重庆市三峡名校联盟2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市三峡名校联盟2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学测试卷共4页，满分150分、考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．在三棱锥中，若为正三角形，且为其中心，等于（ ）
A． B． C． D．
5．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的圆锥曲线为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
6．已知圆与椭圆为椭圆的右顶点，由点作圆的两条切线其夹角为，则椭圆的离心率的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点为圆上动点，且，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心，如图2所示，直线与轴交于点，若则该双曲线的渐近线方程为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．不存在实数，使得 D．若，则
10．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点
C．直线与圆相交目所截最短弦长为 D．直线与圆可以相离
11．如图所示几何体，是由正方形沿直线旋转得到，是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点，使得 B．存在点，使得
C．存在点，使得平面 D．存在点，使得平面
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点．一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，则（ ）
A．当时，延长交直线于点，则三点共线
B．当时，若平分，则
C．的大小为定值
D．设该抛物线的准线与轴交于点则，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的焦点到准线的距离为________．
14．已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且则的周长为________．
15．长方体中，为的中点则直线与所成角的余弦值为________．
16．设是半径为8的球体0表面上两定点，且球体0表面上动点满足则动点的轨迹为________（在直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线选择）则点的轨迹长度为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线．点到的距离比到轴的距离大1．
（1）求曲线的方程．
（2）是曲线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，求．
18．如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
19．一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向处准备出发，若运输车沿北偏西方向以每小时的速度做匀速直线运动：
（1）运输车将在无人区经历多少小时？
（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？
20．已知双曲线的离心率为，且过．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度．
22．已知椭圆过点为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线的斜率为满足
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的左焦点，过右焦点的直线交椭圆于两点，记的内切圆半径为，求的取值范围．
三峡名校联盟2023年秋季联考高2025届
数学参考答案
一､单项选择题
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A
8题详解：双曲线中，所以，
则，由三角形得旁心的定义可知分别平分，
在中，，在中，，
因为，
所以，
所以，同理可得，
所以，
而，故．渐近线方程为：
故选：A
二、多项选择题
9．AC 10．AC 11．BC 12．ABD
12．【详解】如图所示：
，由平行于x轴的，且过点，所以，
把代入抛物线的方程，解得，即，
由题知，直线经过焦点，
直线的方程为，即，
联立，得，
所以，
对于A选项：因为，所以，即点纵坐标为，
直线的方程为，联立，解得，所以点坐标为，
由光学性质可知平行于x轴，则三点纵坐标都相同，
所以三点共线，故选项B正确
对于B选项：由光学性质可知平行于x轴，平行于x轴，则，有，
平分，有，所以
，即，得，故选项D正确．
故选：BCD．
C．，但的大小不是定值，
设，而，
则，则，
而，并不是定值
D．由消去x得：，设，
则有，
对于A，直线斜率，直线斜率
，即，因此
三、填空题
13．1 14．14 15． 16．圆
16题详解：以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴，，则，设
则点P的轨迹满足，故轨迹是以为圆心，半径3的圆，圆O的方程
转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足，
故空间中的轨迹为以D为球心，半径为3的球，同时在球上，故在两球的交线上，为圆．球心距为，在中，等面积法得边上的高为
对应圆的半径为，
周长为．
三、解答题
17．（1）设动圆的圆心为，则，
由圆与轴相切可得，即
整理可得．
（还可以直接用抛物线定义求解）
（2）由抛物线方程得：，准线方程为：
为中点，点在轴上，点的横坐标为，
由抛物线定义知：．
18．（1）设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，向量
则
（2）由（1）知，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为
19．解（1）
以火山口的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从出发，点处开始进入无人区，到处离开无人区，则圆方程为，由运输车沿北偏西方向运动，可得直线的斜率，则，即，
因为到的距离为，
则，
所以经历时长为小时
（2）设运输车至少应离火山口出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆相切，
且直线方程为，即，
则到直线的距离，解得，
即运输车至少应离火山口出发才安全．
20．解（1）根据题意可得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）设，
联立，得，
，
，又
所以
，
所以，
所以直线的方程为，恒过定点．
21．解（1）取线段的中点，连接，
在中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
，
在中，，
；
（2）因为平面，所以平面，过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或4（舍去），．
22．解析：（1），又，椭圆方程：
（2）三角形的内切圆半径为，有等面积法知
当直线l的斜率为0时不符合题意，
设直线设
，，
令单调递增，，原式