2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO+OB=DO+OC，则四边形ABCD是( )
A. 空间四边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 矩形
2.已知向量a=4,-2,3，b=1,5,x，满足a⊥b，则x的值为
( )
A. 2B. -2C. 143D. -143
3.直线 3x-y-4=0的倾斜角是
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
4.已知椭圆x2k+2+y27=1的一个焦点坐标为0,2，则k的值为
( )
A. 1B. 3C. 9D. 81
5.已知直线l1:2x+2y-1=0,l2:4x+ny+3=0，l3：mx+6y-1=0，若l1//l2且l1⊥l3，则m+n的值为
( )
A. -10B. 10C. -2D. 2
6.已知圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2-6x+5=0，则两圆的位置关系是
( )
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
7.若圆C经过点A2,5，B4,3，且圆心在直线l：3x-y-3=0上，则圆C的方程为
( )
A. x-22+y-32=4B. x-22+y-32=8
C. x-32+y-62=2D. x-32+y-62=10
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分别是线段CC1,BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ//平面ABC1D1,PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则PR的最小值是
( )
A. 305B. 2 33C. 52D. 304
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面；
B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P,B,A,C四点共面；
C. 已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,m也是空间的一组基底；
D. 若a⋅b>0，则a,b是锐角．
10.已知直线l过直线l1:y=-13x+10和l2:3x-y=0的交点，且原点到直线l的距离为3，则l的方程可以为
( )
A. x=3B. 4x-3y-15=0
C. 4x-3y+15=0D. 3x+4y-15=0
11.在空间直角坐标系Oxyz中，A2,0,0，B1,1,-2，C2,3,1，则
( )
A. AB⋅BC=-5
B. AC=2 3
C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530

D. 点O到直线BC的距离是3 4214
12.已知圆C:x2+y2=4，直线l:(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)，则下列结论正确的是
( )
A. 圆C与曲线x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=16
B. 当m=0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C. 直线l恒过第二象限
D. 当m=13时，l上动点P作圆C的切线PA，PB，且A，B为切点，则AB经过点(-169,-49)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.a=(1,-3,1)，b=(-1,1,-3)，则|a-b|= ．
14.已知圆C1的方程x+32+y-22=5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A5,0，则圆C2的标准方程为______________．
15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|=|AB|，若∠BAF=π6，则椭圆C的离心率是 ．
16.在如图所示的三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘，CA=8，PA=6，D为AB中点，E为▵PAC内的动点(含边界)，且PC⊥DE.当E在AC上时，AE= ；点E的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设x,y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,-4,2)，且a→⊥b→，b//c．
(1)求a+b；
(2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小．
18.(本小题12分)
已知△ABC的顶点A(1,3)，B(3,1)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若边AB上的中线CM所在直线方程为2x-3y+p=0，且△ABC的面积为5，求顶点C的坐标．
19.(本小题12分)
已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，点D(0, 3)在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP
(1)求椭圆M的方程及离心率；
(2)求证：AB⊥AP．
20.(本小题12分)
已知直线l：y=kx+1k∈R与圆C：x+22+y-32=1相交于A，B不同两点．
(1)求k的范围；
(2)设M是圆C上的一动点(异于A，B)，O为坐标原点，若OA⋅OB=12，求▵MAB面积的最大值．
21.(本小题12分)
如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=2 2,E为线段DC的中点，ΔADE沿直线AE折起，使得DC= 6，如图乙．
(1)求证：BE⊥平面ADE；
(2)线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置．
22.(本小题12分)
已知圆心在原点的圆被直线y=x+1截得的弦长为 14.
(1)求圆的方程；
(2)设动直线y=kx-1k≠0与圆C交于A,B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题．
由题意，化简可得AB=DC，利用向量相等证明四边形为平行四边形．
解：由已知得AB=DC，即AB,DC是相等向量，因此AB,DC的模相等，方向相同，
即四边形ABCD是平行四边形.故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可．
解：∵a⊥b，a=4,-2,3，b=1,5,x
∴4×1+-2×5+3x=0，
解得x=2
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】依据斜率计算倾斜角即可．
解：直线 3x-y-4=0的斜率为 3，则由tanα= 3,α∈0,π，知α=π3，即α=60∘
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标的位置，是基础题．
利用椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答】
解：椭圆x2k+2+y27=1的一个焦点坐标为(0,2)，
可得2= 7-(k+2)，解得k=1．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得n,m值后可得结论．
解：由题意42=n2≠3-1，n=4，2m+12=0，m=-6，
所以m+n=-2．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系．
解：因为圆C1：x2+y2=1的圆心0,0，半径为1，
圆C2：x2+y2-6x+5=0即x-32+y2=4的圆心3,0，半径为2，
所以两个圆的圆心距C1C2=3，又两个圆的半径和为2+1=3，
所以圆C1与圆C2的位置关系是外切．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】求解AB的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程．
解：圆C经过点A2,5，B4,3，
可得线段AB的中点为3,4，又kAB=5-32-4=-1，
所以线段AB的中垂线的方程为y-4=x-3，
即x-y+1=0，
由x-y+1=03x-y-3=0，解得x=2y=3,
即C2,3，圆C的半径r= 2-22+5-32=2，
所以圆C的方程为x-22+y-32=4．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据正方体的性质得到B1C⊥平面ABC1D1，然后建立空间直角坐标系，设P0,1,z，Qx,x,0，Ry,0,0，根据PQ//平面ABC1D1，PQ⊥RQ得到-x+z=0，2x-y=1，然后得到PR= 5x2-4x+2，最后求最值即可．
解：
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AB⊥平面BCC1B1，B1C⊥BC1，
因为B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，
因为AB∩BC1=B，AB,BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，
如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
B11,1,1，C0,1,0，
设P0,1,z，Qx,x,0，Ry,0,0，x,y,z∈0,1
PQ=x,x-1,-z，RQ=x-y,x,0，B1C=-1,0,-1，
因为PQ//平面ABC1D1，所以B1C⋅PQ=-x+z=0，
因为PQ⊥RQ，所以PQ⋅RQ=xx-y+xx-1=0，即2x-y=1，
PR= y2+1+z2= 2x-12+1+x2= 5x2-4x+2，
所以当x=25时，PR最小，最小为 305．
故选：A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】对选项A，根据空间向量共面定理即可判断A正确；对选项B，根据16+13+12=1即可判断 B正确；对选项C，根据题意得到则a,b,a+c也共面，即可判断 C正确，对选项D，根据a⋅b>0，得到a,b∈0,π2，即可判断 D错误．
解：对选项A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，故A正确．
对选项B，因为OP=16OA+13OB+12OC，且16+13+12=1，
所以P,B,A,C四点共面．
对选项C，因为a,b,c是空间的一组基底，所以a,b,c不共面，
则a,b,a+c也不共面，m=a+c，
即a,b,m也是空间的一组基底，故 C正确；
对选项D，若a⋅b>0，则a,b∈0,π2，故 D错误．
故选：ABC
10.【答案】AC
【解析】【分析】先求得l1和l2的交点坐标，然后根据直线l的斜率是否存在进行分类讨论，结合原点到直线l的距离确定正确答案．
解：由y=-13x+103x-y=0解得x=3,y=9，即交点为3,9，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时原点到直线l的距离为3，符合题意，A选项正确．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-9=kx-3，
即kx-y+9-3k=0，
由0-0+9-3k 1+k2=3解得k=43，
直线l的方程为43x-y+9-4=0,4x-3y+15=0，C选项正确．
故选：AC
11.【答案】AC
【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答．
解：对于A，A2,0,0，B1,1,-2，C2,3,1，
依题意，AB=(-1,1,-2),BC=(1,2,3)，AB⋅BC=-1+2-6=-5，故 A正确；
对于B，AC=(0,3,1)，|AC|= 02+32+12= 10，故 B错误；
对于C，OB=1,1,-2，OB= 6，因为cs⟨OB,AC⟩=OB⋅AC|OB||AC|=1 6× 10= 1530，
则异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530，故 C正确；
对于D，因为OB=1,1,-2，BC=(1,2,3)，OB在BC上的投影为OB⋅BC|BC|=-3 14，
所以点O到直线BC的距离是 |OB|2--3 142= 6-914=5 4214，故 D错误．
故选：AC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属中档题．
对于A：化简曲线x2+y2-6x-8y+m=0为(x-3)2+(y-4)2=25-m，对其讨论即可得到答；
对于B：根据点到直线距离即可得到答案；
对于C：对直线l整理得：m(x+3)+(3x+4y-3)=0，即可得到答案；
对于D：根据题意得到线段PC为直径的圆M的方程为x2+y2-tx+(9+4t)y=0，两圆相减得到公共弦方程即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：圆C的圆心C(0,0)，半径r1=2，
对A:曲线x2+y2-6x-8y+m=0化简为(x-3)2+(y-4)2=25-m，
当25-m=0，即m=25时，表示点C1(3,4);当25-m25时，不表示任何图形;当25-m>0，即m