15等式与不等式--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版）

这是一份15等式与不等式--2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知锐角，满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知且，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．D．
4．（2023上·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设集合，，若，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）若实数，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）已知集合，，则A，B间的关系为（ ）
A．A＝BB．BAC．ABD．AB
9．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知集合A＝{x|x2－4＜0}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}
11．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知集合，则（ ）
A．A∩B＝AB．A∩B＝B
C．D．
12．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知集合，则(RA)∩B＝（ ）
A．[0，2)B．[－1，0)C．[－1，0]D．(－∞，－1)
二、多选题
13．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
14．（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）笛卡尔是西方哲学思想的奠基人之一，“我思故我在”便是他提出的著名的哲学命题；同时，笛卡尔也是一位家喻户晓的数学家，除了发明坐标系以外，笛卡尔叶形线也是他的杰出作品，其方程为x3＋y3＝3axy，a为非零常数．下列关于笛卡尔叶形线的说法中正确的是（ ）
A．图象关于直线y＝x对称
B．图象与直线x＋y＋a＝0有2个交点
C．当a＞0时，图象在第三象限没有分布
D．当a＝1，x、y＞0时，y的最大值为
15．（2021上·江苏南京·高三南京市中华中学校考期末）若不等式对任意正数，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．1
16．（2021上·江苏南通·高三统考期末）设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
17．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，y轴正半轴上的两个动点A、B满足，抛物线上一点P满足PA⊥AB，设P点坐标为(u，t)，过点P作斜率为的直线l，记点B到直线l的距离为d，当d取到最小值时，的值为 ．
18．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 .
19．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为 ．
20．（2021上·江苏南通·高三统考期末）已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为 .
21．（2020上·江苏扬州·高三统考期末）已知，若向区域随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为 .
22．（2020上·江苏镇江·高三统考期末）若实数x，y满足条件，则的最大值为 .
23．（2020上·江苏常州·高三校联考期末）已知函数，互不相等的实数，满足，则的最小值为 .
24．（2020上·江苏徐州·高三统考期末）若关于的不等式的解集是，则实数的值为 .
四、解答题
25．（2023上·江苏南通·高三统考期末）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：
(1)能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)为了进一步研究已患该疾病人群的情况，该医疗团队在该地已患该疾病的病例中随机抽取人进行调查根据上表数据估计，要保证抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民的概率超过，则至少抽取多少人
附，
26．（2022上·江苏南京·高三期末）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为直径的三个圆的面积依次为，，.已知.
(1)若，求的面积；
(2)若的面积为，求周长的最小值.
27．（2021上·江苏常州·高三校联考期末）某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x（单位：万元/吨）对月销售量y（单位：吨）有影响．对不同定价xi和月销售量（）数据作了初步处理，
表中．经过分析发现可以用来拟合y与x的关系．
（1）求y关于x的回归方程；
（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润．
参考公式：，．
28．（2019上·江苏常州·高三统考期末）已知，求证：.
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
对照组
0.24
43
9
0.164
820
68
3956
参考答案：
1．C
【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据集合的包含关系求解即可.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：C
2．D
【分析】首先利用二倍角公式以及同角关系化简已知条件，得到，的关系，代入两角差的正切公式，结合基本不等式即可求解．
【详解】因为，
所以，
因为锐角，，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最大值是．
故选：D
3．D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，最小值.
故选：D.
4．B
【分析】解不等式求得集合，由此求得.
【详解】，所以，
，
所以.
故选：B
5．C
【分析】解不等式得集合，求出对数函数的定义域得集合，由集合间的关系列出关于的不等式，解出即可.
【详解】因为，，
由于，得，即实数a的取值范围，
故选：C.
6．D
【分析】方法一：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，然后进行比较即可求解；方法二：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，再进一步进行比较即可求解.
【详解】方法一：，∴，，∴，
∴，，
又，∴，∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，，
，，
∴，
故选：D.
方法二：由，.
而，，，，
∵，∴，
故选：.
7．C
【分析】化简集合A、B，由交集及补集的定义计算即得.
【详解】，
∴
∴.
故选：C.
8．D
【分析】求出集合A，再根据集合的元素判断两集合的关系.
【详解】由题意可知，，则AB，
故选:D．
9．D
【分析】作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别等于，利用梯形的中位线定理表示出d，进而表示出，再根据基本不等式求得最小值.
【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N，
设 ，则 ，
MN为梯形ACDB的中位线，则 ，
由AF⊥BF．可得 ，
故，
因为 当且仅当a=b时取等号，
故，
故选：D.
10．B
【分析】先解不等式求出集合A，再求两集合的交集
【详解】由，得，所以，
因为，
所以,
故选：B
11．A
【分析】解不等式求出集合，及、，根据集合的运算逐项判断可得答案.
【详解】集合，
或，
，
或，
，故A正确，B错误；
或，故C错误；
，故D错误.
故选：A.
12．C
【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．
【详解】或，所以或，
所以，
，
所以．
故选：C.
13．ABD
【分析】当为中点时最小，即可求出，从而判断A；设到，的距离分别为，，则，求出，即可得到，从而求出，即可判断B；根据利用基本不等式求出四边形面积的最大值，即可判断C；分别取，的中点，，根据数量积的运算律求出的值，即可判断D.
【详解】解：当为中点时最小，，，故A正确；
设到，的距离分别为，，，∴，
又，∴，，故B正确；
因为，所以，则，当且仅当时取等号，
所以
，故C错误.
分别取，的中点，，
则
为定值，故D正确.
故选：ABD.
14．ACD
【分析】设是曲线上任意一点，由点的变换得方程的变化，从而确定曲线的性质，判断A；用解方程组的思想判断B；用反证法即证明满足的点不在曲线上，判断C；利用基本不等式确定的最大值，判断D．
【详解】把互换后，曲线方程不变，因此曲线关于直线对称，A正确；
代入曲线方程得，，与矛盾，因此无交点，B错；
时，第三象限点满足，但此时，，不适合曲线方程，C正确；
时，，，
，
所以，当且仅当，时等号成立．D正确．
故选：ACD
15．AD
【分析】不等式对任意正数，恒成立，可得，再利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：不等式对任意正数，恒成立，
，
．当且仅当时取等号．
，故满足条件的有A，D；
故选：．
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．BD
【解析】对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.
【详解】对于A，当时，所以，
所以，故函数不是“函数”故A不正确；
对于B，当，时，，
，满足，故函数是“函数”，故 B正确；
对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；
对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.
17．
【分析】根据题意分别表示出，再根据点到直线的距离公式结合基本不等式讨论点B到直线l的距离的最小值，进而可求解.
【详解】因为P (u，t)在抛物线上，所以，所以，所以，
因为PA⊥AB，所以
又因为，所以
过作斜率为的直线方程为，
整理得，
所以点B到直线l的距离为
，
当且仅当，时取得等号，
此时，
故答案为: .
18．
【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为的零点，可得方程，运算整理结合基本不等式求值.
【详解】时，关于的不等式恒成立，
，由，则；由，则，即为的零点，
∴，.
∴，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
19．/
【分析】利用基本不等式来求得最小值.
【详解】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
20．4
【解析】由求得，代入利用基本不等式求最小值.
【详解】因为，，且，
所以，即
因为m，n均为正数，
所以
当且仅当时取最小值.
故答案为：4
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”
(1) “一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．
21．
【解析】在同一坐标系中作出两个集合所对应的图形，分别求出两个区域的面积，根据几何概型计算公式求解即可.
【详解】表示的图形是图中所包含的区域，
表示的图形是图中所包含的区域，
点P落入区域A的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查面积型几何概型，属于基础题.
22．13
【解析】画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．
【详解】实数，满足条件，对应的可行域如下图所示：
由，解得，时，目标函数经过时，目标函数取得最大值，即.
∴的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
23．14
【解析】由对数的运算性质可得，，再把转化为，借助于基本不等式即可求解.
【详解】∵函数，互不相等的实数，满足
∴，即，且.
∴
∴
∴，当且仅当时取等号.
∴的最小值为14.
故答案为：14.
【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
24．
【解析】由题意知，关于的方程的两根分别为和，利用韦达定理可求出实数的值.
【详解】由题意知，关于的方程的两根分别为和，由韦达定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，考查计算能力，属于基础题.
25．(1)有的把握
(2)至少抽取人
【分析】（1）完善列联表，求出与临界值表进行对比即可；
（2）记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，则，因为，计算即可．
【详解】（1）因为，
又因为，，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）根据表中数据可估计，病例组中卫生习惯不够良好的居民的概率是，
卫生习惯良好的居民的概率是．
记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，
则，
因为，所以，
所以，所以至少抽取人．
26．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件和可得到，根据余弦定理可求得，即可由面积公式求得的面积；
（2）由已知得，从而可得，由面积公式可得，构造函数确定其在上单调性，由特殊值，即可得，，结合基本不等式得，，从而可求得周长的最小值.
【详解】（1）解：记的面积为，
因为，所以，
由余弦定理得，所以，则，
所以；
（2）解：因为，得
又由余弦定理得，
所以，所以，则，
又，设，
所以，所以在单调递增，
且，从而，所以
则，
所以，即，
且，当且仅当时，取等号，
所以周长的最小值.
27．（1）y关于x的回归方程为；（2）预计价格定位2万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为0.2万元．
【分析】（1）令，则，然后利用已知的数据和公式求出与的线性回归方程，再由化为y关于x的回归方程，
（2）由题意可得月利润，化简后利用基本不等式可得答案
【详解】（1）令，则，
则，，
．
（2）月利润
（当且仅当即时取等号）
答：（1）y关于x的回归方程为；
（2）预计价格定位2万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为0.2万元．
28．证明见解析
【分析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明.
【详解】证明：
，
，
，
上面三式相加，得：
，
所以，.
【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题.