安徽省合肥市包河区2022-2023学年八年级下册期末数学考试仿真卷【一】

这是一份安徽省合肥市包河区2022-2023学年八年级下册期末数学考试仿真卷【一】，共21页。

一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）关于x的代数式11−x在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤1B．x≥1C．x<1D．x>1
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4+9=13B．5y3⋅3y5=15y15
C．36=62D．3x2y+2xy2=5x2y2
3．（3分）下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．AB=6，BC=8，AC=10B．AB：BC：AC=1：2：3
C．∠A=∠B=∠CD．∠A：∠B：∠C=3：4：5
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2−4x+2=0化成(x+a)2=b的形式，则a、b的值分别是（ ）
A．-4，14B．4，14C．2，2D．-2，2
5．（3分）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ABC的度数为（ ）
A．22°B．23°C．24°D．25°
6．（3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=3，n2+n=3，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．16B．15C．12D．9
7．（3分）若样本x1，x2，x3，…xn的平均数为18，方差为2，则对于样本x1+3，x2+3，x3+3，…xn+3，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为21，方差为2B．平均数为21，方差为4
C．平均数为18，方差为2D．平均数为18，方差为4
8．（3分）随着网络直播平台的快速发展，直播砍价已让很多人趋之若鹜，某商品原售价为120元，在某直播平台上经过主播的两次砍价后，现售价为43.2元，已知每次砍价的百分率相同．设每次砍价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．120(1−2x)=43.2B．120(1−x)2=43.2
C．120(1−x)+120(1−x)2=43.2D．120(1−x)+120(1−2x)=43.2
9．（3分）如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，使四边形EFGH为正方形，应添加的条件分别是（ ）
A．AB∥CD且AB=DCB．AB=CD且AC⊥BD
C．AB∥CD且AC⊥BDD．AC=BD且AC⊥BD
10．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（ ）
A．43B．543C．33D．943
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）当x= 时，最简二次根式3x+5与22x+7能够合并．
12．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，则a2+4α+β= ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 .
14．（3分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）.
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为 ．
三、计算题(共1题；共8分)
16．（8分）
（1）（4分）计算：12×8−(−23)0+(−13)−1；
（2）（4分）解方程：x2−2x=9．
四、作图题(共1题；共5分)
17．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD延长线上，连接BE，AE．
（1）（2分）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的周长等于65；
（2）（3分）在图乙中画出一个以AB为对角线的平行四边形，且它的面积为12．
五、综合题(共5题；共42分)
18．（8分）已知关于x的方程kx2−2(k+1)x+k−1=0有两个不相等的实数根．
（1）（4分）求k的取值范围．
（2）（4分）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上．
（1）（4分）若AC=AD，∠CAD=50°，求∠BCD的度数；
（2）（4分）若四边形EHFG是平行四边形，求证：AE=CF．
20．（8分）在蚌埠花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价2元，那么平均每天就可多售出3盆，设每盆降价x元．
（1）（1分）现在每天卖出 盆，每盆盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）（3分）求当x为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利700元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）（3分）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
21．（8分）争创全国文明城市——从我做起.某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有300名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，满分100分，整理分析如下：
七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79
八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85
整理分析上面的数据，得到如下表格：
根据以上信息，解答下列问题．
（1）（0.5分）填空：a= ，b= ；
（2）（1分）根据统计结果， 年级的成绩更整齐；
（3）（1分）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，根据上面统计情况估计 同学的成绩在本年级的排名更靠前；
（4）（2分）如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是 ；
（5）（3分）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？
22．（10分）如图，正方形ABCD中，点P是边CD上的一点（不与点C、D重合），连接BP，∠PBC=α，O为BP的中点，过点P作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）（2分）依题意补全图形；
（2）（3分）求∠POE的大小（用含a的式子表示）；
（3）（5分）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
六、附加题(共1题；共5分)
23．（5分）关于x的方程 x2−2x+m=p2 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵关于x的代数式11−x在实数范围内有意义，
∴1-x>0，
∴x<1.
故答案为：C.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得1-x>0，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；分母有理化；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A． 4+9=2+3=5，故本选项不符合题意；
B．5y3⋅3y5=15y8，故本选项不符合题意；
C． 36=3×66=62，故本选项符合题意；
D． 3x2y与2xy2不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质，同底数幂的乘法法则，同类项计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵AB2+BC2=102=AC2，
∴△ABC是直角三角形，故此选项符合题意；
B.∵AB：BC：AC=1：2：3，
设AB=a，则BC=2a，AC=3a，
则AB+BC=a+2a=3a=AC，
不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C.∵∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∴△ABC是等边三角形，故此选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B；根据C、D中的条件结合内角和定理求出∠A、∠B、∠C的度数，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x+2=0，
移项，得x2-4x=-2，
配方，得x2-4x+4=-2+4，
∴（x-2）2=2.
∴a=-2，b=2.
故答案为：D.
【分析】首先移项（将常数项移到方程的右边），然后配方（方程的两边都加上一次项系数一半的平方），进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
∵∠CAD=(6-2)×180°÷6=120°，∠BAD=(5-2)×180°÷5=108°，
∴∠CAB=360°-∠CAD-∠BAD=360°-120°-108°=132°.
∵AC=AB，
∴∠ABC=12×(180°-∠CAB)=12×(180°-132°)=24°.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，根据多边形内角和公式以及正多边形的性质可得∠CAD、∠BAD的度数，结合周角的概念求出∠CAB的度数，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n满足m2+m=3，n2+n=3，
∴m、n可看作方程x2+x-3=0的两个根，
∴m+n=-1，mn=-3，
∴3n2-mn-3m=3(3-n)+3-3m=9-3(m+n)+3=12+3=15.
故答案为：B.
【分析】由题意可得m、n可看作方程x2+x-3=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=-1，mn=-3，则3n2-mn-3m=3(3-n)+mn-3m，然后代入进行计算.
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵x1，x2，x3，…xn的平均数为18，方差为2，
∴x1+3，x2+3，x3+3，…xn+3 的平均数为21，方差为2，
故答案为：A.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法求解即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意得：
第一次砍价后的价格为：120（1﹣x）
第二次砍价后的价格为：120（1﹣x）（1﹣x）＝120（1﹣x）2
∴根据题意列方程可得：120(1−x)2=43.2
故答案为： B
【分析】根据平均增长率的计算公式：现价＝原价×（1﹣x）2判断即可．
9．【答案】D
【知识点】中点四边形
【解析】【解答】解：使四边形EFGH为正方形，应添加的条件分别是AC=BD且AC⊥BD．
理由：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，
∴EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC，GH=12AC，
EH∥DB，EH=12DB，FG∥DB，FG=12DB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵EF∥AC，
∠FMO=90°，
∵EH∥DB，
∴∠FEH=90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案为：D．
【分析】利用中点四边形的性质及正方形的判定方法求解即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，△AEF为正三角形，
∴∠1+∠EAC＝12∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
又∵AB＝CB＝AD＝CD，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
∠1=∠3AC=AB∠ABC=∠4，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝12AB＝3，AH＝32AB＝33，
∴S四边形AECF＝S△ABC＝12BC•AH＝12×6×33＝93，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，
∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝93﹣12×33×32×33＝934．
故答案为：D.
【分析】连接AC，根据菱形、等边三角形的性质可得∠1+∠EAC＝12∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°，则∠1＝∠3，易得△ABC和△ACD为等边三角形，得到∠4＝60°，AC＝AB，证明△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，推出S四边形AECF＝S△ABC，作AH⊥BC于H点，则BH＝3，AH＝33，根据三角形的面积公式可得S四边形AECF＝S△ABC＝93，易知当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，然后根据S△CEF＝S四边形AECF-S△AEF进行计算.
11．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式3x+5与22x+7能够合并 ，
∴3x+5=2x+7，
解得：x=2，
∴当x=2时，最简二次根式3x+5与22x+7能够合并 ，
故答案为：2.
【分析】利用同类二次根式的定义先求出3x+5=2x+7，再求解即可。
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，
∴α+β=−3，α2+3α−7=0，
∴α2+3α=7，
∴a2+4α+β=α2+3α+α+β=7−3=4，
故答案为：4．
【分析】先求出α+β=−3，α2+3α−7=0，再求出α2+3α=7，最后代入计算求解即可。
13．【答案】47或43或4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=4，
∴Rt△ABM中，AM=AB2−BM2=43；
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=4，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM=AO=4；
如图3，当∠ABM=90°时，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴∠BMO=30°，
∴MO=2BO=2×4=8，
∴Rt△BOM中，BM=MO2−OB2=43，
∴Rt△ABM中，AM=AB2+BM2=47.
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为43或47或4.
故答案为：43或47或4.
【分析】分类讨论：①当∠AMB=90°时，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OM=OB=4，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BOM是等边三角形，由等边三角形的性质得BM=BO=4，进而在Rt△ABM中，用勾股定理算出AM即可；②当∠AMB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OM=OA=4，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△AOM是等边三角形，由等边三角形的性质得AM=AO=4；③当∠ABM=90°时，根据含30°角直角三线的性质得MO=2BO=2×4=8，在Rt△BOM中，由勾股定理算出BM，在Rt△ABM中，由勾股定理算出AM，综上即可得出答案.
14．【答案】m2-1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1.
故答案为：m2-1.
【分析】设其股是a，则弦为a+2，然后根据勾股定理进行解答即可.
15．【答案】103或5
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△B′MC为直角三角形，
当∠B′CM=90°时，
∵点N是AB边上的中点，AB=10，
∴AN=BN=B′N=12AB=5，
∵NB′∴点B的对应点B′不能落在CD所在直线上，
∴∠B′CM<90°，不存在此类情况；
当∠CMB′=90°时，如图所示，
由折叠性质可得，
∠BMN=∠B′MN=12∠BMB′=45°，
∴BM=BN=12AB=5；
当∠CB′M=90°时，如图所示
∵∠NB′M=∠CB′M=90°，
∴B′、N、C三点共线，
由勾股定理可得，
NC=NB2+BC2=52+122=13，
设BM=B′M=x，则CM=12−x，
∴12×(12−x)×5=12×13x，
解得：x=103，
综上所述BM的长为103或5．
【分析】分三种情况：当∠B′CM=90°时，当∠CMB′=90°时，当∠CB′M=90°时，据此分别画出图形，利用勾股定理及翻折的性质分别求解即可.
16．【答案】（1）解：原式=12×8−1−3
=2−1−3
=−2；
（2）解：x2−2x=9
(x−1)2=10，
∴x1=1+10，x2=1−10．
【知识点】实数的运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）利用配方法解方程即可.
17．【答案】（1）解：如图甲，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图乙，四边形ACBD为所作．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AB=25，根据平行四边形的性质及周长计算方法可得平行四边形中另一组对边的长应该为5，从而利用方格纸的特点及勾股定理可得BC应该是一个两直角边分别为1与2的直角三角形的斜边，进而再结合平行四边形的性质找出点C、D，然后连接BC、CD、AD即可；
（2）根据平行四边形的面积等于底乘以高，利用方格纸的特点作一个第为3，高为4的平行四边形即可，故将点A向右平移3个单位长度得到点D，再将点B向左平移三个单位长度得到点C，然后连接AD、BD、BC、AC即可.
18．【答案】（1）解：∵方程kx2−2(k+1)x+k−1=0有两个不相等的实数根，
∴4(k+1)2−4k(k−1)>0，
即12k+4>0，
解得，k>−13，
又k≠0，
∴k>−13且k≠0；
（2）解：不存在，理由如下：
设方程的两根为x1与x2，则
x1+x2=2k+2k，x1⋅x2=k−1k，
由题意得，1x1+1x2=1，
即x1+x2x1x2=2k+2k−1=1，
解得，k=−3，
∵k>−13且k≠0时方程有两个不相等的实数根，
∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意，列出不等式组，求解即可；
（2）不存在，理由如下：根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=2k+2k，x1⋅x2=k−1k，进而由两根的倒数和等于1建立方程，将方程一边通分计算后整体代入求解可得k的值，进而根据（1）中k的取值范围判断即可得出答案.
19．【答案】（1）解：∵CA=AD，∠CAD=50°，
∴∠ADC=∠ACD=12×(180°−50°)=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°−∠ADC=180°−65°=115°；
（2）证明：∵四边形EHFG和四边形ABCD是平行四边形，
∴OE=OF，OA=OC，
∴OA−OE=OC−OF，即AE=CF.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADC=∠ACD=65°，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°，据此可求出∠BCD的度数；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分得OE=OF，OA=OC，进而根据等量减去等量差相等可得结论.
20．【答案】（1）(20+3x2)；（30-x）
（2）解：设每盆降价x元，由题意得：
(80−x−50)(20+3x2)=700，
解得：x1=10，x2=203，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=10；
（3）解：不可能，理由如下：
设每盆降价x元，依题意得：
(80−x−50)(20+3x2)=1000，
整理得：3x2−50x+800=0，
Δ=(−50)2−4×3×800=−7100<0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利1000元．
【知识点】用字母表示数；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设每盆降价x元，由题意得：每天卖出盆栽的数量为：(20+3x2)件，
每件的盈利为：(80−x)−50=(30−x)元，
故答案为：(20+3x2)，(30−x)；
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）设每盆降价x元，根据题意列出方程(80−x−50)(20+3x2)=700， 再求解即可；
（3）设每盆降价x元，根据题意列出方程(80−x−50)(20+3x2)=1000， 再求解即可。
21．【答案】（1）98；92
（2）八
（3）小钟
（4）平均数
（5）解：估计两个年级获奖的共有300×510+300×410=270(人)
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：（1）七年级的众数为a=98，
八年级成绩按由小到大排列为：85，87，90，91，91，93，96，99，99，99
所以八年级的成绩的中位数为b=91+932=92；
故答案为：98，92；
（2）因为33.7>23.4，即八年级的方差比七年级的方差小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
（3）七年级和八年级的中位数分别为94和92，
所以小钟同学的成绩在本年级的排名更靠前；
故答案为：小钟；
（4）将“89”误写成了“79”，这时七年级数据的所有数的和少了10分，所以平均数为92分，众数和中位数不变；
故答案为：平均数；
【分析】（1）求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，分别求出a，b的值.
（2）利用表中数据，根据方差越小成绩越整齐，比较两个年级的成绩的方差大小，可作出判断.
（3）利用两个年级的中位数的大小，可作出判断.
（4）利用七年级的测试成绩，将“89”误写成了“79”从中位数，众数平均数和方差方面进行分析.
（5）利用总人数×成绩不低于95分的人数所占的百分比，列式计算可求出两个年级获奖的总人数.
22．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠C=90° ， CD=BC ，
∴∠CBD=45° ，
∴∠PBE=∠CBD−∠CBP=45°−α ，
∵PE⊥BD ，O为 BP 的中点，
∴OE=OB=OP=12BP ，
∴∠OEB=∠OBE ，
∴∠POE=∠OEB+OBE=2∠PBE=90°−2α ；
（3）解：如图所示，连接 OC，EC ，
∵∠BCD=90° ，O为 BP 的中点，
∴OC=OP=OB=12BP ，
∵OE=12BP ，
∴OC=OE ，
∵∠PBC=α ，
∴∠POC=2α ，
∴∠EOC=∠POE+∠POC=90° ，
∴△EOC 是等腰直角三角形，
∴EC=2OC=22BP ，
∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴AE=CE ，
∴AE=22BP ．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2） 根据四边形 ABCD 是正方形可得 ∠C=90° ， CD=BC ，则 ∠PBE=∠CBD−∠CBP=45°−α ，根据直角三角形的中线性质可得 OE=OB=OP=12BP ，则 ∠OEB=∠OBE ，再根据三角形外角性质得∠POE=∠OEB+OBE=2∠PBE=90°−2α ；
（3）连接 OC，EC ， 根据正方形的性质和直角三角形的中线性质证明△EOC 是等腰直角三角形，则EC=2OC=22BP ，
根据BD 是正方形 ABCD 的对角线可得AE=CE ，则AE=22BP 。
23．【答案】m<1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：原方程可化为 x2−2x+m−p2=0 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 Δ=(−2)2−4(m−p2)=−4m+4+4p2>0 ，
解得 m<1+p2 ，
∵ 无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 m<1+p2 恒成立，
∴m 小于 1+p2 的最小值，
由偶次方的非负性得： p2≥0 ，
∴1+p2≥1 ，
∴1+p2 的最小值为1，
∴m<1 ，
故答案为： m<1 .
【分析】 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得Δ=−4m+4+4p2>0，从而得出m<1+p2，根据偶次方的非负性，可得1+p2≥1，据此可得m<1.年级/统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
33.7
八年级
93
b
99
23.4