；
（2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，
因为，所以直线的斜率为2．
又直线经过点，
所以直线的方程为：，即．
（2）点P到直线l的距离为：，
①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，
则，解得．
所以，直线的方程为：．
18．（12分）
已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）. ；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，
而，所以.
又因为，解得.所以，.
由，可得.
由，可得，
联立①②，解得，由此可得.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）设数列的前项和为，由，
有，
，
上述两式相减，得
.
得.
所以，数列的前项和为.
19．（12分）
已知椭圆：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题可得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，
设直线的方程为，
由得，，
因为，所以，即，
所以，即，
设，，
所以，，
因为，
所以，即，
所以，
所以，即，解得或（舍），
所以直线的方程为，即直线l恒过定点，
令，，
则，
当时，最大值为．
20．（12分）
在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为,，,．
可知圆心在直线上，故可设该圆的圆心为，
则有，解得，
故圆的半径为，
所以圆的方程为；
（2）的方程为．即
圆D：，即
两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为
圆C的圆心到直线距离为，
所以.
21．（12分）
平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.
（1）求证：.
（2）求与平面所成角的正弦值.
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）取中点，连接，如图，
又为的中点，，
由，则，
又为等腰直角三角形，，,，
又，平面，平面，
又平面，
（2）由（1）知，，
又平面平面，是交线，平面，
所以平面，即两两互相垂直，
故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
设，则，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，
，
即与平面所成角的正弦值为.
（3）若存在N使得平面平面，且，，
则，解得 ，
又，则，，
设是平面CNM的一个法向量，
则，令b=l，则，
，解得，
故存在N使得平面平面，此时.
22．（12分）
已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.
因为双曲线经过点，所以，解得.
故双曲线的方程为.
（2）证明：因为为的中点，所以.
设直线的方程为，
所以，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立,
可得，
所以
又因为，所以，
则.
同理可得.
,
，