专题02 实际问题与一元二次方程之六大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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增长率问题
例题：（2023上·重庆万州·九年级统考期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用该公司12月的营业额和该公司10月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）由济宁籍导演郭帆执导的电影《流浪地球2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18.8亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，根据三天后累计票房收入达18.8亿元，即可得到关于的一元二次方程．
【详解】解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为，
∴第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
依题意可得：．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用增长率问题，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）由于某种药品紧俏，某药店将其两次提价，由原来的每盒36元，涨到每盒54元．若每次提价的百分率均为x，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】利用基本数量关系：药品原价平均每次提价的百分率现在的价格，列方程即可．
【详解】解：由题意可列方程是：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，最基本数量关系：药品原价平均每次提价的百分率现在的价格，找出等量关系并列出方程是解题的关键．
传播问题
例题：（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有144个人感染，则每轮传染中，平均一个人传染了（ ）个人
A．13B．12C．11D．10
【答案】C
【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，并舍去不合题意的值即可．
【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，
根据题意有：，
解得：，．
∴每轮传染中，平均一个人传染了11个人．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁·八年级统考期末）区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛?
【答案】应邀请8所学校参加比赛
【分析】设应邀请x所学校参加比赛，根据列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设应邀请x所学校参加比赛，
由题意得：，
解得：，（不符合题意舍去），
答：应邀请8所学校参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛?
【答案】11支
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设有支球队参加比赛．
由题意可得：，
解得，（不合题意，舍去），
∴有11支球队参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
数字问题
例题：（2023下·江苏·八年级统考期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程 ．
【答案】
【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可．
【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程 ．
【答案】或
【分析】已知设其中的一个奇数为，且设其中的一个奇数为，分两种情况讨论：若为较小的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程；若为较大的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程，即可正确解答．
【详解】①若为较小的奇数，则另一个奇数为，
∵两个连续奇数的积为323，
∴；
②若为较大的奇数，则另一个奇数为，
∴；
故答案为：或
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．
2．（2023下·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
【答案】23
【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，
根据题意得：
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
答：这个两位数为23，
故答案为23．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
营销问题
例题：（2023上·辽宁朝阳·九年级统考期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为20%．
(2)每千克应涨价5元．
【分析】（1）本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，设每次下降的百分率为x，根据题意表示两次降价后的价格为元，再建立方程，解方程即可求解；
（2）本题考查了一元二次方程的应用，营销问题，设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，再利用总利润等于每件利润乘以销售量可得方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：每次下降的百分率为20%．
（2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
又∵要尽快减少库存，
∴．
答：每千克应涨价5元．
【变式训练】
1．（2023下·安徽蚌埠·八年级统考期末）某景区5月份的游客人数比4月份增加60％，6月份的游客人数比5月份减少了10%．
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：
(2)求该景区5、6月这两个月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】(1)，
(2)20%
(3)每件售价应定为50元
【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可；
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可；
（3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据利润不变列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人，
∴该景区5月份的游客人数为万人，
∴6月份的游客人数为万人．
∴五月的人数为万人，六月的人数为万人；
（2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为；
（3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售， 4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥钧售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
与图形有关的问题
例题：（2023上·新疆喀什·八年级统考期末）有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为平方米．

(1)用含x的代数式表示，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少?
【答案】(1)
(2)7米
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边非负且长度不超过米，即可得出的取值范围；
（2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：的长为米，且篱笆的总长度为米，
的长为米．
花圃的面积．
，
．
．
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：的长是米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式训练】
1．（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．

(1)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
(2)该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由.
【答案】(1)长为，宽为
(2)想法不能实现
【分析】（1）设，则可表示出长，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设，则可表示出长，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．
【详解】（1）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意；当时，，符合题意；
答：鸡场的长和宽分别为与．
（2）解：设，则，
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一段平直的岸堤（岸堤长米）为一边，用总长为米的围网，在水库中围成了如图所示的①②③三块不同的矩形区域用于不同水产的养殖，且这三块矩形区域的面积相等．

(1)设的长度为米，则______米，______米；（用含的代数式表示）；
(2)当矩形面积为米时，求的长度；
(3)矩形的面积能不能等于米，为什么？
【答案】(1)，
(2)米
(3)矩形的面积不可能等于，理由见解析
【分析】（1）根据区域的面积等于区域和的面积之和，得到矩形面积等于矩形面积，可得出，根据围网的总长为即可求出的长；
（2）根据矩形区域的面积建立方程，解方程即可求解；
（3）根据矩形区域的面积建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：三块矩形区域的面积相等，
矩形面积是矩形面积的倍，
又是公共边，
，
的长度为米，
，，
，
米．
故答案为：，；
（2）列方程为：，
解得，，
当，，舍去，
当，，，
米，米；
（3）由（2），可列方程：，
，
，
方程无实数根，
故矩形的面积不可能等于米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到矩形的周长与面积公式，得出，进而用含的代数式正确表示出是解题的关键．
动态几何问题
例题：（2023下·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．

(1)几秒后，的长度为；
(2)几秒后，的面积为；
(3)的面积能否为？请说明理由．
【答案】(1)后，的长度为
(2)或后，的面积等于
(3)的面积不可能等于，见解析
【分析】（1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）根据，解方程即可求解；
（3）根据，得关于的一元二次方程，运用根与系数的关系判定方程是否有实数解即可．
【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，，
∴在中，根据勾股定理，得，，
∴，解得或（舍去），
∴后，的长度为．
（2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，，
∴，即，解得或，
∴或后，的面积等于．
（3）解：不能，理由如下：
当时，即，
∴，整理得，，
∵，
∴方程没有实数根，
∴的面积不可能等于．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根据与系数的关系等知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·江西九江·九年级统考期中）如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．

(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
【答案】(1)1秒
(2)不能，见解析
【分析】（1）根据题意可得当运动时间为时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可；
（2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可．
【详解】（1）解：，，
当运动时间为时，，
根据题意可得：
，
整理得：，
解得：或，
当时，点重合，不符合题意，舍去，
∴经过1秒钟，四边形的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，
理由如下：
根据题意可得：
，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．
2．（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．

(1)填空： ______ ， ______ ；用含的代数式表示；
(2)当为几秒时，的长度等于；
(3)是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)t为秒或秒
(3)存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为
【分析】（1）由路程=速度×时间，可直接求解；
（2）由勾股定理建立方程，解一元二次方程可求解；
（3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
即
，
解得：，，
当t为秒或秒时，的长度等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于面积的，
的面积等于面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·广西贺州·八年级统考期末）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）人．
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得，
即，
解方程得，（舍去），
故选：A．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
2．（2023上·四川南充·九年级统考期末）在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利，即可得出方程．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
4．（2023下·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，一块长16m，宽8m的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为105m2．设石子路的宽度为xm，则下面所列方程正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设小路的宽为xm，则草坪的总长度为，总宽度为，
根据题意，得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键．
二、填空题
5．（2023下·山东泰安·八年级统考期末）将一条长的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于，则其中较大正方形的边长为 ．
【答案】4
【分析】设其中一个正方形边长为，则另一个正方形的边长为，根据面积之和等于列方程求解即可.
【详解】解：设其中一个正方形的边长为，
∴这个正方形的周长为,
则另一个正方形的边长为，
根据题意列方程得，
整理得:，
，
解方程得，
当时，另一正方形边长为：；
当时，另一正方形边长为：；
综上所述，较大的一个正方形的边长为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——几何问题，正确理解题意列出方程是解题关键．
6．（2023下·山东德州·八年级统考期末）2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月元降到元，若平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为 ．
【答案】
【分析】设平均每月降低开支的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设平均每月降低开支的百分率为，则可根据题意列出方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023下·山东济南·八年级统考期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域阴影部分进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为 ．

【答案】
【分析】本题可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为，根据长方形的面积公式可列出方程，进而可求出原正方形的边长．
【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有：
，
解得：，（不合题意，舍去），
即：原正方形的边长．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
8．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于 ．

【答案】2
【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，解方程即可求解．
【详解】设，与相交于点，
∵是正方形剪开得到的，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∵两个三角形重叠部分的面积为4，
∴，
解得，
即移动的距离为2．

故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键．
三、解答题
9．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
(1)求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
(2)预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月平均增长率为
(2)6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设这两个月平均增长率为，根据题意，得
解得，，（舍）
答：这两个月平均增长率为．
（2）解：设6月份后20天日均接待游客人数是万人，山题意可得，
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
10．（2023上·河南周口·九年级统考期末）某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件．
(1)求四、五两个月销售量的平均增长率；
(2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件．在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？
【答案】(1)
(2)每件降价4元
【分析】（1）设四、五两个月销售量的平均增长率为，根据三月份销量与五月份销量的关系列一元二次方程，即可求解；
（2）当年糕每件降价m元时，月销量为件，单件利润为元，根据总利润等于销量乘以单件利润列一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的平均增长率为，
由题意知：，
解得或（舍），
故四、五两个月销售量的平均增长率为；
（2）解：设当年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为6080元，
由题意知：，
整理得：，
解得或，
要使顾客获得最大实惠，
，
即在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，商场六月仍可获利为6080元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
11．（2023下·浙江丽水·八年级统考期末）如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.

(1)若设计人行通道的宽度为，则三块长方形绿地的面积共多少平方米?
(2)若三块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
【答案】(1)三块的长方形绿地的面积共648平方米
(2)人行通道的宽度为
【分析】（1）根据题意得：三块长方形绿地的长为，宽为，可求得面积；
（2）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为，宽为，根据题意得：，解方程可得．
【详解】（1）解：
答：三块的长方形绿地的面积共648平方米；
（2）解：设人行通道的宽度为x米，
由题意，得，
化简，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：人行通道的宽度为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2023下·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围AB，AD两边）．

(1)若花园的面积为，求AB的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)米或米
(2)不能，理由见解析
【分析】由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程，求出的值，然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
【详解】（1）解：米， 米，
由题意得：，
解得：，，
答：的长为米或米；
（2）解：花园的面积不能为米，理由如下：
米， 米，
由题意得：，
解得：，
当时，，
即当米，米米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积不能为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）．

(1)求的面积关于的函数解析式；
(2)若的面积是面积的，求的值；
(3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不可能，见解析
【分析】（1）分别用函数的式子表示出的长，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（2）当运动时间为时，，，，根据三角形的面积计算公式即可求解；
（3）根据题意，列式为，根据一元二次方程方程根据的判别式可知此方程无实数解，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴
∴．
（2）解：当运动时间为时，，，，
根据题意得：，即，
整理得：，
解得：，
∴的值为．
（3）解：的面积不可能是面积的一半，理由如下：
根据题意得：，即，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不可能是面积的一半．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握动点运动的规律与线段的长度的关系，几何图形面积的计算方法，一元二次方程根的判别式的知识是解题的关键．
14．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，最小，的最小距离为
(2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案；
（2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得：，，
∵，，
∴，
当时，最小，此时四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，最小，的最小距离为；
（2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，

∴，，
∴，
在中，
根据勾股定理，可得：，，
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：；
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，为的中点，
∴，
解得：，
综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或；
②不存在一个时刻，使得，理由如下：
当时，
可得：，
即，
整理可得：，
∵，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
月份
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