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四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）
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这是一份四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，阴影部分集合为 ，由此能求出结果.
【详解】因为集合，集合，
所以，由图可知：阴影部分表示集合为，
故选：.
2. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案.
【详解】命题：，，则为，.
故选：D.
3. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.
故选：B
4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数在上单调递增，则对称轴求解.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以,
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的单调性的应用，属于基础题.
5. 若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由此求得的值.
【详解】由解得，由于，所以函数为奇函数，故,故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用奇偶性求函数值，属于基础题.
6. 已知，，且，若恒成立. 则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
当且仅当时，等号成立，所以，，即，解得.
故选：D.
7. 设，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算法则即可求解.
【详解】由得，所以，
故选：C
8. 已知函数满足条件：对于，唯一的，，使得，当成立时，则实数a＋b的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得在上单调递增，则值域为，则当时，的值域为，可得，在结合，代入解得．
【详解】设当时，的值域为，当时，的值域为
则根据题意可得
当时，在上单调递增，则
即，则
∵，即且，则
∴
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题可得给定命题的否定为真命题的a的取值集合，再利用充分条件，必要条件的定义分析即得.
【详解】由题可知命题的否定“”为真，等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所以所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，
显然只有，{4},
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD.
10. 已知关于x不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可.
【详解】因为关于x的不等式的解集是或，
所以有，
因此选项A正确；
，
因此选项B正确；
，因此选项C正确；
，因此选项D不正确，
故选：ABC
11. 已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的对称性判断BD，构造函数判断出AC错误.
【详解】因为为偶函数，所以，函数关于对称，
因为为奇函数，所以，函数关于点对称，
因为函数定义域为，所以，B正确；
又因为函数关于对称，所以，
由可得令，，D正确；
可构造函数满足题意，此时，AC错误；
故选：BD
12. 已知函数，设（，2，3）为实数，，且，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 不等式的解集为
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得.
【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；
对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；
对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：
均在直线上方，其中直线的方程为，
则可得，，
所以，
，
，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的图像恒过定点________
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数恒过定点的性质即可求解.
【详解】因，则令，即，
代入，则，
所以函数的图像恒过定点，
故答案为：
【点睛】本题考查了指数函数的性质，需熟记指数函数恒过定点，属于基础题.
14. 若为奇函数，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.
【详解】由题得函数的定义域为R,
因为函数是奇函数，所以.
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15. 方程：的解为__________.
【答案】
【解析】
【分析】移项化简，然后求解指数方程可得.
【详解】原方程等价于，
，即有，
整理得，
解得，即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查对数方程的求解，明确对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16. 定义：如果任取一个正常数，使得定义在上的函数对于任意实数，存在非零常数，使，则称函数是“函数”．在①，②，③，④这四个函数中，为“函数”的是______（只填写序号）．
【答案】②
【解析】
【分析】根据“函数”，依次判断各选项中的是否为常数即可.
【详解】对于①，令，则，不是常数，
不是“函数”；
对于②，令，则为常数，
是“函数”；
对于③，令，则，不是常数，
不是“函数”；
对于④，令，则，不是常数，
不是“函数”.
故答案为：②.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解“函数”的定义，即为常数的函数，从而根据运算法则来求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：（1）；
（2）.
【答案】(1) ；(2)4
【解析】
【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案；
（2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案.
【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：
原式.
（2）根据对数的运算性质，可得：
原式.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18. 设集合，，
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，再利用交集运算进行求解；
（2）根据，可得，结合集合运算可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以；当时，，即；
当时，，即；
综上可得.
19. 已知函数．
（1）若对于，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）讨论二次项系数是否为零，即可根据相应函数的性质求出；
（2）先将分参变形为，再求出函数在上的最小值即可解出．
【详解】（1）由题意可得，当时，恒成立，符合题意；
当时，要恒成立，只需．
故的取值范围为．
（2）∵对于恒成立，
令，，，，
∴，∴．
故实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法应用，涉及分类讨论思想和分离参数法的应用，属于基础题．
20. 已知定义在上的奇函数，且．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明之；
（3）解关于实数的不等式．
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用列方程组，解方程组求得；
（2）首先判断出单调性，再根据定义法证明单调性；
（3）根据的奇偶性和单调性，列出关于的不等式即可求解
【小问1详解】
因为为奇函数，所以即，
整理得，解得，
又因为，解得，
综上所述，，；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
由（1）可得，
对于任意，，且，
，，即，
，
在上单调递增，得证；
【小问3详解】
由是奇函数，则不等式可整理成，
因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
所以在上是增函数，则，解得，
所以的取值范围是
21. 二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；
（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．
【小问1详解】
解：设，因为，所以，
即，
根据，即，
解得，，所以；
【小问2详解】
解：函数，其对称轴为，
当即时，区间为减区间，
最小值为；
当，即时，取得最小值1；
当，即时，区间为增区间，
取得最小值．
综上可得时，最小值为；
时，最小值为1；
时，最小值为．
22. 已知函数，，函数．
若的最大值为0，记，求的值；
当时，记不等式的解集为M，求函数，的值域是自然对数的底数；
当时，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）0；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】函数的最大值为0，解得，从而，由此能求出;当时，的解集，函数，当时，令，则，，由此能求出y的值域;由此利用分类讨论思想能求出函数的零点个数．
【详解】函数的最大值为0，
，解得，
，
．
当时，的解集，
函数，
当时，令，则，，
的值域为．
．
，为的一个零点，
，，，
，即1为的零点．
当时，，，
在上无零点．
当时，，在上无零点，
在上的零点个数是在上的零点个数，
，，．
当，即时，函数无零点，即在上无零点．
当，即时，函数的零点为，
即在上有零点．
当，即时，，
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点．
综上所述，当时，有1个零点，
当时，有2个零点．
当时，有3个零点．
【点睛】本题考查函数值、函数的值域的求法，考查函数的零点个数的讨论，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，阴影部分集合为 ，由此能求出结果.
【详解】因为集合，集合，
所以，由图可知：阴影部分表示集合为，
故选：.
2. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案.
【详解】命题：，，则为，.
故选：D.
3. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.
故选：B
4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数在上单调递增，则对称轴求解.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以,
解得.
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的单调性的应用，属于基础题.
5. 若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，由此求得的值.
【详解】由解得，由于，所以函数为奇函数，故,故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用奇偶性求函数值，属于基础题.
6. 已知，，且，若恒成立. 则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
当且仅当时，等号成立，所以，，即，解得.
故选：D.
7. 设，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算法则即可求解.
【详解】由得，所以，
故选：C
8. 已知函数满足条件：对于，唯一的，，使得，当成立时，则实数a＋b的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得在上单调递增，则值域为，则当时，的值域为，可得，在结合，代入解得．
【详解】设当时，的值域为，当时，的值域为
则根据题意可得
当时，在上单调递增，则
即，则
∵，即且，则
∴
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题可得给定命题的否定为真命题的a的取值集合，再利用充分条件，必要条件的定义分析即得.
【详解】由题可知命题的否定“”为真，等价于，即命题“”为真命题所对集合为，
所以所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，
显然只有，{4},
所以选项AC不符合要求，选项BD正确.
故选：BD.
10. 已知关于x不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可.
【详解】因为关于x的不等式的解集是或，
所以有，
因此选项A正确；
，
因此选项B正确；
，因此选项C正确；
，因此选项D不正确，
故选：ABC
11. 已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的对称性判断BD，构造函数判断出AC错误.
【详解】因为为偶函数，所以，函数关于对称，
因为为奇函数，所以，函数关于点对称，
因为函数定义域为，所以，B正确；
又因为函数关于对称，所以，
由可得令，，D正确；
可构造函数满足题意，此时，AC错误；
故选：BD
12. 已知函数，设（，2，3）为实数，，且，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 不等式的解集为
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得.
【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；
对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；
对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：
均在直线上方，其中直线的方程为，
则可得，，
所以，
，
，即，故C错误，D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的图像恒过定点________
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数恒过定点的性质即可求解.
【详解】因，则令，即，
代入，则，
所以函数的图像恒过定点，
故答案为：
【点睛】本题考查了指数函数的性质，需熟记指数函数恒过定点，属于基础题.
14. 若为奇函数，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.
【详解】由题得函数的定义域为R,
因为函数是奇函数，所以.
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15. 方程：的解为__________.
【答案】
【解析】
【分析】移项化简，然后求解指数方程可得.
【详解】原方程等价于，
，即有，
整理得，
解得，即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查对数方程的求解，明确对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16. 定义：如果任取一个正常数，使得定义在上的函数对于任意实数，存在非零常数，使，则称函数是“函数”．在①，②，③，④这四个函数中，为“函数”的是______（只填写序号）．
【答案】②
【解析】
【分析】根据“函数”，依次判断各选项中的是否为常数即可.
【详解】对于①，令，则，不是常数，
不是“函数”；
对于②，令，则为常数，
是“函数”；
对于③，令，则，不是常数，
不是“函数”；
对于④，令，则，不是常数，
不是“函数”.
故答案为：②.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解“函数”的定义，即为常数的函数，从而根据运算法则来求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：（1）；
（2）.
【答案】(1) ；(2)4
【解析】
【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案；
（2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案.
【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得：
原式.
（2）根据对数的运算性质，可得：
原式.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18. 设集合，，
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，再利用交集运算进行求解；
（2）根据，可得，结合集合运算可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以；当时，，即；
当时，，即；
综上可得.
19. 已知函数．
（1）若对于，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）讨论二次项系数是否为零，即可根据相应函数的性质求出；
（2）先将分参变形为，再求出函数在上的最小值即可解出．
【详解】（1）由题意可得，当时，恒成立，符合题意；
当时，要恒成立，只需．
故的取值范围为．
（2）∵对于恒成立，
令，，，，
∴，∴．
故实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法应用，涉及分类讨论思想和分离参数法的应用，属于基础题．
20. 已知定义在上的奇函数，且．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明之；
（3）解关于实数的不等式．
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用列方程组，解方程组求得；
（2）首先判断出单调性，再根据定义法证明单调性；
（3）根据的奇偶性和单调性，列出关于的不等式即可求解
【小问1详解】
因为为奇函数，所以即，
整理得，解得，
又因为，解得，
综上所述，，；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
由（1）可得，
对于任意，，且，
，，即，
，
在上单调递增，得证；
【小问3详解】
由是奇函数，则不等式可整理成，
因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
所以在上是增函数，则，解得，
所以的取值范围是
21. 二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；
（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．
【小问1详解】
解：设，因为，所以，
即，
根据，即，
解得，，所以；
【小问2详解】
解：函数，其对称轴为，
当即时，区间为减区间，
最小值为；
当，即时，取得最小值1；
当，即时，区间为增区间，
取得最小值．
综上可得时，最小值为；
时，最小值为1；
时，最小值为．
22. 已知函数，，函数．
若的最大值为0，记，求的值；
当时，记不等式的解集为M，求函数，的值域是自然对数的底数；
当时，讨论函数的零点个数．
【答案】（1）0；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】函数的最大值为0，解得，从而，由此能求出;当时，的解集，函数，当时，令，则，，由此能求出y的值域;由此利用分类讨论思想能求出函数的零点个数．
【详解】函数的最大值为0，
，解得，
，
．
当时，的解集，
函数，
当时，令，则，，
的值域为．
．
，为的一个零点，
，，，
，即1为的零点．
当时，，，
在上无零点．
当时，，在上无零点，
在上的零点个数是在上的零点个数，
，，．
当，即时，函数无零点，即在上无零点．
当，即时，函数的零点为，
即在上有零点．
当，即时，，
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点．
综上所述，当时，有1个零点，
当时，有2个零点．
当时，有3个零点．
【点睛】本题考查函数值、函数的值域的求法，考查函数的零点个数的讨论，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论与整合思想，是中档题．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
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