吉林省部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份吉林省部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知直线与圆， 已知双曲线， 若直线等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据渐近线方程与双曲线方程有关系可得，
【详解】双曲线的渐近线方程为.
故选：A．
2. 圆：与圆：的位置关系为（ ）
A. 外离B. 相切C. 相交D. 内含
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系知识即可求解.
【详解】由题意得，圆与圆的半径之差为，
所以圆与圆的位置关系为内含.
故选：D.
3. 鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.
【详解】由题意得，设该抛物线的方程为，
则，得，所以该抛物线的焦点为.
故选：C
4. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.
【详解】设直线与平面所成的角为，
则，所以.
故选：A
5. 已知直线与圆：交于，两点，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用半弦长、半径、弦心距的关系，即可得到弦长.
【详解】由题意得圆：，
则圆心到直线的距离为，
所以.
故选：B
6. 如图，此耳杯为新疆和田白玉雕琢而成，玉质莹润，工艺精巧，是汉代玉制品的精美之作，现藏于吉林博物院.此耳杯杯口的形状是一个椭圆，已知该椭圆的长轴长为13厘米，短轴长为9.5厘米，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率的定义计算．
【详解】由题意得该椭圆的半长轴长为厘米，半短轴长为厘米，
所以该椭圆的离心率.
故选：B．
7. 已知双曲线：的虚轴长与实轴长的差为2，点，，坐标原点到直线的距离为，则的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中由面积得出一个关于的等式，再由及列方程组求得，从而得结论．
【详解】由题意得，则，得所以的焦距为.
故选：C．
8. 在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点，通过三角形重心的性质得出为的中点，结合已知即可得出,再通过三棱台的性质得出，则，即可将分解为，即可利用向量模的求法结合已知得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
的重心为，
为在边上的中线，即为的中点，
三棱台中，，
,,
，
三棱台中，面面，且面分别交面，面于，，
，
，则，
得，
所以
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若直线：，：，：，且，，则（ ）
A. B.
C. ，之间的距离为D. ，的交点坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过直线的位置关系列方程求解即可判断AB，代入两平行直线距离计算公式判断C，联立直线方程求得交点坐标判断D.
【详解】由及得，解得，故选项A错误，B正确；
则：，：，又：即，
所以，之间的距离为.故选项C正确；
由得，所以，的交点坐标为，故选项D正确.
故选：BCD
10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.
【详解】由，，得.
,
由，得.
在中，由余弦定理得，
得或，所以或.
故选：AC
11. 已知为抛物线：的焦点，过的直线与C交于A，B两点，，C的准线与x轴的交点为，点A在准线上的投影为点，且四边形的面积为，则（ ）
A. B.
C. 直线的斜率为D. 点A的横坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式以及条件，代入计算可得，然后对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
如图，设点B在C的准线上的投影为点，取，的中点分别为E，，
过F作，垂足为点.设，
则，，
，，
所以四边形的面积为，
解得，，故A，B正确；
由，得，当A在第一象限，B在第四象限时，
直线的斜率为，当A在第四象限，B在第一象限时，
直线的斜率为，故C错误；
点A的横坐标为，故D正确；
故选：ABD
12. 已知第一象限内的点在双曲线上，，分别为的左、右焦点，的内切圆是半径为的圆，若直线的斜率小于，则的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据内切圆的性质结合双曲线的定义，结合直线的斜率小于，建立方程，求出双曲线的离心率.
【详解】
如图，设圆与轴相切于点，与和分别相切于，两点.
由内切圆的性质得，，，
则
因为，所以，则为的右顶点.
因为直线的斜率小于，所以.又平分，
所以.易得，则，，
所以，解得.
在中，，则，解得.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小，则直线的倾斜角为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案.
【详解】由题意得直线：的斜率为，
直线的倾斜角范围为大于等于小于，故的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
故答案为：
14. 在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设，根据给定条件，借助向量的夹角公式计算即可.
【详解】设，由，得
则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可）
故答案为：.（答案不唯一）
15. 如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】分析点C到点A、B的距离之差，即可判断出C的轨迹为以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支，即可求出C的轨迹方程.
【详解】由题意得，
所以的轨迹是以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支.
由，，得，
所以的轨迹方程为.
故答案为：.
16. 已知圆C：，过点的直线l与圆C交于，两点，则的最小值为_____________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据表示,两点到直线的距离之和的倍，结合,两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值的倍即可.
【详解】
如图，设AB的中点为M，A，B，M在直线l：
的投影分别为，，．
圆心到直线l：的距离，
所以直线l与圆C相离．易得，
即（当M，C重合时，，当M，P重合时，），
所以点M在以CP为直径的圆上，其圆心为，半径为，
由题意得:
.
因为所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标.
【答案】，
【解析】
【分析】求出A关于轴对称的点为的坐标，直线即为反射光线所在直线，易得其方程，其中令可求得入射点坐标．
【详解】设A关于轴对称的点为，则，
所以直线的斜率为，
直线的斜截式方程为，即反射光线所在直线的一般式方程为.
令，得，所以入射点的坐标为，
18. 已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.
【答案】（1）或.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；
（2）利用点差法进行求解即可.
【小问1详解】
设，由题意可知：，
两边同时平方，
得
所以的方程为或.
【小问2详解】
由题可知曲线为，
设，，则.
由
得，
所以的斜率为.
19. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若，，点M在圆C上，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解.
（2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解.
【小问1详解】
设圆C：（），
由题意得，解得，
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
设，，由，得，
则．
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34．
故的取值范围为.
20. 如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求其夹角的余弦值即可得答案.
（2）利用空间向量的方法解决点到面的距离.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，则，
取，则，得.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为.
【小问2详解】
设，则.
因为平面，所以，则，得，即.
因为，所以点到平面的距离为.
21. 已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
（1）若直线AB的斜率为，求．
（2）试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在点或，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值
【解析】
【分析】（1）设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式计算可得答案；
（2）设，，求出，若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，可得答案.
【小问1详解】
设直线AB的方程为，
由，得或，
所以；
【小问2详解】
因为A，B是C上关于坐标原点O对称的两点，且直线AP与直线BP的斜率存在，
所以直线AP与直线BP的斜率均不为0，
设，，则，，
所以，
由，得，则
，
若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，
化简得，得或，
此时，
故在直线上存在点或，
使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值.
22. 圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为.
（1）求方程；
（2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意，利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论，的斜率取值情况，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得，从而得证.
【小问1详解】
依题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
当，的斜率等于0时，，，
所以；
当，的斜率不等于0时，设：，则：，
由，得，
令，得.
设到的距离为，则，
得，
由，得，
易知，设，，则，
则，
故.