专题13 图形相似、相似三角形与位似作图及性质之十大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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成比例线段
例题：（2023上·湖南永州·九年级校考期末）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cmB．4cm，5cm，6cm，10cm
C．1cm，2cm，5cm，6cmD．3cm，4cm，5cm，6cm
【答案】A
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A、，四条线段成比例，符合题意；
B、，四条线段不成比例，不符合题意；
C、，四条线段不成比例，不符合题意；
D、，四条线段不成比例，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式训练】
1．（2023上·陕西咸阳·九年级统考期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【详解】、，此选项不符合题意，排除；
、，此选项不符合题意，排除；
、，此选项符合题意；
、，此选项不符合题意，排除；
故选：．
【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是如何判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【详解】解∶因为a，b，c，d是成比例线段，可得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
比例的性质
例题：（2023上·全国·九年级专题练习）已知，则的值是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，得到，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南漯河·九年级统考期末）苯，则 ．
【答案】2
【分析】根据比例的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2023上·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：设，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由平行判断成比例的线段
例题：（2023下·吉林长春·八年级校考期末）如图，，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可解答．
【详解】解：，
，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C不正确，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
又∵．
∴，故B正确，不符合题意；
∴，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键．
2．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图，，则的长为 ．

【答案】4.5/
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】
即
解得
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．
【解答】解：如图，取的中点M，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选:B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图，点D、E在的边上，且，过点A作，分别交的平分线于点F、G．若平分线段，则 ．
【答案】
【分析】设交于点H，结合BD=2AD可得BH=DH=AD；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知AF=23BC，可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设交于点H，
∵平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．
2．（2023下·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.

【答案】1.2
【分析】过D点作交于G点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求．
【详解】解：过D点作交于G点，如图，

∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为1.2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作为解题的关键．
黄金分割
例题：（2023上·广西梧州·九年级统考期末）线段长为，点为线段的黄金分割点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义知是较长线段，则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念,掌握黄金分割比为是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山西忻州·九年级校考期末）在太原提起“赏红叶”，不少人会脱口而出崛山．崛山自古桦柏成林，尤以秋日红叶最为著名，有“小香山”的美誉．小华通过计算知道红叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点（），若的长度为，则的长度为 ．（结果保留根号）

【答案】
【分析】根据黄金分割的定义可得，从而求出的长，然后根据线段的和差关系求出的长，即可解答．
【详解】解：为的黄金分割点，的长度为，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
2．（2022上·山西忻州·九年级校考期末）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号）

【答案】
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
选择或补充条件使两个三角形相似
例题：（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，点D为上一点，请添加一个条件： ，使．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解：∵，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件或证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件或，可以证相似．
故答案为∶①；②；③；④（写出其中一个即可）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
【变式训练】
1．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是 （只写一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定条件进行求解即可．
【详解】解：添加条件：，理由如下：
∵，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．
2．（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．

【答案】3或
【分析】先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
综上，或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
证明两个三角形相似
例题：（2023上·福建泉州·九年级统考期末）如图，、相交于点，已知，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据各线段的长，可证得，再根据相似三角形的判定定理，即可证得结论．
【详解】证明：∵，，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质可得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质定理是解决此题关键．
2．（2023上·广西贺州·九年级统考期末）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据矩形的性质可知，在中可得，再由可得，进而可得即可证明结论；
（2）由可得，然后说明可得，然后将代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
利用相似三角形的性质求解
例题：（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，点在一条直线上，与相交于点

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先证明出，根据相似三角形的性质定理得到，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵==，
∴；
∴，
∴，即；
（2）∵，
∴．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川达州·九年级统考期末）如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．

(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段长度．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）由题意易得，则有，证明，进而问题可证；
（2）当为直角三角形时，则可分当时和当时进行分类讨论求解．
【详解】（1）证明：如图1，

，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由题意知，
①当时，如图2，

由（1）知，
，
点为中点，
，
，
②当时，如图3，

由（1）知，，
作于点，
则，，
，
，
，
，
．
的长是或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023下·山东东营·八年级统考期末）如图，是的高，点P，Q在边上，点G在边上，点F在边上，，，四边形是正方形．

(1)和相似吗？为什么？
(2)求的值．
【答案】(1)和相似，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后可得；
（2）证明四边形是矩形，求出，根据，利用相似三角形的性质求出，可得，进而可得答案．
【详解】（1）和相似；
理由：∵四边形是正方形，
∴，即，
∴；
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的高，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
在坐标系中画位似图形
例题：（2023上·江西萍乡·九年级统考期末）如图，已知，，．

(1)求线段的长；
(2)把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长；
(3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
【答案】(1)；
(2)见解析，；
(3)与是位似图形，位似中心，位似比为．
【分析】（1）将线段放在直角三角形中，根据勾股定理进行计算即可；
（2）根据题意分别求出，，的坐标，再根据勾股定理进行计算即可；
（3）根据位似图形的定义判定即可．
【详解】（1）解：；
（2）如图所示，

由题意得：，，
；
（3）把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标
与是位似图形，位似中心，
位似比为：．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似三角形的判定，勾股定理的应用，掌握位似图形的概念是解题的关键．如果两个相似多边形每组对应顶点，的连线都经过同一个点，且，那么这两个多边形称为位似多边形．
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为、，

(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出图形；
(2)A点的对应点的坐标是 ；B点的对应点的坐标是 ；
(3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ；
【答案】(1)见解析
(2)、；
(3)
【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可；
（2）根据（1）图形中点的位置即可得到坐标；
（3）根据位似图形的性质，即可得到答案．
【详解】（1）解：位似图形如图所示；

（2）解：由图可知，、，
故答案为：、；
（3）解：由位似图形的性质可知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—位似变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
2．（2023上·四川巴中·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为．
(1)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
(2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1，并分别写出的对应的点的坐标；
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）将三个顶点分别向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）先根据位似的性质分别求出作出的坐标，然后描点，再首尾顺次连接即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
（2）∵，似比为2：1，
∴．
如图所示，即为所求，
【点睛】本题主要考查作图—平移变换、位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的性质．
在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
例题：（2023上·四川眉山·九年级统考期末）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为 ．
【答案】18
【分析】利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：与位似，点为位似中心，
，，
，
，
，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 ．
【答案】100
【分析】根据位似图形的性质：周长比等于位似比即可得到答案．
【详解】解：由题意知五边形与五边形位似，， ，五边形的周长为，
五边形的周长：五边形的周长为，
五边形的周长，
故答案为：100．
【点睛】本题考查位似性质，熟记位似图形周长比等于位似比是解决问题的关键．
2．（2023上·甘肃白银·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且知形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是 ．

【答案】或/或
【分析】根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，
∴矩形矩形，
∵矩形的面积等于矩形面积的，
∴矩形与矩形的相似比为，
∵，
∴点的坐标为或，即或，
故答案为：或．

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．相似图形面积比等于相似比的平方．
一、单选题
1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4B．1，2，3，6C．，，，D．1，3，4，7
【答案】B
【分析】把每个选项中的四条线段两两组合求比值，若是两两组合后比值相等，则是成比例线段．
【详解】解：A、选项中四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段；
B、选项中，所以四条线段成比例线段；
C、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段；
D、选项四条线段不能组成比值相等的两组线段，故不是比例线段；
故选B．
【点睛】本题主要考查比例线段的判断，熟练掌握比例线段的判断方法是解决本题的关键．
2．（2023下·山东威海·八年级统考期末）若，则下列运算不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，设，则，
A、，故选项正确，不符合题意；
B、，故选项错误，符合题意；
C、，故选项正确，不符合题意；
D、，故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，解题关键是熟练掌握设法．
3．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期末）如图，，直线a，b相交于点，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，结果错误，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，结果正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
4．（2022上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，小主持人舞台长10米，主持人位置点C是靠近点B的黄金分割点，则的长约为（ ）
A．3.82米B．5米C．6.18米D．7米
【答案】C
【分析】由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【详解】解：∵点C是线段上靠近点B的黄金分割点，米，
∴（米），
故选C．
【点睛】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618．
5．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图所示，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
二、填空题
6．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在矩形中，若，，则 ．

【答案】
【分析】根据矩形的性质可得，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，且，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质与相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2020上·湖南张家界·七年级统考期中）如图，，请你补充一个条件： ，使．
【答案】（答案不唯一）
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键．
8．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，有三个点，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，位似比为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，位似比为，且，
点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
9．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则 ．
【答案】/0.2
【分析】如图，作辅助线，由得到，故；再证明，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作，交于点G，
，
，
，
，，
，
是的中线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线．
10．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）如图，在中，，，，点、分别在边、上，连接，沿折叠该三角形，使点的对应点落在边上，若是直角三角形，则的长为 ．

【答案】或
【分析】由勾股定理可知，，由折叠的性质可知，，设，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
，
由折叠的性质可知，，
设，则，，
①如图，当时，此时是直角三角形，

，，
，
，
，
解得：，即；
②如图，当时，此时是直角三角形，

，，
，
，
，
解得：，即；
综上可知，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题
11．（2023上·河北邢台·九年级统考期末）已知：如图，在中，为边上一点，．

(1)求证：；
(2)若，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由，双因公共角，根据相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）由（1）知，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
；
（2）解：由（1）知，
，
，，
，
，
即长是2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
12．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点E，连接，过点E做与交于点G，与的延长线交于点F．

(1)求证：；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）正方形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
（2），得到，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵在正方形中，，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
则的面积为．
【点睛】本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似．
13．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，在矩形中，E为边上一点，将点C沿翻折恰好落到边上的点F处．

(1)求证：；
(2)若，，则______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质的，根据翻折的性质得出，根据同角的余角互余得出，即可证明；
（2）可设，，则，根据翻折可得，，由相似三角形的性质可得，代入数据求解即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
根据翻折可得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
可设，，
∵，
∴，
根据翻折可得，，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点及平面直角坐标系．
(1)将绕点逆时针旋转得到，请作出，并直接写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，位似比为，在第四象限将放大为原来的2倍得到，请作出．
(3)在（2）的条件下，若上的点位似的对应点为点，则点的坐标为________．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质找出点的对应点，连接可得，再根据坐标轴写出点的坐标即可；
（2）把点的横纵坐标都乘以2得到对应点的坐标，连接即可；
（3）根据相似的性质，将点的横纵坐标都乘以2，即可得到对应点的坐标．
【详解】（1）如图，即为所作，点的坐标为；
（2）如图，即为所求；
（3）点位似的对应点的坐标为点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转作图，位似变换作图及点在坐标系的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．（2023上·江苏无锡·九年级统考期末）如图，中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为．
(1) ______； ______（用含t的代数式表示）
(2) D是的中点，连接，t为何值时，有最值？的面积最值为多少？
【答案】(1)；
(2)t为3时，的面积有最小值，最小值为9
【分析】（1）根据速度乘时间等于路程，列出代数式即可；
（2）过点D分别作，分别交于点E，F，可得，四边形是矩形，从而得到，再由的面积等于，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵D是的中点，
∴，
如图，过点D分别作，分别交于点E，F，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴
，
∵，
∴当时，有最值为9
答：t为3时，的面积有最小值，最小值为9．
【点睛】本题主要考查了二次函数的的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
16．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）【初步感知】如图①，和都是等边三角形，连结，．易知：（不用证朋）；

【深入探究】如图②，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，，连结、．
(1)求的值；
(2)延长交于点，交于点，则______°；
(3)【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且，连结，．延长交于点，交于点，若，则______．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)60
(3)
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）由可得，再根据，即可得出结论；
（3）先证可得，再根据，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在中，，
，即，
同理，，
，
又，
，
即，
，
；
（2）解：，
，
，，
；
故答案为：60；
（3）解：，，
，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．