专题12 反比例函数与几何图形、实际应用的综合问题之五大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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反比例函数与平行四边形的综合问题
例题：（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．

(1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______；
(2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式；
(3)当平行四边形的面积等于30时，求的值．
【变式训练】
1．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．

(1)求、的值；
(2)点在上．
判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由；
的面积是______．
反比例函数与矩形的综合问题
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形的顶点B的坐标为，双曲线与矩形的对角线交于点D，与、分别交于点E、F，且．

(1)求反比例函数解析式及点E的坐标；
(2)连接，求的面积．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·八年级期末）如图，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交于点E，连接，，．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)若矩形的面积是12，求点E的坐标．
(3)直接写出当时，y的取值范围______．
反比例函数与菱形的综合问题
例题：（2023上·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在菱形中点A在x轴的正半轴上，点B坐标为，双曲线y＝（k＞0）经过点C，交于点D．
(1)求双曲线解析式；
(2)求点D坐标．
【变式训练】
1．（2023上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点P，使得的面积等于菱形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
反比例函数与正方形的综合问题
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【变式训练】
1．（2023下·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．

(1)当时，求k的值及点E的坐标；
(2)连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
反比例函数与实际应用的综合
例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示．

(1)水温从20℃加热到100℃，需要______分钟；
(2)在水温下降过程中，请求出反比例函数表达式；
(3)求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)当时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于万件，并且持续天数不少于天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
一、单选题
1．（2023下·河南周口·八年级统考期末）正方形的顶点A，B分别在轴和轴上，点在反比例函数的图象上，点在第二象限内，若，则正方形的边长为（ ）

A．B．3C．D．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，菱形的边长为，点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过点和线段的中点，且点的横坐标为，则与满足的关系为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
3．（2023下·海南海口·八年级统考期末）如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则点D的坐标为 ，若反比例函数的图象与矩形有交点，则k的取值范围为 ．

4．（2023下·浙江衢州·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，，反比例函数的图象分别交，于点C，D，连接并延长交x轴于点E．若的面积和的面积相等，则：

（1）的面积为 ．
（2）点C的坐标是 ．
三、解答题
5．（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期末）为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．
(1)n的值为__________；
(2)当时，y与x的反比例函数关系式为__________；
(3)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成后，学生能否进入教室？请通过计算说明．
6．（2023上·河南郑州·九年级校联考期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E．
(1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值．
7．（2023上·山西太原·九年级期末）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过两点（如图）．
(1)求y与S之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义；
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长．
8．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图1，菱形的边在平面直角坐标系中的x轴上，菱形对角线交于点，过点C的反比例函数与菱形的边交于点E．

(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，连接，求出的面积．
9．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．

(1)当时，求点的坐标；
(2)当时，求的值；
(3)是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形的顶点，点，反比例函数的图象经过点．

(1)试说明反比例函数的图象也经过点；
(2)如图，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、．
①求的面积；
②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．（2022下·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．
(1)①写出点B的坐标．
②求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．
(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．
12．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形相交于两点，点分别在轴和轴的正半轴上，点的纵坐标为3，点的横坐标为1．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，与相交于点．
ⅰ）求证：；
ⅱ）连接，当是直角三角形时，求此时的长．
13．（2023下·江苏常州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、，
（1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，．
______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）：
猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________；
（2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，．
______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________；
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．