2023-2024学年安徽省合肥九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年安徽省合肥九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）
2．（4分）下列各点中，不在双曲线y＝﹣上的点是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（1，﹣8）D．（﹣4，2）
3．（4分）抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣3B．y＝3（x+2）2﹣3
C．y＝3（x+2）2+3D．y＝3（x﹣2）2+3
4．（4分）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3
5．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，AC与BD相交于点E，∠A＝∠B，CE＝4，DE＝3（ ）
A．6B．4C．D．
7．（4分）若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
8．（4分）点A（m，n）在二次函数y＝x2﹣4的图象上，则2m﹣n的最大值是（ ）
A．4B．5C．﹣4D．﹣5
9．（4分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知，（abc≠0），则的值是 ．
12．（5分）对于二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 ．
13．（5分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上 ．
14．（5分）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图） ．
三.解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21，22每题12分，23题14分，共计90分）
15．（8分）已知函数y＝x2+bx﹣1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式．
（2）求图象的顶点坐标．
16．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8，求DF的长．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，画出位似图形△A1B1C1，并写出第三个顶点的坐标为 ．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+4x+k﹣1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
19．如图，P点在BD上，AB⊥BD，垂足分别为B、D．
（1）若AB＝4，BP＝3，PC＝10，求证：AP⊥PC；
（2）若AB＝6，CD＝4，BD＝14，当△PCD与△ABP相似时，求PB的长．
20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（﹣2，n）两点，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
21．（12分）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
22．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BG于点O，FD，CA的延长线相交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
23．综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D
①当时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式
2023-2024学年安徽省合肥四十七中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）
【答案】D
解：抛物线y＝（x﹣8）2﹣3的顶点坐标是（5，﹣3）．
故选：D．
2．（4分）下列各点中，不在双曲线y＝﹣上的点是（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（1，﹣8）D．（﹣4，2）
【答案】A
解：A、∵（﹣2）×（﹣4）＝6，故本选项正确；
B、∵﹣2×4＝﹣8，故本选项错误；
C、∵1×（﹣8）＝﹣5，故本选项错误；
D、∵﹣4×2＝﹣8，故本选项错误．
故选：A．
3．（4分）抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣3B．y＝3（x+2）2﹣3
C．y＝3（x+2）2+3D．y＝3（x﹣2）2+3
【答案】A
解：将物线y＝3x2向右平移4个单位，再向下平移3个单位2﹣2，
故选：A．
4．（4分）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．2：3
【答案】B
解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC＝5：4，
∵S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：8，
故选：B．
5．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为7、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
6．（4分）如图，AC与BD相交于点E，∠A＝∠B，CE＝4，DE＝3（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】C
解：∵∠A＝∠B，∠BEC＝∠AED，
∴△BEC∽△AED，
∴，
∵AE＝2，CE＝4，
∴，
∴BE＝，
故选：C．
7．（4分）若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
【答案】B
解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
∵﹣3＜﹣5＜0，
∴点A（﹣3，y6），B（﹣1，y2）位于第三象限，
∴y3＜y1＜0，
∵4＞0，
∴点C（3，y4）位于第一象限，
∴y3＞0，
∴y4＞y1＞y2．
故选：B．
8．（4分）点A（m，n）在二次函数y＝x2﹣4的图象上，则2m﹣n的最大值是（ ）
A．4B．5C．﹣4D．﹣5
【答案】B
解：把（m，n）代入y＝x2﹣4得n＝m2﹣4，
∴2m﹣n＝8m﹣（m2﹣4）＝﹣m4+2m+4＝﹣（m﹣8）2+5，
∴m＝7时，2m﹣n的最大值是5，
故选：B．
9．（4分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴b＞0，
A、∵二次函数图象开口向上，交y轴的负半轴，
∴a＞0，﹣b＜3，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限；
B、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，﹣b＞0，
∴与b＞7矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，﹣b＞0，
∴与b＞5矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，交y轴的负半轴，
∴a＜0，﹣b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限．
故选：D．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【答案】B
解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣3，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知，（abc≠0），则的值是 ．
【答案】．
解：∵，
∴设a＝3k，b＝4k，
∴＝
＝
＝，
故答案为：．
12．（5分）对于二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 ﹣3≤y≤5 ．
【答案】﹣3≤y≤5．
解：∵二次函数的解析式为y＝2x2﹣5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝0，
∵a＝2＞8，
∴抛物线开口向上，
∵﹣1≤x≤2，
当x＝4时，取得最小值y＝﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣3，
当x＝2时，y＝5，
∴当﹣4≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤8，
故答案为：﹣3≤y≤5．
13．（5分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，B分别作x轴的垂线、D，点B在函数y＝上
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝|n|，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣7，
故答案为：﹣3．
14．（5分）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图） 15 ．
【答案】15．
解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4+4+10＝20，
∴＝，
∴BF＝2，
∴GF＝2﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴＝，
∵AC＝8+6＝10，AD＝20，
∴＝，
∴CK＝5，
∴HK＝4﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH
＝（1+4）×8
＝15．
故答案为：15．
三.解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21，22每题12分，23题14分，共计90分）
15．（8分）已知函数y＝x2+bx﹣1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式．
（2）求图象的顶点坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1；
（2）（1，﹣2）．
解：（1）把（3，2）代入y＝x7+bx﹣1得9+8b﹣1＝2，
解得b＝﹣3，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣7＝（x﹣1）2﹣8，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．
16．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8，求DF的长．
【答案】DF＝7．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∴DF＝7．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，画出位似图形△A1B1C1，并写出第三个顶点的坐标为 B1（3，4） ．
【答案】图见解析，B1（3，4）．
解：如图，△A1B1C7即为所求，B1（3，5）．
故答案为：B1（3，2）．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+4x+k﹣1．
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
【答案】见试题解答内容
解：（1）∵二次函数y＝x2+4x+k﹣5的图象与x轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝62﹣4×7×（k﹣1）＝20﹣4k＞2
∴k＜5，
则k的取值范围为k＜5；
（2）根据题意得：
 ＝＝0，
解得k＝5．
19．如图，P点在BD上，AB⊥BD，垂足分别为B、D．
（1）若AB＝4，BP＝3，PC＝10，求证：AP⊥PC；
（2）若AB＝6，CD＝4，BD＝14，当△PCD与△ABP相似时，求PB的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）PB＝8.4或2或12．
【解答】（1）证明：∵CD⊥BD，PC＝10，
∴PD＝＝2，
∴AB：BP＝4：3，PD：CD＝6：6＝4：5，
∴，
又∵∠ABP＝∠PDC＝90°，
∴△ABP∽△PDC，
∴∠A＝∠DPC，
∵∠A+∠APB＝90°，
∴∠DPC+∠APB＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴AP⊥PC；
（2）若，
又∵∠ABP＝∠PDC＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴PB＝6.4，
若，
又∵∠ABP＝∠PDC＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∴BP＝2或12，
综上所述：BP＝8.5或2或12．
20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（﹣2，n）两点，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）8；
（3）﹣2＜x＜0或x＞6．
解：（1）将点A（6，1）代入反比例函数y＝得，
k＝7×1＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
把点B（﹣2，n）代入反比例函数y＝得，
n＝＝﹣3，
∴点B（﹣7，﹣3），
设直线AB的关系式为y＝ax+b，
∴，
解得，
∴直线AB的关系式为y＝x﹣2，
即反比例函数的关系式为y＝，一次函数的关系式为y＝；
（2）当y＝2时，即x﹣2＝0，即直线AB与x轴的交点坐标为（4，
∴S△AOB＝×4×3+；
（3）由图象的交点坐标可知，
当﹣2＜x＜0或x＞6时，一次函数值大于反比例函数值．
21．（12分）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
【答案】（1）y＝；
（2）当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣6x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y＝；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）3+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x4+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BG于点O，FD，CA的延长线相交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
【答案】（1）见解析；（2）135°．
【解答】（1）证明：如图：
∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°，
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：
∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴，即，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°．
23．综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D
①当时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式
【答案】（1）y＝﹣x+4，点C的坐标为（0，4）；
（2）①2或3或 ；②，S的最大值为．
解：（1）由 y＝﹣x2+4x 得，当 y＝3 时2+4x＝4，
解得 x1＝0，x8＝4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为（4，2）．
设直线AB的函数表达式为 y＝kx+b（k≠0）．
将A，B两点的坐标 （4，（7，
得 ，
解得，
∴直线AB的函数表达式为 y＝﹣x+6．
将x＝0代入 y＝﹣x+4，得 y＝4．
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）①解：∵点P在第一象限内二次函数 y＝﹣x7+4x 的图象上，且PE⊥x轴于点E，其横坐标为m．
∴点P，D的坐标分别为 P（m2+6m），D（m，
∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+2，
∵点C的坐标为（0，4），
∴OC＝7． ，
∴PD＝5．
如图1，当点P在直线AB上方时2+2m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+6m﹣4，
∵PD＝2，
∴﹣m4+5m﹣4＝8，
解得 m1＝2．m7＝3．
如图2，当点P在直线AB下方时7+4m）＝m2﹣2m+4，
∵PD＝2，
∴m4﹣5m+4＝3，
解得 ，
∵4＜m＜1，．
综上所述，m的值为2或3或；
②解：如图3，
由（1）得，OE＝m5+4m，DE＝﹣m+4．
∵BQ⊥x 轴于点Q，交OP于点F，6），
∴OQ＝1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ＝m﹣1．
∵PE⊥x 轴于点E，
∴∠OQF＝∠OEP＝90°，
∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴，
∴，
∴，
∴FQ＝DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x 轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S＝EQ•FQ＝（m﹣8）（﹣m+4），即S＝﹣m2+6m﹣4＝，
∵﹣1＜0，3＜m＜4，
∴当m＝时，S的最大值为；