09导数在研究函数中的应用（极大值与极小值）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习

这是一份09导数在研究函数中的应用（极大值与极小值）-江苏省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·江苏南通·高二海门中学校考期末）已知函数在处取得极值，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·江苏盐城·高二统考期末）已知函数既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2023上·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知函数，则（ ）
A．当时，函数存在极值点
B．若函数在点处的切线方程为直线，则
C．点是曲线的对称中心
D．当时，函数有三个零点
5．（2021上·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
B．若曲线在点，处有切线，但不一定存在
C．“函数”是“函数在处取得极值”的既不充分也不必要条件
D．若曲线存在平行于轴的切线，则实数的取值范围是
6．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点,拐点在统计学､物理学､经济学等领域都有重要应用.若的图象是一条连续不断的曲线,的导函数都存在,且的导函数也都存在.若,使得,且在的左､右附近,异号,则称点为曲线的拐点.则以下函数具有唯一拐点的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上存在唯一的极值点
8．（2020上·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．当时，取得极小值
C．在上是增函数，在上是减函数
D．当时，取得极小值
9．（2022上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考期末）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2022上·江苏泰州·高二统考期末）函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在处取得极大值
D．在处取得极小值
11．（2022上·江苏南通·高二校联考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．－1是函数的极小值点
B．－4是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上先增后减
12．（2022上·江苏常州·高二统考期末）已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
三、填空题
13．（2021上·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期末）过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是 .
四、解答题
14．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）已知函数，，．
(1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值；
(2)若，求函数的单调区间．
15．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝处有极大值.
(1)求a、b的值；
(2)求f（x）在[0，2]上的值域.
16．（2022上·江苏泰州·高二统考期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.
【详解】对函数求导得，令，可得或，
列表如下：
所以，函数的极小值为.
故选：A.
2．B
【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；
【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；
故选：B
3．C
【分析】利用导数的运算公式和法则求出，根据极值点与方程的解之间的关系即可得出结果.
【详解】由题意知，，
由函数有极小值和极大值，
得方程有两个不同的实根，
所以或，
即的取值范围为.
故选：C
4．BC
【分析】根据函数的单调性判断A，再由切线斜率即切点横坐标导数判断B，根据函数中心对称的性质判断C，根据函数的单调性及极值的正负判断D.
【详解】由，可得，
对A，当时，，在上单调递增，
故函数不存在极值点，故A错误；
对B，由切线方程知，解得，故B正确；
对C，因为，所以函数关于成中心对称，故C正确；
对D，当时，，当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，
故函数一定不会有3个零点，至多1个零点，故D错误.
故选：BC
5．BD
【分析】根据曲线的切线的几何意义和函数极值的概念逐项进行检验即可求解.
【详解】对于，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点，
如经过曲线上一点但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切，
比如与相切于点，同时经过点另外一点，
我们就可以说过点的直线与曲线相切，
但切点是而不是，故错误；
对于B，如曲线在某点处的切线垂直于轴，此时不存在，
但曲线在点，处有切线，故B正确；
对于C，“函数”不能得到“函数在处取得极值”，
比如在处，但在处无极值，
但由极值的定义，可得“函数在处取得极值”可以得到“函数”，故C错误；
对于D，若曲线存在平行于轴的切线，
由，可得有正数解，即有，
由，可得，故D正确.
故选：BD.
6．BCD
【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数,判断其是否有异号零点即可.
【详解】关于选项A:,所以,
,根据拐点定义可知,没有拐点;
关于选项B:,所以,
即,解得,
且时,,时,,
故为的拐点;
关于选项C:,,
令,解得,
且时,,时,,
故为的拐点;
关于选项D:,,
,
因为,,
所以,使得成立,
由于在是连续不断可导的,
所以在有异号函数值,
故存在拐点.
故选:BCD
7．BC
【分析】根据给定条件，讨论求出值，判断A，B；再探讨函数在指定区间上的单调性、极值点判断C，D作答.
【详解】函数的最小正周期为，由及得：
，则，而，
即有，解得，即或，
当时，，由得，
有，而，显然不存在整数，使得，
当时，，由得，
有，而，于是得，符合题意，
所以，A不正确，B正确；
，当时，，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，C正确；
当时，，而函数在上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，
所以函数在上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D不正确.
故选：BC
8．BC
【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号，从而得到单调区间，进而得到极值点.
【详解】由图象知，当上，恒成立，即在上单调递减，A项错误；
又当时，恒成立，即在上单调递增，所以当时，取得极小值，B项正确；
当时，恒成立，即在上单调递减，C项正确；
当时，恒成立，即在上单调递减，所以D项错误.
故选：BC.
9．BC
【分析】函数在上有极值，即导数在上有变号零点，列出关于的不等式组，进而求出参数的取值.
【详解】由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递增，故，
可得，解得，故可取2，3.
故选：BC.
10．AD
【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案.
【详解】由的图象可知：
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值.
所以根据选项可得，选项AD正确.
故选：AD
11．BC
【分析】根据导函数图象确定的单调性，由此确定正确选项.
【详解】由图象可知，在上递减，在上递增，
所以不是极值点，A选项错误；是极小值点，B选项正确；C选项正确；D选项错误.
故选：BC
12．ABC
【分析】求得导数函数只需即可满足题意.
【详解】
令 ，则或，
当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增，
此时，当x=3时，f（x）有极大值，
则a的取值可以是4,5,6.
故选：ABC.
13．
【分析】设切点坐标，利用导数几何意义可求得切线方程，将问题转化为与有三个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和极值，由此可得图象，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】设切点坐标为，
，切线斜率，
切线方程为：，
将代入切线方程得：，即，
设，
过原点的切线有三条，与有三个不同交点；
，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
由此可得与的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有三个不同交点，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
14．(1)
(2)单调增区间是和，减区间是
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出的值即可．
（2）代值，求导，根据导数正负得到函数单调区间.
【详解】（1），令，解得；或，
若函数在处取得极大值，则，解得，
当时，，或，
所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.
此时函数在处取得极大值，满足题意.
故．
（2），则，
当时，和；
当时，，
所以函数的单调增区间是和，减区间是.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由于在点处有极小值，所以，从而可求出、的值；
（2）由（1）可得，得在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而可求出其值域.
【详解】（1）因为函数在处有极大值，
所以，①
且②
联立①②得：；
（2）由（1）得，
所以，
由得；
由得，
所以，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增；
又，
所以在上的值域为.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)求函数的定义域及导函数，根据导数与函数的单调性关系判断函数的单调性；(2)结合已知条件，根据函数的单调性，极值结合零点存在性定理列不等式求实数的取值范围.
【详解】（1）的定义域为，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，在递减，在递增
（2）当时，恒成立，在上单调递增，
所以至多存一个零点，不符题意，故舍去.
当时，在递减，在递增；
所以有极小值为
构造函数
，恒成立，所以在单调递减，
注意到
①当时，，
则函数至多只有一个零点，不符题意，舍去.
②当时，函数图象连续不间断，
的极小值为，
又函数在单调递减，所以在上存在唯一一个零点；
，令，
构造函数，
恒成立.在单调递增，
所以，即，
所以
函数在单调递增，
所以在上存在唯一一个零点；
当时，函数怡有两个零点，
即在上各有一个零点.
综上，函数有两个不同的零点，实数的取值范围为.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
.
减
极小值
增
极大值
减