12等差数列--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版）

这是一份12等差数列--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·江苏徐州·高三期末）等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
3．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022上·江苏苏州·高三统考期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021上·江苏南通·高三统考期末）若的内角，，依次成等差数列，则函数的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
7．（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则最小
C．D．
8．（2021上·江苏连云港·高三江苏省新海高级中学校考期末）等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则B．若，则是中最大的项
C．若，则D．若，则
三、填空题
9．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，记为数列的前项和.则 ，当时，若存在，使得，则的最小值为 .
10．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）写出一个公差不为零，且满足的等差数列的通项公式 .
11．（2022上·江苏无锡·高三统考期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为 .
12．（2021上·江苏南通·高三统考期末）设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式 .
①存在最小值且最小值不等于；
②不存在正整数，使得且.
13．（2021上·江苏南通·高三统考期末）若数列满足：，则 ．
14．（2021上·江苏徐州·高三校联考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，当时，n的最大值为 .
四、解答题
15．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
16．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）记为数列的前n项和，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
17．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列前n项和．
18．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式
(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
19．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.
20．（2023上·江苏南通·高三统考期末）在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）已知数列满足，，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
22．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知数列中，成等差数列，成等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若，求的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】设正项等差数列的公差为，且，由等比中项得，即，得，，即，求得．
【详解】设正项等差数列的公差为，且
，，成等比数列，
，即，
整理得，， ，，
，
即，即，
，
．
故选：．
2．B
【分析】设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出公差，得到，进而利用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列的公差为，则，
解得：，故，
故，
故.
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件求出数列的通项，再计算，列式解不等式作答.
【详解】设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得，
因此，，，由得：，
从而得：，而，解得，又，则，
所以n的最小值为5.
故选：C
4．C
【分析】利用等差数列的前项和公式，将进行化简,可得，然后利用通项公式将展开，并将代入，化简可得答案.
【详解】 ，
则，
故选：C．
5．A
【解析】由题可得，利用和的正弦公式和二倍角公式，辅助角公式化简可得，令可求出对称轴.
【详解】，，依次成等差数列，，
，，
，
令，解得，
当时，，是的一条对称轴.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数对称轴的判断，解题的关键是利用三角恒等变换化简得出.
6．BD
【分析】由等差数列前n项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得的最大值的取到情况.
【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
7．ACD
【分析】根据题意得，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为，即，
因为，
所以，
所以当，，所以，即，所以，所以，最小，此时；
当，，所以，即，所以，即所以，，此时；
故ACD满足题意.
故选：ACD
8．BC
【解析】根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出，得，判断的正负，即可可判断C和D选项.
【详解】等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.
故选：BC.
【点睛】关于等差数列前项和的最值问题，一般有两种求解方法：
（1）利用的公式判断得是关于的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；
（2）利用的正负判断，当时，则在处取最大值，当时，则在处取最小值.
9．
【分析】利用等差数列的前项和公式判断出前项为前组的和，再利用等比数列的前项和即可求出；假设前项和为前组的和，由已知得，该问题可以转化为为的整数幂，即要保证被消去，由此可知要加上组的部分项才能被消去，可求出满足题意的最小值，即可求出的最小值，最后利用即可求出最小值.
【详解】设第一组为，第二组为，，第三组为，，，第组为，，，，则，解得，故数列的前组共项，
即
，
当，即，
若前项和为前组的和，即
，
由已知得，整理得
由此可知为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，
故若前项和应再加上组的部分项，
设应加上组的前项时才能被消去，
即，，
则为等式成立的最小值，此时，
故
,
所以，所以的最小值为，
则的最小值为.
故答案为：，.
【点睛】解决本题的关键是利用分组求和法求出，利用已知条件将问题转化为为的整数幂的问题.
10．（答案不唯一）
【分析】由题可得，不妨令，即得.
【详解】设等差数列的为d,则
，
不妨令，则，
此时等差数列的通项公式.
故答案为：.
11．
【分析】根据，可得，同理可得，，根据等差数列求和公式，结合等差数列的性质，计算分析，即可得答案.
【详解】由题意得，；
，，
，，
，，，
，.
故答案为：20
12．答案不唯一，如
【解析】由题可得，存在n使得，即可写出.
【详解】若，则满足①，
又不存在正整数，使得且，则可得连续两项取得最小值，
即存在n使得，
则可得的通项公式可以是.
故答案为：答案不唯一，如.
13．2021
【解析】将已知等式中的换成，两式作差可得：，进而可得数列是等差数列，从而求得结果．
【详解】，，
当时，有，
两式相减整理得：，
数列是以为首项，公差的等差数列，
，
故答案为：2021.
14．20.
【解析】根据，是与的等比中项求出和，再根据等差数列的求和公式求出，解不等式即可得解.
【详解】因为是与的等比中项，所以，
所以，化简得，
因为，所以，
因为，所以，即，
将代入得，解得，所以，
所以，
由得，即，解得，
所以正整数的最大值为.
故答案为：20
【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，
.
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）已知式两边同除以得数列是等差数列，求得后利用求得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）因为，所以，所以数列是等差数列，公差为1，
，所以，即，
时，，适合此式，
所以；
（2）由（1）得，
，
于是,
两式相减得，
所以．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可；
(2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）为常数
∴是以为公差的等差数列．
（2）∵，∴由（1）得，
∴，∴，
∴.
18．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）由等差数列通项公式得出，再由与的关系可得数列的通项公式.
（2）由（1）的结论结合错位相减求出，先得出的前三项，由等差数列的性质得出方程解出，再检验即可．
【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，
当时，，则有，
因此，即，数列是常数列，有，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
有，，，若数列成等差数列，则，解得，
当时，，则，从而数列成等差数列，
所以存在，使得数列成等差数列．
19．(1)
(2)244
【分析】（1）设公差为，利用基本量代换求出，再利用通项公式即可得到答案；
（2）先判断出当有次插入新数，共有个项，从而判断出110项应该介于和之间，即可求和.
【详解】（1）设公差为，，由题意得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知在与之间插入个2，所以当忽略数列中的项，则当有次插入新数，共有个项，
当时，有62个数；
当时，共有126个数，所以110项应该介于和之间，即，
表示共有104个2和原先中前6项之和，
所以.
20．(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，令可求得的值，由可得，两式作差可得为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的等差数列；
选②，推导出数列是常数列，即可求得数列的通项公式；
（2）计算出，对任意的，计算出，可得出，利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】（1）解：选①，当时，则有，即，解得；
对任意的，因为，则，
故，即，
因，，所以为定值，
故数列是首项，公差为的等差数列，
所以.
选②，因为，故，
所以，故数列是常数列，
所以，故.
（2）解：知，，故，
对任意的，，
所以，即为数列的前项和，
因为，故数列为等差数列，
所以.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用等差数列定义即可证明数列是等差数列；
（2）利用裂项相消法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）由，可得，则
令，则，再结合，解得，
∴，又，
∴是首项为1，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知
∴
∴
22．(1)
(2)12
【分析】（1）根据已知条件及等差数列的通项公式，结合等比数列的通项公式即可求解;
（2）根据（1）的结论及等差和等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】（1）当时，设公差为，
∴，
∴，
而，，
∴时，设公比为，
∴此时，
∴.
（2）显然，
∴为偶数，
，
∴的最小值为12.