云南省北京教能教育集团（昆明艺卓中学）2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

这是一份云南省北京教能教育集团（昆明艺卓中学）2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了本卷命题范围，两条平行直线和间的距离为，则，下列不等式中错误的是，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.-2
3.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
4.如果抛物线的焦点在直线上，那么抛物线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.两条平行直线和间的距离为，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（ ）更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. B. C. D.
7.已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，若方程有四个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.下列不等式中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.函数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
D.若，则是的整数倍
11.已知直线，圆是上一点，分别是圆的切线，则（ ）
A.直线与圆相切
B.圆上的点到直线的距离的最小值为
C.存在点，使
D.存在点，使为等边三角形
12.椭圆的左､右两焦点分别是，其中.过左焦点的直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（ ）
A.的周长为
B.若的中点为所在直线斜率为，则
C.若的最小值为，则椭圆的离心率
D.若，则椭圆的离心率的取值范围是
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知事件相互独立，且，则__________.
14.若圆和圆外切，则__________.
15.已知双曲线是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为__________.
16.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氧化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为__________.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知的内角所对的边分别为，其周长为，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
18.（本小题满分12分）
已知定义在上的函数.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，且经过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上的点满足，求点的坐标.
20.（本小题满分12分）
某高校承办了2024怒江傈傈“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）；
（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
21.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，底面是等腰三角形，，点是棱的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知圆与直线相切，与圆交于两点，且为圆的直径，圆心的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设点是上不同的两点，且直线的斜率均为为轴上一动点，且，求的最小值.
北京教能教育集团2023年秋季十二月份统测月考卷·高二数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
1.D 因为，所以，故选D.
2.A 因为，所以，所以，所以.
3.C 因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选C.
4.B 由题设知直线与轴的交点为，即为抛物线的焦点，故其方程为.
5.C 因为直线与直线平行，所以，所以两直线分别为和，所以.故选C.
6.C 由题意知，，又.
7.B 由题意，.设与的夹角为，则，所以点到平面的距离为.
8.D 由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线.
由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，.
设与交点的横坐标为，设，则，
由得，所以
，即.
设与的交点的横坐标为，
设，则，且，所以，则.故选.
9.BD ，故，A正确；的符号不定，所以与的大小不定，错误；，故，C正确；，当时，，故D错误.故选BD.
10.AD ，
由，得，即，当时，，即函数的图象关于直线对称，正确，
当时，，即函数的图象不关于点对称，错误，
将的图象向右平移个单位，得到，
故得不到的图象，C错误，
由，得，即，则，
则，得，
则，即是的整数倍，D正确，故选AD.
11.BD 对于选项，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离，故A错误；
对于B选项，圆上的点到直线的距离的最小值为，故B正确；
对于选项，当时，有最大值，故C错误；
对于选项，当时，为等边三角形，故正确.故选.
12.ACD 直线过左焦点的周长为，正确；设，则，点.
由
①-②得，故B错误；
当轴时，最小，令，解得，
，整理得，即，解得或-2（舍去），故C正确；
，
，
，
即，即，可得，
则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.故选ACD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 由题设，则，则.
14.2 圆的圆心为，半径为.圆的标准方程为，圆心为，半径为3.圆心距为，由于两个圆外切，所以.
15.-4 设，因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①，②，③，④，
所以②-③得，整理得，所以.
16. 设正八面体内切球半径，给正八面体标出字母如图所示，
连接和交于点，
因为，所以，
又和交于点，所以平面，
所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等，
距离即为内切球半径，设内切球与平面切于点，
所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以，
因为正八面体的棱长为2，
所以，
所以，
因为，所以，
即，所以正八面体内切球的表面积为.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.解：（1）由题意及正弦定理可得，
又，即，
所以.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以.
又，所以，
因为，所以.
18.解：（1）由于是偶函数，所以，
即，
两边乘以得，故.
（2）由得，
两边乘以得对恒成立，
由于，所以，
故当即时，有最小值为，
所以.
19.解：（1）因为椭圆经过，
则，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，假设椭圆上存在点，使得，
则，即，
联立，解得.
椭圆上存在点使得.点坐标为或或或.
20.解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以.
（2）众数为70，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为.
（3）第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从这两个分组各抽4人，1人，
则从这5人中选出2人，共有10种情况，两人来自不同组共有4种情况，故两人来自不同组的概率为.
21.（1）证明：取的中点，连接.
.
又，
又，
.
平面，
又平面平面平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
平面的一个法向量为，
.
二面角的正弦值为.
22.解：（1）设圆心，则圆的半径为，
所以为圆的直径时，由
得，，
则，故轨迹的方程.
（2）因为直线的斜率均为，所以三点共线，
则直线的方程为，
由可得，
设，则，
所以
，
因为，所以点在线段的垂直平分线上，
又，
所以线段的中点坐标为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，故.
又，所以，
所以，
令，则，所以.
则
当时，的最大值为，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
C
C
B
D
题号
9
10
11
12
答案
BD
AD
BD
ACD