北师大版九年级数学下册同步精品讲义 第14讲 圆周角和圆心角的关系（原卷版）

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第14讲 圆周角和圆心角的关系目标导航知识精讲知识点01 圆周角的定义顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。注意：（1）圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）。（2）圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角。（3）一条弧所对的圆周角有无数个。知识点02 圆周角定理1. 圆周角定理：　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.2.圆周角定理的推论：　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 知识点03 圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 注意：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.能力拓展考法01 圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用【典例1】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，连接 ∵，∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B．【即学即练】如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（     ）A．116 B．120 C．122 D．128【答案】D【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，与圆O相切于A点，，，，，垂直平分BC，，，，的度数为，故选：D．【典例2】如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【详解】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=100°，∴∠ACD=10°，∵∠AOD与∠ACD都对着，∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．故选∶B．【即学即练】如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（    ）A． B． C． D．1【答案】B【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，，（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），，故选：B．考法02 圆周角定理及应用【典例3】如图，点A、B、C是上的点，，则的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴，故选：A．【即学即练】如图，为的直径，弦交于点E，，，，则（　　）A． B． C．2 D．1【答案】D【详解】解：∵为的直径，，∴，∴，∵，，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∴ ．故选：D．【典例4】如图，是的弦，，C是上的一个动点，且．若M，N分别是，的中点，则长的最大值是（　　）A．3 B．6 C． D．【答案】C【详解】解：如图，点M，N分别是，的中点，，当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，连接并延长交于点，连接，是的直径，．，，，，长的最大值是．故选C．【即学即练】如图，为的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则长的最大值是（    ）A．4 B．5 C． D．【答案】C【详解】解：如图，∵点M，N分别是的中点，∴∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，连接并延长交于点，连接，∵是的直径，∴．∵，∴，∴，∴．故选：C．考法03 圆内接四边形及应用【典例5】如图，四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．若，则的度数是（　　）A．124° B．114° C．94° D．66°【答案】B【详解】解：∵四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．，故选：B．【即学即练】如图，点A、B、C在上，点D是延长线上一点，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，则：，∴；故选C．【典例6】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，∵OD=OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD=OD=OA，∵AD=2，∴OA=OD=OB=2，∴AB=2+2=4，故选：D．【即学即练】如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED，∵为四边形的外接圆，，∴，∵，∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形），∴的角平分线经过圆心，∴，∵AE是直径，∴（直径所对圆周角是），是直角三角形；∵，，∴，∴．故选：A．分层提分题组A 基础过关练1．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　）A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④【答案】C【详解】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．故选：C．2．下列关于圆的命题中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③矩形的四个顶点共圆；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴；⑤平分弦的直径一定垂直于这条弦；⑥圆是中心对称图形，对称中心是圆心；⑦相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题的个数是（    ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】解：直径是弦，故①是真命题；长度相等的弧不一定是等弧，故②是假命题；矩形的四个顶点共圆，故③是真命题；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故④是假命题；平分弦不是直径的直径一定垂直于这条弦，故⑤是假命题；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；故⑥是真命题；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故⑦是假命题；真命题有①③⑥，共个，故选：B．3．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（　　）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】D【详解】∵四边形内接于，∴，而，∴，∴．故选：D．4．如图，是的直径，是的弦，已知，则的度数为（　　）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【详解】根据圆周角定理进行求解即可得．解：∵，．故选：C．5．如图，是半圆的直径，D是弧的中点，，则的度数是（    ）．A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】A【详解】解：连接，如图，∵点D是的中点，即，∴，而，∴，∵是半圆的直径，∴，∴．故选：A．6．已知在圆的内接四边形中，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由可设，∵四边形是圆内接四边形，∴，即，∴，∴，∴；故选A．7．如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则__________．【答案】##度【详解】解：如图，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：．8．如图，AB是的直径，C、D在上，若，则______．【答案】##20度【详解】解：∵，，∴，∵是直径，∴，∴．故答案为：．9．如图，是直径，是的弦，，求的度数．【答案】【详解】解：如图，连接，∵是直径，∴，∵，∴．∴．10．已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．(1)求证：；(2)若，求圆弧所对的圆心角的度数．【答案】(1)见解析(2)圆弧所对的圆心角的度数为．【详解】（1）证明：连接，∵是半的直径，∴，∵，∴；（2）解：连接，∵是半的直径，∴，∵，∴，∴，∴圆弧所对的圆心角的度数为．题组B 能力提升练1．如图，内接于，，，垂足为点，与相交于点，连接，则的大小为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接，四边形是圆内接四边形，，，，，是边的中点，，，故选：C．2．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图：连接，是的直径，，，，，故选：D．3．如图，是⊙O的直径，弦，，若动点M以的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为，当是直角三角形时，t的值为（    ）A． B．5s C． D．或【答案】D【详解】解：如图，是直径，．又，，根据勾股定理得到．则，．当点到达点时，点也随之停止运动，．①如图1，当时，，则．故，即，解得．②如图2，当时，，则，即，解得．综上所述，当或时，为直角三角形．故选D．4．如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，连接，作于H．∵，∴，∴，∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解）在中，∵，∴，，在中，，∴CQ的最大值为，故选：D．5．在中，直径，是弦，，点是弦上的动点，则的最小值是(    )(为此，我校数学兴趣小组的部分同学做了如下探究，如图，过点作，过点作，得，从而，…顺着同学们的思路请你做出正确的选择)A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，∵，∴，当三点共线时即为的长，∵，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是矩形，∴∴的最小值即为的长，∵直径，是弦，，∴∴，∴，在中，，∴的最小值为，故选：A．6．下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的个数是（    ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确；平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确；圆内接四边形对角互补，故表述正确；三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确．故选：B．7．如图，在中，是的直径，，，点E是点D关于的对称点，M是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10，其中正确的序号是_______．【答案】①④##④①【详解】解：①∵，∴；又∵点E是点D关于的对称点，∴；故①正确；②∵，故②错误；③∵，∴，∴；故③正确；④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，∵，∴，∴，∴是的直径，∵，∴，∴，故④正确．故答案为：①④．8．如图，点A，B，C都在上，如果，那么的度数为___________．【答案】##120度【详解】解：如图：在优弧AC上取一点D，连接,∴,∵∴，解得：∵四边形∴∴．故答案为：．9．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接．(1)若，求的度数．(2)若平分，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：是的直径，，，，；（2）解：连接，则：，平分，，，，，．10．如图1，在中，，过点A作直线，使，过点B作于点N，过点C作于点M．(1)猜想与的数量关系，并说明理由；(2)求证：；(3)如图2，连接交于点G，若，，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）解：，理由如下；∵，即，∴，∴∵，，∴，∴，∴；（2）证明：如图所示，过点C作于D，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴四点共圆，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解： 如图所示，过点N作于E，过点C作于H，则四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴,，∴，∴．题组C 培优拔尖练1．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，∵，∴，∵，∴，∵正方形的外接圆的半径为，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴CF的最小值为．故选：A．2．如图，是直径，，点，是圆上点，，，点是劣弧上的一点（不与，重合），则的长可能为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】解：连接、，∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴的长可能为，故选：C．3．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接，点所对应的读数为，，为直径，，点在上，，，故选：C．4．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ）A．①④ B．①②③ C．①③ D．①③④【答案】D【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∴，∴，故①正确；∵点是上一动点，∴不一定等于，∴不一定成立，故②错误；当最长时，为的直径，∴，∵是等边的外接圆，，∴，∴，∴，故③正确；如图，延长至点E，使，连接，∵四边形为的内接四边形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故④正确；∴正确的为①③④．故选：D．5．如图，是的高，若，，则长的最大值为（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【详解】在上方作以为斜边的等腰直角三角形，∵∴点C在以为圆心，长为半径的圆上运动，∵，∴，当经过圆心时最长∵是的高，∴此时，故选：A．6．某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（    ）①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，∴优弧所对圆周角如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且∴为优弧所对圆周角∴，即①方案成立；在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，∵，，∴②方案成立；在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，和相切于点P如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总 根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和 ∴③方案不成立；故选：B．7．如图，四边形是的内接四边形，对角线、交于点，，的半径为1，当时，则的取值范围______．【答案】##【详解】解：连接，，过O作交于F，交于E，∵，，，∴，∴，∵，，∴四边形是矩形，，，∴，在、、中根据股定理可得，，，，∴，∵，∴，∴．8．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为______． 【答案】【详解】连接，∵，∴，∴，∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在上时，的值最小，∵C为半圆O的三等分点（靠近点A），∴，∴是等边三角形，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴线段的最小值为，故答案为：．9．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点．(1)填空：______度，______度；(2)若的半径为4，求等边三角形的面积；(3)求证：．【答案】(1)60；60(2)(3)见解析【详解】（1）解：∵为等边三角形，∴，，∴，；故答案为：60；60．（2）解：连接，并延长交于点D，连接，如图所示：∵是等边三角形的外接圆，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴．（3）解：在上截取，连接，如图所示：∵，，∴为等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．10．如图，四边形内接于为对角线，，直径交于点F，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点G作于H，过点A作交于点，若，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）证明：在中，∵，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∴∴；（2）∵四边形是内接四边形∴，∵，∴，∵，∴，∵，则， ∴，∴，，∵，∴，∴，∴，（3）连接连接交于，延长交于，∵，∴，∵，又，∴，在与中，，∴，∴，设，∵，∴，∵，∴在中，∴即∴，即∴在中，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．课程标准1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能进行简单的推理和计算。2.知道圆内接四边形的相关概念和性质。3.体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力。