2023-2024学年湖北省利川市团堡镇初级中学九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省利川市团堡镇初级中学九年级上册月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程属于一元二次方程的是( )
A．B．
C．D．
2．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
4．年月日至日，第三届“一带一路”国际高峰论坛在北京召开，回顾了年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．据欧洲统计局公布的数据显示，年中欧贸易总额为亿欧元，年中欧贸易总额为亿欧元．设这两年中欧贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）

A．B．
C．D．
5．下列判断正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦B．两个圆心角相等，它们所对的弦也相等
C．等弧所对的圆心角相等D．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等
6．如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
7．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）
A．2024B．2023C．2022D．无法确定
9．如图是抛物线的部分图象，其顶点G坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间（不含两端点）．则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
10．边长为2的等边三角形中，于H，E为线段上一动点，连接．于点F，分别交于点D，G．①当E为中点时，；②；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④的最小值．正确结论是（ ）
A．②③B．②④C．①②④D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．把函数化成的形式为 ．
12．已知点与点关于原点对称，则 ．
13．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ．
14．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，前一半的时间滑行的距离是 ．
15．有一个圆心角为，半径长为的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是 ．
16．如图，是的弦，点C在内，，连接，若的半径是3，则长的最小值为 ．

三、解答题（共72分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，是等腰直角三角形，，，为边上一点，连接，将绕点旋转到的位置．
(1)若，求的度数；
(2)连接，求长度的最小值．
19．今年受“疫情”影响，某服装专卖店出现了库存积压状况，为尽快减少库存，该店决定降价促销，经调查发现，一款进价为70元的衬衫，当销售价为100元时，每天可售出20件，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？
(2)要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
20．如图，为的直径，C，D为上的两点，，过点C作直线，交的延长线于点E，连接．

(1)试说明：是的切线．
(2)若，，求的长．
21．如图，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，是的外接圆的一部分．请借助网格和无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)作出的外心；
(2)作出的中点；
(3)过点作出的切线．
22．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
23．【原题初探】
（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图，点是等边内的一点，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则的度数为________；
【变式应用】
（2）如图，是正方形内一点，连结，，．若，，，求的长；
【拓展延伸】
（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图，在四边形中，，，，若，，求的长．

24．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B．方程含有1个未知数且最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
D．不是整式方程，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：、不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故不符合题意；
、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
3．C
【分析】根据题意可知旋转中心的坐标为，根据中点坐标公式的计算方法即可求解．
【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称，
设点的坐标为，
∴，，解得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法，即点，点，则的中点坐标公式为．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是理解题意并列出等量关系．由年中欧贸易总额为亿欧元，年到年欧贸易总额的年平均增长率为，可得年的贸易总额为：，年中欧贸易总额比年增长，由此可得出答案．
【详解】解：年到年欧贸易总额的年平均增长率为，年中欧贸易总额为亿欧元，
年的贸易总额为：，
年贸易总额为：，
又年中欧贸易总额为亿欧元，
，
故选：A．
5．C
【分析】根据垂径定理的推论判断A；根据圆心角、弧、弦的关系定理判断B；根据圆心角、弧、弦的关系定理判断C；根据圆心角、弧、弦的关系定理判断D．
【详解】解：A、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误不符合题意；
B、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，故本选项错误不符合题意；
C、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确符合题意；
D、由于同一条弦所对的圆周角有两个，当弦不是直径时，这条弦所对的两个圆周角一个是锐角，一个是钝角，所以在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角不一定相等，故本选项错误不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
6．B
【分析】本题考查了随机事件的判断，根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．解题的关键是根据题意判断小灯泡能否发光．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，根据函数解析式求出二次函数开口向上对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点在二次函数的图象上，，
∴，
故选B．
8．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，由方程的解得定义可得，再根据根与系数的关系可得，再代入计算即可．
【详解】∵m，n是方程的两根，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据图象得出a，b，c的符号，即可判断①，由抛物线的对称性得：抛物线与x轴的一个交点在点和之间即可判断②，即可判断③，由函数的最大值即可判断④．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
取，得，
又∵对称轴为，
∴，
∴，①正确，
由抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点在点和之间（不含两端点）．
∴时，，②错误，
∴，③正确，
∵顶点G坐标为，
∴的最大值为k，
∴的图象与的图象无交点，
∴一元二次方程没有实数根．④正确，
正确的为①③④，
故选：C．
10．B
【分析】根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质逐个分析即可．
【详解】①当时结合可得平分，
过作于，
∵E为中点，
∴，
∵
∴不可能平分，
∴，故①错误；
②连接，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴点F的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆，
∴点E从点B运动到点H，点F经过路径长为，故③错误；
④取中点，连接，，则
∵，
∴
∵
∴的最小值，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是准确处理，属于中考压轴题．
11．
【分析】把函数右边相乘展开合并成形式即可.
【详解】，则.
【点睛】本题是对二次函数基础的考查，熟练把二次函数其他形式化成一般式是解决本题的关键.
12．
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，画出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
共有9种情况，其中两次摸出的球都是“红球”的情况有4种，
∴；
故答案为：．
14．450
【分析】此题考查二次函数的实际运用．将函数解析式配方成顶点式求出的最大值时，再把代入解析式即可．运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
【详解】解：当取得最大值时，飞机停下来，
则，
此时，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
当时，，
∴前一半的时间滑行的距离是450m
故答案为：450．
15．3
【分析】本题考查了求圆锥底面圆的半径．设这个圆锥的底面圆的半径是，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可求得答案．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径是，
由题意得：，
解得：．
∴这个圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查圆中的最小距离问题，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理．延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，

∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法与配方法解方程是解本题的关键.
（1）本题先把方程化为或，再解两个一次方程即可；
（2）本题先化为，再利用配方法解方程即可.
【详解】（1）解：∵
∴或，
解得：，．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，二次函数的最值问题，利用旋转的性质证明是解题的关键
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，则可利用三角形内角和定理求出答案；
（2）由旋转的性质得到，则，设，则，利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
（2）解：由旋转的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得 ，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值32，
∴当时，有最小值．
19．(1)每件衬衫降价15元时，平均每天盈利750元
(2)不能平均每天盈利1000元，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当，方程没有实数根”．
（1）设每件衬衫降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论；
（2）不能平均每天盈利1000元，假设能平均每天盈利1000元，设每件衬衫降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，根据，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能平均每天盈利1000元．
【详解】（1）解：设每件衬衫降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵要尽快减少库存，
．
答：每件衬衫降价15元时，平均每天盈利750元；
（2）解：不能平均每天盈利1000元，理由如下：
假设能平均每天盈利1000元，设每件衬衫降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
不能平均每天盈利1000元．
20．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理求得，然后利用含直角三角形的性质求得，则有，再利用含角的直角三角形的性质即可作答．
【详解】（1）解：连接，

，
，
，
∴，
，
∵，
，
是的切线；
（2）为的直径，
，
，，
，，
即，
∵，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作线段所在正方形的对角线和线段的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心；
（2）取的中点，连接圆心和中点并延长与的交点即为点；
（3）取格点T，作直线即为所作的切线．
【详解】（1）作线段和线段的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心；
（2）取的中点，连接圆心和中点并延长与的交点即为点；
（3）取格点T，作直线即为所作的切线．
【点睛】本题考查限定工具作图，三角形外心、垂径定理的推论、切线的判定，熟练掌握定理是解题关键．
22．(1)，米
(2)
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，当时，则
解得：，，则，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则
解得：，
∴米．
（2）解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，当时，
则
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴(米)
点的坐标为；
（3）解：，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将绕点顺时针旋转后得到，判断出为等边三角形，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，即可求得；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，首先证明，求出，利用勾股定理可求得的长；
（3）将绕点顺时针旋转后落在处，得到，连结，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，得到，则可利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】解：（1）∵将绕着点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴为等边三角形；
∴，，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
故答案为；
（2）将△绕点顺时针旋转得，连接，

根据旋转的性质可知：
，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理可得：；
（3）将绕点顺时针旋转后落在处，得到，连结，如图，

根据旋转的性质得：，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．
24．(1)
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
(3)
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论；
（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
白
红
红
白
白，白
白，红
白，红
红
红，白
红，红
红，红
红
红，白
红，红
红，红