江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份江苏省连云港市灌南高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间长度：120分钟 满分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知，，，，则满足上述条件的非空集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，进而求出集合的个数.
【详解】由，，得，
又，，得，即，
而集合的非空集合有.
故集合的个数为3.
故选：C
2. 若直角三角形的面积为50，则斜边的最小值是（ ）
A. B. C. 10D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据重要不等式求解即可.
【详解】设直角边长为，斜边长为，
则，即，
，
当且仅当时，等号成立，
所以斜边长的最小值为，
故选：B
3. 连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：，）（ ）
A. 0.2B. 0.18C. 0.16D. 0.14
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，再利用指数与对数的运算性质可求得答案.
【详解】由题意得，∴，∴，
∴，
故选：B.
4. 设，，，则“关于的方程有一个根是1”是“”的（ ）条件
A. 充分必要B. 充分不必要
C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】分别验证充分性和必要性得到答案.
【详解】若是方程的根，则；
若，则，即是方程的根.
综上所述：关于的方程有一个根是1是的充要条件.
故选：A.
5. 若xlg23=1，则3x+9x的值为（ ）
A. 3B. 6C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算性质计算即可得到答案.
【详解】由题意x=，
所以3x==2，
所以9x=4，所以3x+9x=6
故选B．
【点睛】本题考查对数的运算性质，属基础题．
6. 如果是第三象限角，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第一或第二象限角
C. 第一或第三象限角D. 第二或第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，讨论的奇偶性得到答案.
【详解】是第三象限角，则，
故，
当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限；
故选：C.
7. 已知，，，比较，，的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式及特殊角的三角函数可先求得，再利用指数函数与对数函数的单调性可判定，即可得出三者大小.
【详解】易知，
.
故选：B
8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数、二次函数的单调性及复合函数的单调性列出不等式组求解.
【详解】令，
因为为增函数，函数在上单调递减，
所以上单调递减，且，
所以，解得，
故选：C
二、多选题（每题5分，少选得2分，不选、选错不得分，共20分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C. 若角的终边上有一点，则
D. 若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】
【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，
故是第二象限角，A错；
对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形的面积为，B对；
对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；
对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.
故选：BC.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若非空且互不相等的集合，，，满足：，，则
B. 若，则是的必要条件
C. 若是定义域为的奇函数，则也是奇函数
D. 定义在上的任意函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合的子集判断A，根据必要条件定义判断B，根据余弦函数奇偶性判断C，根据奇偶函数的定义判断D.
【详解】对A，由可得，可得，所以可得，故，故A正确；
对B，根据必要条件的定义，，则是的必要条件，故B正确；
对C，是定义域为的奇函数，则，不是奇函数，故C错误；
对D，定义在上的任意函数都可以表示为，
其中，定义域都为，
且满足，，即为偶函数，为奇函数，故D正确.
故选：ABD
11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 在定义域上为减函数D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及单调性一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，故A正确；
令，故B正确；
易知在上单调递增，由奇函数的性质可知在定义域上为单调递增函数，故C错误；
由AC结论可知，故D正确.
故选：ABD
12. 已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；
对于B，结合代换即可用基本不等式解决；
对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题；
对于D，结合代换即可用基本不等式解决.
【详解】对于A，
因为a，b均为正实数，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，
，
当且仅当即时，等号成立，故B错误；
对于C，
，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，
，
当且仅当即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 角，，当__________有.
【答案】或
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数结合诱导公式计算即可.
【详解】易知或.
故答案为：或
14. 函数的图象如图所示.不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据图象直接解不等式即可.
【详解】观察图象可知不等式的解集是.
故答案：
15 已知函数，，，且，，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性计算即可.
【详解】由题意可知，
两式相加得.
故答案为：
16. 如图，在平面直角坐标系中，过原点直线与函数的图象交于A，两点，过作轴的垂线交函数的图象于点，若平行于轴，则的面积是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的图象与性质计算即可.
【详解】设，，
由题意可知：，
则有，
易知.
故答案为：
四、解答题（第17题满分10分，第18—22题每题满分12分，共70分）
17. （1）设，计算.
（2）已知，求.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系化为正切即可求值；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系转化为关于的一元二次方程求解.
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）因为
，
即，
解得或.
18. （1）计算.
（2）已知，解关于不等式：.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将不等式化为，然后分类讨论，即可得到不等式的解集.
【详解】（1）原式
.
（2）由可得，，
即，所对应方程的两根分别为，
当时，即，解得或；
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
19. 已知函数.
（1）判断的奇偶性并予以证明；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可；
（2）利用对数函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
是奇函数，证明如下：由题意可知：，
又，
即函数为奇函数；
【小问2详解】
易知，，
所以
，
即不等式的解集为.
20. 某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本万元，每生产万件该产品，需另投入流动成本万元，且，每件产品的售价为元，且该企业生产的产品当月能全部售完.
（1）写出月利润（单位：万元）关于月产量（单位：万件）的函数关系式；
（2）试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当月产量为万件时，企业所获最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）利用销售收入减去投入流动成本再减去固定成本万元即可求解；
（2）根据二次函数的性质和基本不等式分别求分段函数两段的最大值，取最大的即可求解.
【小问1详解】
因为每件产品的售价为元，所以万件产品的销售收入为万元.
当时，；
当时，，
所以
【小问2详解】
当时，，
此时当时，取得最大值（万元）.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值（万元）.
因为，所以当月产量为万件时，企业所获月利润最大，最大利润为万元.
21. 设函数是定义在上的奇函数.
（1）求的值，并判断的单调性（不证明）；
（2）若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】（1），R上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义可求的值，结合指数函数的单调性可直接判定的单调性；
（2）先根据条件计算，利用换元法结合二次函数的性质计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，
此时，符合题意，即；
因为均在R上单调递增，故在R上单调递增；
【小问2详解】
因为，即
所以
，
令，由（1）可知时，，
则，
由二次函数的性质可知，若时，，
若时，，与前提矛盾舍去；
综上.
22. 已知函数（，且）.
（1）若，，，求的值；
（2），恒成立，求的取值范围.
【答案】22. 3 23.
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，由指数幂运算性质，直接计算，即可得出结果；
（2）由题意，恒成立，不等式两边同时取对数得到，恒成立，讨论，，三种情况，分别求出对应的的范围，再求交集，即可得出结果.
【小问1详解】
因为，
由，得，所以，
又，所以，则，
因此；
【小问2详解】
若，恒成立，即，恒成立；
则，恒成立，即，恒成立，
当时，不等式可化为，显然恒成立，所以，且；
当时，不等式可化为，
而在上恒成立，
当且仅当时，取等号；所以只需，解得或；
当时，不等式可化，
而在上恒成立，
当且仅当时，取等号；所以只需，解得或，