2023-2024学年河北省衡水市滨湖新区名校协作体九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水市滨湖新区名校协作体九年级上册月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．自由落体公式（为常量），与之间的关系是( )
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对
2．下列各点在抛物线上的是（）
A．B．C．D．
3．如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（）
A．直线B．直线C．直线D．直线
4．对于抛物线，下列描述正确的是（）
A．开口向上B．有最小值
C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小
5．将y＝x2＋4x＋1化为y＝a(x－h)2＋k的形式，h，k的值分别为( )
A．2，－3B．－2，－3C．2，－5D．－2，－5
6．如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为，边心距为，则下列关系式正确的是（ ）

A．B．C．D．
7．图是二次函数的图象，则方程（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3minB．3.75minC．5minD．7.5min
9．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
10．如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（ ）

A．B．C．D．
11．在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是（ ）

A． B．
C． D．
13．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点，若表盘的半径长为，则切线长为（）
A．3B．2C．D．
14．如图，现要在抛物线上找点，根据值的不同，找到的点的个数也不同．若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．有一题目：“分别切于两点，点为上不同于的任意一点，若，求．”嘉嘉的解答是：“如图，取上一点，连接，得，所以．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是
B．淇淇说的不对，就得
C．嘉嘉求的结果不对，应得
D．两人都不对，应有3个不同值
16．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，抛物线（为常数）和线段只有一个公共点时，则符合条件的整数的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．已知的半径为4，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点在 （填“上”“内”或“外”）
18．如图，二次函数（为常数）的图像的对称轴为直线．
（1） ；
（2）当时，的取值范围为 ．
19．小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1．若这个正多边形为边长最大的正六边形， ；
（2）如图2，若这个正多边形为正，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．已知二次函数，当时，．
(1)求当时，的值；
(2)写出它的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(3)将的图像向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到新图像，求新图像的函数表达式．
21．如图，已知．

(1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)若的半径为2，求所作正六边形的面积．
22．如图，拋物线过点，顶点，与轴交于点，点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求点和点的坐标；
(3)关于的方程的解的情况怎样？结合图像说明理由．
23．在中，以为直径作，与相切于点，交于点．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)动点在线段上，当点在什么位置时，直线与相切？请在图2中补全图形并对你的判断加以证明．
24．点在抛物线上，点在点的左侧．
(1)求的值；并在如图中画出函数的图像；
(2)点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点），求的最大值与最小值的差；
(3)将抛物线进行平移（点随之移动），使平移后的抛物线与轴的交点分别为，直接写出点移动的最短距离．
25．如图，在中，，，cm．半圆O的半径cm，半圆O以1cm/s的速度向右运动，在运动过程中，点始终在直线上．设运动时间为s，当时，半圆O在的左侧，cm．
(1)当______s时，半圆O与所在直线第一次相切；
(2)当s时，求半圆O与重合部分的面积；
(3)请你直接写出当t为何值时，直线与圆O相切．
26．甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，如图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．．以所在直线为轴，为原点做平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，段抛物线的解析式为．设段抛物线的解析式为．

(1)点的坐标为______；点的坐标为______（用含的式子表示）；
(2)当球在球网正上方时到达最高点，
①求此时球与的距离；
②要使球从弹起后落在或的右侧，求的最小值；
(3)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍在处正上方如线段，，，将球拍向前水平推出接球，如果接住了球，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次函数的定义：形如（为常数，）的函数叫做二次函数，即可得出答案．
【详解】解：∵在（为常量）中，最高次是次，
∴与之间的关系是二次函数．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数，解本题的关键在熟练掌握二次函数的定义．
2．D
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
分别把、代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以点在函数的图象上．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．根据圆心到直线的距离大于半径的长，即可得出判断．
【详解】解：∵的直径为2，
∴的半径为1，
∵点到某条直线的距离为，
∴直线与圆相离；
∴这条直线可能是；
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，再利用增减性可判断D选项，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴为，顶点坐标为，
∴A、B、C不正确，
∵对称轴为，开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
故D正确，
故选：D．
5．B
【分析】根据配方法把y＝x2＋4x＋1化成顶点式，即可求出h，k的值.
【详解】∵y＝x2＋4x＋1，
=(x+2)2-3，
∴h=-2，k=-3，
给选B.
【点睛】此题考查了二次函数一般式和顶点式的互化，将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.
6．C
【分析】本题考查正多边形与圆，涉及垂径定理、勾股定理、正多边形与圆、等腰三角形性质、三角函数、等边三角形的判定等知识，根据题中条件，结合圆与多边形性质逐项验证即可得到答案，熟练运用相关几何性质证明是解决问题的关键．
【详解】解：
A、如图所示，，由垂径定理可知，在中，，该选项错误，不符合题意；
B、如图所示，是正五边形的外接圆，则，该选项错误，不符合题意；
C、如图所示，，，由等腰三角形性质可知平分，由B选项的求解过程可知，，在中，，则，该选项正确，符合题意；
D、由上述求解过程可知，在中，，，不是等边三角形，得不到，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．B
【分析】根据函数图象得出二次函数与x轴只有一个交点，结合二次函数与一元二次方程的关系即可得出结果．
【详解】解：根据函数图象可得，二次函数与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用函数图象得出一元二次方程根的情况，理解题意，结合图象求解是解题关键．
8．B
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣ ＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
9．B
【分析】根据函数解析式确定函数的顶点坐标，由此得到答案．
【详解】解：由可得，函数图象的顶点坐标为（1,0），
∴根据函数图象的位置可知：坐标原点可能是点Q，
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数的图象，熟练确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：A、，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
B、，
，则，
，
，
当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
，
，
，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
11．D
【分析】本题考查二次函数增减性运用，涉及二次函数图象与性质，由二次函数顶点式得到对称轴，根据即可得到点与对称轴距离大小，解不等式即可得到答案，掌握利用二次函数增减性比较自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数的开口向上、对称轴为，
二次函数图象上的点到对称轴的距离越近值越小，
点都在二次函数的图像上，
当时，则，即，解得，
故选：D．
12．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．先根据函数的图象判断出，再根据二次函数的图象特点逐一判断选项即可．
【详解】解：∵函数的开口向下，与轴的交点位于正半轴，且对称轴位于轴的右侧，
，
，
∴函数的开口向下，对称轴为直线，与轴的交点位于负半轴，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
13．B
【分析】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
设钟表的中心为点，连接，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：设钟表的中心为点，连接，
由题意得：点在上，，
∴，
∵与相切于点，
∴，
，
故选：B．
14．C
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及二次函数最值、直线与抛物线的交点等知识，读懂题意，转化为直线与抛物线交点个数是2时，求的取值范围是解决问题的关键．
【详解】解：抛物线，
抛物线顶点坐标为，
作直线（为常数），如图所示：
若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为，
故选：C．
15．A
【分析】本题考查圆周角定义及其推论的应用，涉及切线性质、圆周角定义、圆周角定理及其推论等知识，根据圆周角定义，结合题目，点可以在优弧上、也可以在劣弧上，分两种情况求解即可得到答案，掌握圆中涉及的相关性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由题意可知，当点在优弧上时，就是嘉嘉的求解过程；当点在劣弧上时，由圆周角定理及其推论可知的另一个值是，该选项正确，符合题意；
B、由A选项的求解过程可知，该选项错误，不符合题意；
C、由A选项的求解过程可知，该选项错误，不符合题意；
D、由A选项的求解过程可知，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
16．C
【分析】本题考查二次函数图像的平移，涉及二次函数图像与性质，由于线段固定，抛物线可以上下平移，从而按照题意即可分类讨论即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
当顶点在线段上时，，解得；
当抛物线过时，，解得，此时抛物线与线段有2个公共点；
当抛物线过时，，解得，此时抛物线与线段只有一个公共点；
或时，抛物线与线段只有一个公共点，则符合条件的整数的个数为9个，
故选：C．
17．外
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
先根据点坐标求出点到原点的距离，再判断与圆的半径的大小关系，从而得出答案．
【详解】解：∵圆心的坐标为，
又的半径，
∴原点在外，
故答案为：外．
18． 3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，求得交点坐标，熟知二次函数的对称性是解决本题的关键．
（1）根据抛物线解析式得到抛物线与轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得的值即可；
（2）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：由二次函数(为常数)．
∵或，
解得，
（2）当时，的取值范围为．
故答案为：3；．
19． 5
【分析】（1）如图1，连接，，，作正方形的内切圆，根据正六边形的性质得出，再根据的直径等于正方形的边长可得；
（2）如图2，作正方形的内切圆，作的内接正三角形，此时最大，连接，，过点F作于点M，解直角三角形即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，连接，，，作正方形的内切圆，
由正六边形可得是等边三角形，
，
由正方形的边长为10，可知的直径为10，即，
，
故答案为：5；
（2）如图2，作正方形的内切圆，作的内接正三角形，
的直径为10，，
此时最大，连接，，
，，
过点F作于点M，
则，
，，，
的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是正确作出辅助线．
20．(1)
(2)图象开口向上；对称轴是直线，顶点坐标是
(3)
【分析】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，函数平移，考查了求顶点坐标，对称轴，开口方向，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
（1）把代入求出，得到这个二次函数的表达式，再将代入即可求出的值；
（2）根据的符号判断抛物线的开口方向，把抛物线解析式化为顶点式，进而求出对称轴、顶点坐标．
（3）根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，，
解得，
所以这个二次函数的表达式为；
当时，；
（2）∵，
∴图象开口向上；对称轴是直线，顶点坐标是．
（3）把该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
得到的抛物线的函数表达式为：，即．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件；
（2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积．
【详解】（1）解：正六边形如图所示：

（2）连接，过点作，垂足为，
则，
．
正六边形的面积．
【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键．
22．(1)；
(2)，；
(3)方程没有实数根，理由见解析．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点、二次函数的图象性质，关键是求出抛物线解析式．
（1）根据抛物线过点、顶点，由待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，解方程即可；
（3）把方程的解的情况转化为抛物线与直线的交点情况即可．
【详解】（1）抛物线过点、顶点，
则，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
解得，，
，；
（3）抛物线最低点为，
抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根．
23．(1)见详解
(2)点M是中点时，直线与圆相切，证明见详解
【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．
（1）如图1，根据圆周角定理得到，然后利用等角的余角相等证明结论；
（2）当点为的中点时，与相切．连接，如图2，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，加上，所以，然后根据切线的判定定理可判断为的切线．
【详解】（1）证明：如图1，
为直径，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
（2）解：当点为的中点时，与相切．
理由如下：连接，如图2，
∵点的中点，
∴，即，
∴，
而，
即
直线与相切．
24．(1)；；作图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入表达式即可得到的值；并在如图中画出函数的图像即可；
（2）由（1）中所求得到，结合二次函数图像与性质求出的最大值与最小值，作差即可得到答案；
（3）根据题意，得到平移过程，从而求出点移动的最短距离．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，解得或；，解得；
点在点的左侧，
，；
画出函数的图像，如图所示：
（2）解：点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点），
，
的对称轴是，开口向下，
当时，有最大值为1；当时，有最小值为；
的最大值与最小值的差为；
（3）解：平移后的抛物线与轴的交点分别为，
平移后的函数表达式为，
由平移到，只需要向上平移3个单位长度即可，
点移动的最短距离为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求抛物线上点的坐标、作抛物线图像、二次函数最值、二次函数平移等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）当点运动到点时，半圆与所在直线第一次相切，路程，即可求出时间；
（2）当时，根据已知可得点与点重合，点与点重合，此时设半圆与交于点，连接，则半圆与重合部分的面积，即可解答；
（3）分半圆在直线的左侧，与直线相切时，当半圆所在的圆在直线的右侧与直线相切时，这两种情况计算即可求出的值．
【详解】（1）∵cm，当点运动到点时，半圆与所在直线第一次相切，
∴s，
故当时，半圆与所在直线第一次相切．
（2）当时，根据已知可得点与点重合，点与点重合，此时设半圆与交于点，过点，作于点，连接，如图：
由题意可得：
，
，
当时，半圆与重合部分的面积
（3）①如图：
当半圆在直线的左侧，与直线相切时，过点作于点M，
∵，
cm.
又∵cm，
∴当点与点重合，即点运动到点时，半圆与相切，此时，点运动的路程cm，运动时间
②如图：
当半圆所在的圆在直线的右侧与直线相切时，设切点为Q，则，cm，
在中，，则cm，此时，点运动的路程cm，运动时间
综上所述，当为或时，直线与圆相切．
【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系，扇形面积，解直角三角形等知识，利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
26．(1)，
(2)①②
(3)
【分析】（1）根据题意即可求出，根据抛物线的解析式可得与轴的交点坐标，即可求得；
（2）①根据题意求出抛物线的对称轴，即可求得，即可得到段抛物线的解析式，代入点的横坐标，即可求得；
②根据待定系数法求出当球从弹起后落在点时，段抛物线的解析式，即可得到；
（3）根据题意，待定系数法求出段抛物线的解析式，设，代入求出与重合时的值，即可得到．
【详解】（1）根据平面直角坐标系和已知条件，可知
故
∵段抛物线的解析式为，且，为坐标轴上的点
∴令，则
解得，
故，
故答案为：，．
（2）①球在球网正上方时到达最高点时，即所在的直线在段抛物线的对称轴上
∴对称轴为
即
∴
∴段抛物线的解析式为，
令，代入得
故
当球在球网正上方时到达最高点，球与的距离为
②由①可得，故，
∴
当球从弹起后落在点时，将，代入段抛物线的解析式为
得
解得：
当球从弹起后落在点时，段抛物线的解析式为
即要使球从弹起后落在或的右侧，求的最小值为
（3）根据题意可知，，
∴，
将代入
得
解得：，（不符合题意，舍去）
故段抛物线的解析式为
当与重合时，设，将代入
得
解得：，
因为的纵坐标为2.3，即大于段抛物线的最高点
根据二次函数的性质，当时，能够接住球
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式等，解题的关键是理解题意，提炼出相关信息．