02圆与方程-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份02圆与方程-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（苏教版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知圆与圆交于两点，则线段的中垂线方程为 （ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·江苏南通·高二统考期末）若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知直线过点，且斜率为，若圆上有4个点到的距离为1，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知圆心均在轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为，则（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
7．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ）
A．圆C的方程是
B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C．圆C与圆有四条公切线
D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为
8．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知圆，则（ ）
A．点在圆C内B．直线与圆C相切
C．圆与圆C相切D．圆与圆C相切
9．（2023上·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A．曲线围成的图形有条对称轴
B．曲线围成的图形的周长是
C．曲线上的任意两点间的距离超过
D．若是曲线上任意一点，的最小值是
10．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，若方程表示圆，则（ ）
A．
B．该圆必过定点
C．若直线被该圆截得的弦长为2，则或
D．当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为
11．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022上·江苏连云港·高二统考期末）垂直于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 .
14．（2023下·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为 ．
15．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知实数，，，满足，，，则的最大值是 ．
16．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围为 .
17．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知圆过点，，，则圆的方程为 ．
18．（2023上·江苏淮安·高二统考期末）若圆：与圆：外切，则实数 ．
四、解答题
19．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知圆：上，圆：．
(1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径；
(2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
20．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
21．（2023上·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P在圆上，点，．
(1)求点P到直线AB距离的最大值；
(2)当∠PBA最小时，求线段PB的长．
22．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求该切线的方程.
23．（2023上·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.
(1)若，求切线所在直线方程；
(2)求的最小值.
24．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知圆，圆.
(1)判断与的位置关系；
(2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.
25．（2023上·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期末）已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，若的面积为，求的值.
26．（2023上·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知圆，点.
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)求的最小值.
参考答案：
1．B
【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【详解】由，得，
解得.
故选：B
2．A
【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解.
【详解】由圆的方程： 得： ，
圆心坐标为 ，
直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，
则直线必定经过圆心，，，
又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，
所以，故；
故选：A.
3．A
【分析】根据圆的标准方程得圆心坐标，然后分析出线段的中垂线就是直线，再根据两点式求出方程，化为一般式可得结果.
【详解】依题意可得，，
因为，，所以直线是线段的垂直平分线，
所以直线的方程为：，即.
故选：A
4．B
【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，
则圆心到直线的距离，
因为直线与圆相切，
所以，即，解得或，
即实数取值的集合为
故选:B
5．C
【分析】首先由点斜式求出直线方程，再确定圆心，由题意知圆心到直线的距离小于1，即可求出的取值范围.
【详解】因为圆上有4个点到的距离为1，
所以圆心到直线的距离小于1，设圆的圆心到直线的距离为，
又因为过点，且斜率为的直线方程为，即，
所以，解得，即.
故选：C.
6．B
【分析】设出两圆的标准方程，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系列式求解，
【详解】设圆：，圆：，其中，
两圆的公切线方程为，则，，
两圆外切，则，
化简得，，即，∴，
故选：B
7．BD
【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，根据垂径定理求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.
【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；
对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；
对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；
故选：BD
8．BCD
【分析】根据点和圆的位置关系判断A选项，根据圆心与直线距离判断B选项，根据圆心间距离和半径和差比较判断圆圆位置关系判断C,D选项.
【详解】点代入圆可得,点在圆C外，A选项错误；
圆,圆,直线,圆心到直线距离,B选项正确；
圆,圆心,,圆与圆C相外切,C选项正确;
圆,圆心,,圆与圆C相内切,D选项正确.
故选:BCD.
9．ABD
【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图象，由图象即可判断各选项.
【详解】当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为，
曲线的图像如图所示；
对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；
对于B：曲线由4个半圆组成，故其周长为，故B正确；
对于C：曲线上点与点的距离为，故C错误；
对于D：圆心到直线的距离为，到直线的距离，
若使最小，则有，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断；
对B，点代入方程即可判断；
对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解；
对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上的点到直线距离的最小值.
【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；
对B，将代入方程，符合，B对；
对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对；
对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对.
故选：BCD.
11．AC
【分析】设所求直线的方程为，其中，利用圆心到直线等于圆的半径可求得的值，由此可求得所求直线的方程.
【详解】设所求直线的方程为，其中，
圆的圆心为，半径为，
由题意可知，圆心到直线的距离为，解得，
因此，平行于直线且与圆相切的直线的方程是或.
故选：AC.
12．BD
【分析】令所求直线为，根据与圆的相切关系求参数m，即可得方程.
【详解】由题设，与垂直的直线为，
又与圆 相切，则，可得，经检验满足题设.
∴所求直线方程为或.
故选：BD.
13．
【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.
【详解】圆的圆心为，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．

故答案为：.
14．
【分析】先将圆化为标准方程求得圆心与半径，再利用弦长公式求得，从而得到，由此利用基本不等式即可得解.
【详解】因为圆可化为，故圆心为，半径为，
所以圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
所以，则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．/
【分析】由已知得分别在圆和圆上，利用数形结合法，将所求问题转化为两点到直线和的距离和的倍，再利用三角函数求出其最大值即可．
【详解】解：由，可知，
点，分别在圆和圆上，
如图，作直线，过作于，过A作于，
而，
其中表示A到直线的距离，
表示到直线的距离，
因为与，平行，
且与的距离为，
与的距离为，
要使的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，
所以，，
由得，
设，因为，所以，
从而，
故，
其中，
故当时，取最大值，
从而，
即的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值.
16．
【分析】画出直线与圆的图象，根据直线与曲线有两个公共点，利用数形结合法求解.
【详解】解：如图所示：
当直线与曲线相切时，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
因为直线与曲线有两个公共点，
所以实数b的取值范围为，
故答案为：.
17．
【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.
【详解】根据题意，设圆的方程为
又由圆过点，，，
则有，
解可得，，，
即圆的方程为：，
故答案为：.
18．
【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值.
【详解】圆的圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径为.
由于两圆外切，所以，得.
故解得.
故答案为： .
19．(1)2
(2)存在，
【分析】（1）先利用两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，进而利用弦长求得半径.
（2）设直线方程为，，，与圆联立方程可得，，，得，由已知可得，进而可得，求解即可.
【详解】（1）因为圆：，
圆：，
所以两圆方程相减得直线方程为，
又，
所以圆心到直线距离为，
两圆心距离为，
所以圆心到距离为，解得，.
（2）设直线方程为，，，
联立直线与圆消去得，
所以，，
，得，
，
，
因为被圆截得的弦为直径的圆过，
所以，，
所以，
即，解得，
所以存在斜率为的直线，
使以被圆截得的弦为直径的圆过点，
且直线方程为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；
（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.
【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
21．(1)
(2)3
【分析】（1）根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径和求解即可；
（2）由题意当直线与圆相切时，最小，再根据勾股定理求解即可.
【详解】（1）直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，故圆与直线相离，点到直线距离的最大值为；
（2）当直线与圆相切时，最小，由勾股定理可得，此时线段的长为

22．(1)
(2)或.
【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准方程；
（2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率.
【详解】（1）由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上.
由，解得，即，从而，
所以圆的标准方程为.
（2）i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；
ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
则，解得，所以切线方程为.
综上所述，该切线方程为或.
23．(1)或
(2)
【分析】（1）假设切线方程，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，由此可得切线方程；
（2）设，可得，结合可求得最小值.
【详解】（1）由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为，即，
由圆的方程知：圆心为，半径，
则圆心到切线的距离，解得：或，
所求切线方程为：或.
（2）连接交于点，
设，则，
在中，，
，，，.
24．(1)外切
(2)或
【分析】（1）计算出，利用几何法可判断两圆的位置关系；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
因为，所以圆与圆外切.
（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为，
由题意可得，
即，解得或，
经检验，或均符合题意.
所以直线的方程为或.
25．(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为：，由圆过，及列方程可得，解方程即可得出答案.
（2）设，，直线为，与圆：联立,结合韦达定理表示出的面积，解方程即可求出的值.
【详解】（1）设圆的方程为：，由圆过，及.
∴，可得，
∴圆的方程为：，其标准方程为；
（2）设，，直线为，
与圆：联立得：，
∴，则，.
∴.
整理得，解得，所以.
26．(1)或
(2)
【分析】（1）根据已知条件及点与圆的位置关系的判断方法，利用直线的点斜式方程及直线与圆的相切的条件，结合点到直线的距离公式即可求解；
（2）根据圆的方程求出范围，利用代入法和不等式的性质即可求解.
【详解】（1）由，得，
所以圆的圆心坐标为，半径，
所以,
所以点在圆外，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，圆心到切线的距离为，所以，符合题意，
当切线的斜率为，则切线的方程为，即，
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得
，解得，
所以，
故过点的圆的切线方程为或.
（2）由（1），得，即，解得，
由，得，
所以，
因为，所以，
故的最小值为.