福建省南安市本真高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份福建省南安市本真高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，再由交集的定义求解即可.
【详解】解：由，
又，
所以.
故选：D
2. 命题“，，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,
注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.
故选：B
3. 使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可.更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】由题意可得，
又因为，
所以的一个充分不必要条件可以是D选项，
故选：D.
4. 下列命题正确的是（ ）.
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则D. 若，则最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用作差比较法，可判定A、B不正确；根据不等式的性质，可判定C正确；根据基本不等式，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由，其中的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，因为，可得，
所以，即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以D不正确.
故选：C.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得的定义域，由此求得的定义域.
【详解】，解得，
所以的定义域是，
对于有，
所以函数的定义域为.
故选：D
7. 若，使的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果.
【详解】不等式，等价于，
依题意，，恒成立，
而函数在上单调递增，当时，，因此，
所以的取值范围为.
故选：C
8. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数满足对任意，都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合、、的关系如图所示，则下列选项正确的是（ ）

A.
B.
C.
D. 若为自然数集，，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图可知，，利用图形可判断ABC选项；利用集合的运算可判断D选项.
【详解】对于A选项，由图可知，，则，A对；
对于B选项，因为，由图可知，，B对；
对于C选项，因为，则，，且，
故，C错；
对于D选项，若为自然数集，，，则，D对.
故选：ABD.
10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
11. 在下列函数中，最小值是的函数有（ ）
A B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，，所以A选项不符合.
B选项，，
当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.
C选项，对于函数，
当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，的最小值是，符合题意.
D选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项符合.
故选：CD
12. 定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（ ）
A. 不等式解集为
B. 不等式解集为
C. 解集为
D. 解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意分析的奇偶性和单调性，利用的图象结合不等式分析A，B选项，根据的单调性和奇偶性分析C，D选项.
【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数，
则函数为偶函数，在上为减函数，
函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到，
作出和的大致图象如图，
则不等式可化为或，
由图象可知，故A正确，B错误；
由于为偶函数，故可化为，
即，解得，故C错误，D正确，
故选：AD.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知集合，，，则集合B的个数为______个．
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法求得集合的个数.
【详解】依题意，集合，，，
所以可能：，
共个.
故答案为：
14. 设为上的奇函数，且当时，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的定义，则，从而可得出答案.
【详解】由奇函数，则,
所以
故答案为：
15. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】，
由解得或，
画出的图象如下图所示，
由于函数的定义域为，值域为，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为__________；若与有3个交点，则实数的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可，与图象交点有3个，画出图象并进行观察，求得实数的取值范围．
【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以.
所以.
综上：.
（2）图象如下图所示：
由图象可知，要使方程与有三个交点，
只需，即.
故答案为： ；.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设全集为，集合，
（1）若a＝1，求；
（2）问题：已知_________，求实数a的取值范围．
从下面给出的两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答（请选出一种方案进行解答，若选择多个方案分别解答，则按第一个解答计分）
①；②.
【答案】（1）
（2）选①，选②
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合,即可根据集合的交并补运算求解，
（2）根据集合的交集和并集的运算，列不等式即可求解.
【小问1详解】
集合或
则，
当时，，
故
【小问2详解】
当选①时，
所以，即，解得
当选②时，
当，即时，满足，解得；
当即时，由， 得，即，解得 .
综上所述，的取值范围是 .
18. （1）已知，，且，求的最小值；
（2）已知，，，求的最大值.
【答案】（1）9；（2）12
【解析】
【分析】（1）运用常数代换以及基本不等式即可求得最小值；
（2）由题意得到，再运用基本不等式，得到，从而求得的最大值.
【详解】（1），
等号当且仅当时取得，所以的最小值为；
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
所以，又，，所以，故的最大值为.
19. 已知命题，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围；
（2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由题意，若为真，则，解得.
【小问2详解】
解：若为真，，方程两根为和，
则由题意得，所以，
当、均为假命题时，有，可得.
因此，如果、中至少有一个为真时，或.
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（1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式
（2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少
【答案】（1）；
（2）年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【解析】
【分析】（1）通过讨论的范围，得出的解析式；
（2）分别求出在和上的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
当时，
，
当时，，
；
【小问2详解】
若，，
当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
年年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）函数在上是增函数；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.
（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.
（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.
【小问1详解】
由函数是定义在上的奇函数，
所以得，
又因为，所以，
经检验，当，时，是奇函数，
所以，
【小问2详解】
由（1）可知，设
所以
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
小问3详解】
由函数是定义在上的奇函数且，
则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
22. 已知函数，．
（1）若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；
（2）对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得值.
（2）对进行分类讨论，根据在区间上的“最大值”以及在区间上的最大值求得的取值范围.
【小问1详解】
函数的开口向上，对称轴，
当时，在区间上的最小值为：
，符合.
当时，在区间上的最小值为：
，，不符合.
综上所述，的值为.
【小问2详解】
依题意，对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，
所以在区间上的“最大值”小于在区间上的最大值，
对于，任取，