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北师大版九年级数学下册同步精品讲义 第12讲 圆的对称性（原卷版）
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第12讲 圆的对称性目标导航知识精讲知识点01 圆的对称性1. 圆的对称性圆的对称轴是任意一条过圆心的直线。注意：①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴；②圆的对称轴有无数条。2. 圆是中心对称图形圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。知识点02 圆心角、弧、弦的关系1. 圆心角角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。2. 弦心距圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。3. 圆心角、弧、弦的关系： （1）定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 注意：①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. EQ \o\ac(○,3)实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。能力拓展考法01 利用圆心角、弧、弦的关系求解【典例1】如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵点D，C是的三等分点，∴，∵，∴，∴；故选A．【即学即练】如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）A．18° B．36° C．72° D．80°【答案】B【详解】解：设圆心为，连接、，，，，，，，，，，，即弧的度数为，故选：B．考法02 利用圆心角、弧、弦的关系求证【典例2】如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，故A选项正确；，即，故B选项正确；，，故D选项正确；不能证明，故C选项错误；故选：C．【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④【答案】B【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，∵MC⊥AB，ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵MN∥AB，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四边形CMND是矩形， ∴CM=DN，又∵OM=ON，∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，∵OC=OD，∴CM=2OC，∴，∴，故③错误；若M是的中点，∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD=BD，故④正确，故选B． 分层提分题组A 基础过关练1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，∴，∵，∴；故选C．2．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图所示：连接CD， ∵在中，即的度数是故选：B．3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（ ）A．120° B．75° C．60° D．30°【答案】C【详解】解：连接OA、OB，如图，∵OA=OB=AB，∴OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．故选：C．4．下列说法中，正确的个数为（ ）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；故选：B．5．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）A．42° B．48° C．21° D．16°【答案】C【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，，，，故选：C．6．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．【答案】B【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．故选：B．7．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为_________．【答案】【详解】解：如图：∵，∴劣弧的度数为．故答案为：．8．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．【答案】160°，200°【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，∴劣弧的度数为360°×=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.即这两条弧的度数分别为160,200.故答案为160°，200°.9．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．【答案】．【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，∴，即，∴，∵，∴．10．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE=DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．【详解】(1)∵DF∥AB，BE∥DC，∴∠EBA=∠COA=∠CDF.∴弧ECA=弧CAF，∴弧BE=弧DF，∴BE=DF；(2) 由（1）可得，弧DF=弧BE；∵弧ECA=弧CAF，∴弧EC=弧FA；∵，∴弧AC=弧BD；∵弧BE＋弧EC=弧AF＋弧DF；∴弧DA=弧BC．∴综上所述，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．题组B 能力提升练1．下列说法中，不正确的是（ ）A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧【答案】D【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确D.直径是弦，半圆是弧，故错误故选：D2．如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（ ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故选：B．3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【详解】解：如图，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故选：C．4．在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法比较它们的大小【答案】C【详解】解：如图，作的中点，连接、，则，∵，∴，∴，在中，∵，∴，故选项C正确．故选：C5．如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（ ）A． B．2 C．4 D．【答案】D【详解】解：连，如图，是的中点，，，又，和都是等边三角形，．故选：D．6．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）A． B． C． D．．【答案】B【详解】解：连接AB、BC，OB，∵点B、C将弧AD三等分，∴，∴，故A选项正确；∵，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B选项错误；∵，∴，故C选项正确；∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴，∴，故D选项正确；故选：B．7．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为______．【答案】【详解】解：如图：连接，∵，∴，∴，故答案为：．8．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”）【答案】【详解】解：取的中点E，连接，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．9．如图，已知是的直径，弦．(1)求证：弧弧；(2)若弧AC的度数为，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，，，，，，，；（2）解：的度数是，，，，，．10．已知AB是⊙O的直径．（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．【答案】（1）75°；（2）20°【详解】解：（1）∵，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（2）连接BF，∵AD⊥直线，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，∵四边形为圆内接四边形，∴∠ABF＋∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．题组C 培优拔尖练1．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，∵弧度数是，∴，∵，∴，即，∴．故选：C2．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）A． B． C．3 D．【答案】D【详解】如图，连接，，是直角三角形，且是等边三角形是直径，故选D3．下列说法正确的个数有（ ）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：①半圆是弧，正确；②面积相等的两个圆，半径相等，故是等圆，正确，③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．⑤等弧所对的圆心角相等，正确．故选：B．4．如图，⊙是的外接圆，边的垂直平分线与相交于D点，若，，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，连接OA、OB、OC，∵，，∴，∴，，∵OD垂直平分边，∴，∴，∴的度数为．故选：B．5．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（ ）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：则∵CD∥AB，∴∠ECD=∠CEA=90°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠CEA=90°，∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，∴四边形CDFE是矩形，∴EF=CD=2,∴CD∥AB，∴∠ABC=∠BCD,∴,∴AC=BD,又∵CD∥AB，∴四边形ABDC是等腰梯形，∵AB=6,CD=2,根据等腰梯形的对称性可知：∴BE=BF+EF=2+2=4,在∴在，∴，根据圆周角的性质可知,在,∴，∵BO＞0，∴BO=，故选：D．6．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点，∴，∴，∴BD平分∠ABC，故①正确；连接DC，AC，∵OD垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴BC∥OD，故②正确；∴，，∴，∴，设，则，，∴，∴CE＝OE，故③正确；故选D．7．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= ______°．【答案】115【详解】解：连接，如下图：∵AB为的直径∴∵四边形ABCD内接于∴∴∵点C为弧BD的中点，∴∴∴故答案为：8．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论①AC＝BD；②AM＝BN；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．所有正确结论的序号是 ___．【答案】①②④【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM=∠ODN=90°， ∵， ∴∠CMN+∠MCD=180°， ∴∠CMN=90°， ∴四边形CMND是矩形， ∴CM=DN， 在Rt△OMC和Rt△OND中，， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴OC=OD，∠COM=∠DON， ∴ ， 故②正确， ∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确， 当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC， ∴OM=OC， ∴AB=2OM=OC=MN， 故③错误， 若M是的中点，连接BN，而 ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∵ON=OB， ∴△ONB是等边三角形， ∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确． 故答案为：①②④．9．如图，，，，在⊙O上，连接，相交于点．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，连接，，，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵AC=BD，∴，∴即，∴，∴；（2）如图所示，延长CO交圆O与F，连接DF，AD，∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACB=∠ADE，∠CFD=∠CAD∴∠ACB+∠CFD=90°，∵CF为圆O的直径，∴∠CDF=90°，∴∠CFD+∠FCD=90°，∴∠ACB=∠FCD，∴∠OCD=∠ACB．10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.5【详解】(1)证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，(2)证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠DBC=∠DBA=∠ADE，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF， (3)连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，BD=4，∴AB==5，∴2r=5，∴r=2.5，故⊙O的半径为2.5． 课程标准1.掌握圆的轴对称性和中心对称性及其相关的性质；2.理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决有关问题.
第12讲 圆的对称性目标导航知识精讲知识点01 圆的对称性1. 圆的对称性圆的对称轴是任意一条过圆心的直线。注意：①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴；②圆的对称轴有无数条。2. 圆是中心对称图形圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。知识点02 圆心角、弧、弦的关系1. 圆心角角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。2. 弦心距圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。3. 圆心角、弧、弦的关系： （1）定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 注意：①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. EQ \o\ac(○,3)实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。能力拓展考法01 利用圆心角、弧、弦的关系求解【典例1】如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵点D，C是的三等分点，∴，∵，∴，∴；故选A．【即学即练】如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）A．18° B．36° C．72° D．80°【答案】B【详解】解：设圆心为，连接、，，，，，，，，，，，即弧的度数为，故选：B．考法02 利用圆心角、弧、弦的关系求证【典例2】如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，故A选项正确；，即，故B选项正确；，，故D选项正确；不能证明，故C选项错误；故选：C．【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④【答案】B【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，∵MC⊥AB，ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵MN∥AB，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四边形CMND是矩形， ∴CM=DN，又∵OM=ON，∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，∵OC=OD，∴CM=2OC，∴，∴，故③错误；若M是的中点，∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等边三角形，∵ND⊥OB，∴OD=BD，故④正确，故选B． 分层提分题组A 基础过关练1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，∴，∵，∴；故选C．2．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图所示：连接CD， ∵在中，即的度数是故选：B．3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（ ）A．120° B．75° C．60° D．30°【答案】C【详解】解：连接OA、OB，如图，∵OA=OB=AB，∴OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．故选：C．4．下列说法中，正确的个数为（ ）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；故选：B．5．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）A．42° B．48° C．21° D．16°【答案】C【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，，，，故选：C．6．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．【答案】B【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．故选：B．7．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为_________．【答案】【详解】解：如图：∵，∴劣弧的度数为．故答案为：．8．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为__________．【答案】160°，200°【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，∴劣弧的度数为360°×=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.即这两条弧的度数分别为160,200.故答案为160°，200°.9．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．【答案】．【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，∴，即，∴，∵，∴．10．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE=DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．【详解】(1)∵DF∥AB，BE∥DC，∴∠EBA=∠COA=∠CDF.∴弧ECA=弧CAF，∴弧BE=弧DF，∴BE=DF；(2) 由（1）可得，弧DF=弧BE；∵弧ECA=弧CAF，∴弧EC=弧FA；∵，∴弧AC=弧BD；∵弧BE＋弧EC=弧AF＋弧DF；∴弧DA=弧BC．∴综上所述，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA，弧AC=弧BD，弧DA=弧BC．题组B 能力提升练1．下列说法中，不正确的是（ ）A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧【答案】D【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确D.直径是弦，半圆是弧，故错误故选：D2．如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（ ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故选：B．3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【详解】解：如图，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故选：C．4．在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法比较它们的大小【答案】C【详解】解：如图，作的中点，连接、，则，∵，∴，∴，在中，∵，∴，故选项C正确．故选：C5．如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（ ）A． B．2 C．4 D．【答案】D【详解】解：连，如图，是的中点，，，又，和都是等边三角形，．故选：D．6．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）A． B． C． D．．【答案】B【详解】解：连接AB、BC，OB，∵点B、C将弧AD三等分，∴，∴，故A选项正确；∵，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B选项错误；∵，∴，故C选项正确；∵，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴，∴，故D选项正确；故选：B．7．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为______．【答案】【详解】解：如图：连接，∵，∴，∴，故答案为：．8．如图，在同圆中，若，则______．（“”“”或“”）【答案】【详解】解：取的中点E，连接，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．9．如图，已知是的直径，弦．(1)求证：弧弧；(2)若弧AC的度数为，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，，，，，，，；（2）解：的度数是，，，，，．10．已知AB是⊙O的直径．（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．【答案】（1）75°；（2）20°【详解】解：（1）∵，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（2）连接BF，∵AD⊥直线，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，∵四边形为圆内接四边形，∴∠ABF＋∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．题组C 培优拔尖练1．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，∵弧度数是，∴，∵，∴，即，∴．故选：C2．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）A． B． C．3 D．【答案】D【详解】如图，连接，，是直角三角形，且是等边三角形是直径，故选D3．下列说法正确的个数有（ ）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：①半圆是弧，正确；②面积相等的两个圆，半径相等，故是等圆，正确，③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．⑤等弧所对的圆心角相等，正确．故选：B．4．如图，⊙是的外接圆，边的垂直平分线与相交于D点，若，，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，连接OA、OB、OC，∵，，∴，∴，，∵OD垂直平分边，∴，∴，∴的度数为．故选：B．5．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（ ）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：则∵CD∥AB，∴∠ECD=∠CEA=90°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠CEA=90°，∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，∴四边形CDFE是矩形，∴EF=CD=2,∴CD∥AB，∴∠ABC=∠BCD,∴,∴AC=BD,又∵CD∥AB，∴四边形ABDC是等腰梯形，∵AB=6,CD=2,根据等腰梯形的对称性可知：∴BE=BF+EF=2+2=4,在∴在，∴，根据圆周角的性质可知,在,∴，∵BO＞0，∴BO=，故选：D．6．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点，∴，∴，∴BD平分∠ABC，故①正确；连接DC，AC，∵OD垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴BC∥OD，故②正确；∴，，∴，∴，设，则，，∴，∴CE＝OE，故③正确；故选D．7．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= ______°．【答案】115【详解】解：连接，如下图：∵AB为的直径∴∵四边形ABCD内接于∴∴∵点C为弧BD的中点，∴∴∴故答案为：8．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论①AC＝BD；②AM＝BN；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．所有正确结论的序号是 ___．【答案】①②④【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM=∠ODN=90°， ∵， ∴∠CMN+∠MCD=180°， ∴∠CMN=90°， ∴四边形CMND是矩形， ∴CM=DN， 在Rt△OMC和Rt△OND中，， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴OC=OD，∠COM=∠DON， ∴ ， 故②正确， ∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确， 当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC， ∴OM=OC， ∴AB=2OM=OC=MN， 故③错误， 若M是的中点，连接BN，而 ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∵ON=OB， ∴△ONB是等边三角形， ∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确． 故答案为：①②④．9．如图，，，，在⊙O上，连接，相交于点．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，连接，，，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵AC=BD，∴，∴即，∴，∴；（2）如图所示，延长CO交圆O与F，连接DF，AD，∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACB=∠ADE，∠CFD=∠CAD∴∠ACB+∠CFD=90°，∵CF为圆O的直径，∴∠CDF=90°，∴∠CFD+∠FCD=90°，∴∠ACB=∠FCD，∴∠OCD=∠ACB．10．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.5【详解】(1)证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，(2)证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠DBC=∠DBA=∠ADE，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF， (3)连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，BD=4，∴AB==5，∴2r=5，∴r=2.5，故⊙O的半径为2.5． 课程标准1.掌握圆的轴对称性和中心对称性及其相关的性质；2.理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决有关问题.
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