专题1.5 全称量词与存在量词（5类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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\l "_Tc13156" 【考点1：全称量词与全称量词命题】 PAGEREF _Tc13156 \h 1
\l "_Tc11903" 【考点2：存在量词与存在量词命题】 PAGEREF _Tc11903 \h 2
\l "_Tc1308" 【考点3：全称量词命题的否定】 PAGEREF _Tc1308 \h 4
\l "_Tc29194" 【考点4：存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc29194 \h 6
\l "_Tc3811" 【考点5：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc3811 \h 6
【考点1：全称量词与全称量词命题】
【知识点：全称量词与全称量词命题】
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
1．（2021秋•西固区校级月考）下列命题中，是真命题的全称命题的是（ ）
A．实数都大于0
B．指数函数有且只有一个零点
C．三角形内角和为180°
D．有小于1的自然数
【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．
【解答】解：存在实数﹣2＜0，故A错误；
函数y＝2x＞0恒成立，没有零点，B错误；
根据三角形内角和定理可知三角形内角和为180°，且命题中省略量词所有为全称量词，为全称命题，C正确；
有小于1的自然数中含有量词存在，是特称命题，不符合题意．
故选：C．
2．（2021秋•普宁市校级月考）下列命题中全称量词命题的个数为（ ）
①正方形的对角线互相平分；
②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0B．1C．2D．3
【分析】直接利用特称命题和全称命题的判定求出结果．
【解答】解：对于①正方形的对角线互相平分，为全称量词命题；
对于②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上，为全称量词命题；
③存在一个菱形，它的四条边不相等，为特称量词命题．
故选：C．
3．（2021秋•葫芦岛月考）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．有些平行四边形是菱形
B．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数
C．每个三角形的内角和都是180°
D．∃x∈R，x2+x+2＝0
【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义，判断即可．
【解答】解：对于A，有些平行四边形是菱形，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于B，至少有一个整数x，使得x2+3x是质数，含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题；
对于C，每个三角形的内角和都是180°，含有全称量词“每个”，是全称量词命题；
对于D，∃x∈R，x2+x+2＝0，含有存在量词，是存在量词命题．
故选：C．
（多选）4．（2021秋•太和县校级月考）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．奇数都不能被2整除
B．有的实数是无限不循环小数
C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
D．对任意实数x，方程x2+1＝0都有解
【分析】判断选项中的命题是否为全称量词命题，再判断命题的真假性即可．
【解答】解：对于A，奇数都不能被2整除，是全称量词命题，也是真命题；
对于B，有的实数是无限不循环小数，是存在量词命题；
对于C，角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是全称量词命题，也是真命题；
对于D，对任意实数x，方程x2+1＝0都有解，是全称量词命题，是假命题．
故选：AC．
【考点2：存在量词与存在量词命题】
【知识点：存在量词与存在量词命题】
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
1．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0
D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质，判断即可．
【解答】解：对于A，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题；
对于B，“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题；
对于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题；
对于D，有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题．
故选：B．
2．（2021秋•佛山月考）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2＞0B．∃x∈R，x2﹣2≤0
C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等
【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义判定即可．
【解答】解：选项ACD都符合全称量词命题；对于选项B即为∃x∈R，x2﹣2≤0符合存在量词命题定义．
故选：B．
3．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的二次函数的图象都关于y轴对称
B．正方形都是平行四边形
C．空间中不相交的两条直线相互平行
D．存在大于等于9的实数
【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案．
【解答】解：选项A中“所有的”是全称量词；
选项B中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词；
选项C中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词；
选项D中“存在”是存在量词．
故选：D．
（多选）4．（2021秋•辽源期末）下列存在量词命题中，为真命题的是（ ）
A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．∃x∈R，|x|＜0
D．有些自然数是偶数
【分析】选项A：解出方程的解即可判断；选项B：举特例如6即可判断求解；选项C：根据绝对值的应用即可判断；选项D：举特例如2，4，即可判断．
【解答】解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；
选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；
选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；
选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；
故选：ABD．
（多选）5．（2021秋•绿园区校级月考）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．所有的正方形都是矩形
B．有些梯形是平行四边形
C．∃x∈R，3x+2＞0
D．至少有一个整数m，使得m2＜1
【分析】由存在量词的概念逐一分析四个选项并判断真假得结论．
【解答】解：A，所有是全称量词，故为全称命题；
B，有些梯形是平行四边形是含有存在量词的命题，存在量词是“有些”，为假命题，原因是梯形的一组对边不平行；
C，∃x∈R，3x+2＞0是存在量词命题，为真命题，如x＝1；
D，至少有一个整数m，使得m2＜1是存在量词命题，为真命题，如m＝0．
故选：CD．
【考点3：全称量词命题的否定】
【知识点：全称量词命题的否定】
全称量词命题：xM，p(x)，它的否定：∃xM，p(x).
1．（2021秋•武江区校级期末）全称命题：∀x∈R，x2+5x＝4的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+5x＝4B．∀x∈R，x2+5x≠4
C．∃x∈R，x2+5x≠4D．以上都不正确
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴∀x∈R，x2+5x＝4的否定是：∃x∈R，x2+5x≠4．
故选：C．
2．（2019•全国三模）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0
C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．
【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选：B．
3．（2021秋•朝阳区校级月考）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+2≥0B．存在x∉R，x3﹣x2+2≥0
C．存在x∈R，x3﹣x2+2≥0D．存在x∈R，x3﹣x2+2＜0
【分析】命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．
【解答】解：命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0””是全称命题，否定时将量词对任意的实数x∈R变为存在x∈R，再将不等号＜变为≥即可．
即存在x∈R，x3﹣x2+2≥0
故选：C．
4．（2021•大连模拟）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是 ．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是：∃x0∈（1，2），x02≤1．
故答案为：∃x0∈（1，2），x02≤1．
5．（2021秋•福清市期中）选择适当的符号“∀”“∃”表示下列命题：有一个实数x，使x2+2x+3＝0： ．
【分析】根据题意，由特称命题的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，有一个实数x，使x2+2x+3＝0，可以用存在量词表示，
该命题可以表示为：∃x∈R，x2+2x+3＝0；
故答案为：∃x∈R，x2+2x+3＝0．
【考点4：存在量词命题的否定】
【知识点：存在量词命题的否定】
存在量词命题：∃xM，p(x)，它的否定：xM，p(x).
1．（2022春•孝感期中）特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是 所有三角形的中线不相等 ．
【分析】利用特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是“所有三角形的中线不相等”
故答案为：所有三角形的中线不相等
2．（2021秋•和平区期末）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是 ∀x∈R，x2﹣x+1≠0 ．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
3．（2021秋•三元区校级月考）命题“∃x≥0，x2﹣2x﹣3＝0”的否定是 ∀x≥0，x2﹣2x﹣3≠0 ．
【分析】题目给出了存在性命题，其否定应为全称命题．
【解答】解：因为命题是特称命题，所以其否定是全称命题，
所以命题“∃x≥0，x2﹣2x﹣3＝0”的否定是：∀x∈R，使得x2﹣2x﹣3≠0．
故答案为：∀x≥0，x2﹣2x﹣3≠0．
4．（2021秋•天宁区校级月考）命题p：∃x∈R，x2＞2，则命题p的否定为 ∀x∈R，x2≤2 ．
【分析】由已知中原命题，根据特称命题否定的方法，即否定量词也否定结论，可得答案．
【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2＞2，
∴命题p的否定为：∀x∈R，x2≤2，
故答案为：∀x∈R，x2≤2
【考点5：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数】
【知识点：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的思路】
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1．（2022•青岛一模）若命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a≤0D．a≤1
【分析】分a＝0与a≠0两种情况讨论，求出a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，命题“∀x∈R，ax2+1≥0为真命题”，即不等式ax2+1≥0恒成立，
当a＝0时，不等式为1≥0，恒成立，
当a≠0时，必有a＞0Δ=0-4a≤0，解可得a＞0，
综合可得：a≥0，
故选：B．
2．（2021秋•虎丘区校级月考）若“∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1≤0”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥2B．a≥52C．a≤52D．a≤1
【分析】利用参数分离法得到a≥(x+1x)max，x∈[1，2]，再求出y＝x+1x在[1，2]上的最值即可．
【解答】解：∵∀x∈[1，2]，x2﹣ax+1≤0为真命题，
∴a≥(x+1x)max，x∈[1，2]，
∵y＝x+1x在区间[1，2]上单调递增，
∴(x+1x)max=2+12=52，即a≥52，
故选：B．
3．（2021秋•湖北月考）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a≥﹣1C．a＜0D．a＜﹣1
【分析】先求解若命题p为真命题时a的取值范围，然后求解其补集，即可得到答案．
【解答】解：若命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣a＞0为真命题时，
则Δ＝（﹣2）2+4a＜0，解得a＜﹣1，
故命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣a＞0为假命题时，a≥﹣1，
故选：B．
4．（2022春•昭通月考）命题“∀x∈R，ax2+4ax+3＞0”为真，则实数a的范围是 ．
【分析】当a＝0时，ax2+4ax+3＝3＞0恒成立，满足题意，当a≠0时，若不等式恒成立，则需a＞0Δ=16a2-12a＜0，即可求解．
【解答】解：当a＝0时，ax2+4ax+3＝3＞0恒成立，满足题意，
当a≠0时，若不等式恒成立，则需a＞0Δ=16a2-12a＜0，解得0＜a＜34.
5．（2022•梅州模拟）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，则实数a的取值范围是 ．
【分析】根据命题p为假命题，则它的否定命题￢p是真命题，利用判别式Δ≥0求出实数a的取值范围．
【解答】解：因为命题p：∀x∈R，x2+x﹣a＞0为假命题，
所以它的否定命题￢p：∃x∈R，x2+x﹣a≤0为真命题，
所以Δ＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a≥-14.
6．（2021秋•电白区期末）已知命题“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【分析】由二次函数的性质可得△≤0，解可得a的取值范围．
【解答】解：∵命题∀x∈R，x2+2x+a≥0是真命题，
∴Δ＝4﹣4a≤0，∴a≥1．
7．（2022春•东兴区校级期中）若命题“∀x∈R，x2+x+a﹣1≠0”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【分析】直接利用二次函数的根的存在性的问题的应用求出结果．
【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+a﹣1≠0”是假命题，
则Δ＝12﹣4（a﹣1）≥0，解得a≤54．
8．（2021秋•福州期末）若命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，则m的取值范围是 ．
【分析】利用一元二次不等式在R上恒成立求解即可．
【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，
所以Δ＝（2m）2﹣4（m+2）≤0，
解得﹣1≤m≤2.
（多选）9．（2021秋•辽宁月考）已知命题p：∃x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，若p为真命题，则a的值可以为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．3
【分析】将条件转化为对应方程有根进行求解即可．
【解答】解：∵命题p：∃x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，p为真命题，
即ax2﹣4x﹣4＝0有根，
当a＝0时，x＝﹣1成立，
当a≠0时，需满足Δ＝（﹣4）2﹣4×a•（﹣4）≥0，解得a≥﹣1且a≠0，
∴a的取值范围为：a≥﹣1，
故选：BCD．
10．（2022春•河南月考）若“∃x∈R，使x2﹣2x+m＝0成立”为真命题，则实数m的取值范围是 {m|m≤1} ．
【分析】由已知得x2﹣2x+m＝0有实数根，结合二次方程根的存在条件可求．
【解答】解：若“∃x∈R，使x2﹣2x+m＝0成立”为真命题，
则Δ＝4﹣4m≥0，
解得m≤1．
故答案为：{m|m≤1}．
11．（2021秋•武昌区校级月考）若命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．﹣1≤m≤1D．m＞﹣1
【分析】问题等价于关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有实数解，利用△≥0求出m的取值范围．
【解答】解：命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，
所以关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有实数解，
所以Δ＝4﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
所以m的取值范围是m≥﹣1．
故选：B．
12．（2021秋•西固区校级期末）若命题“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0是假命题”，则实数a的取值范围是 ．
【分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再利用判别式Δ＜0求出a的取值范围．
【解答】解：命题∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0为假命题，
则它的否定命题是“∀x∈R，x2+2ax+2﹣a≠0”为真命题，
所以Δ＝4a2﹣4（2﹣a）＜0，
解得﹣2＜a＜1.
13．（2021秋•博兴县校级月考）若命题“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a＝0是假命题”，则实数a的取值范围是 ﹣2＜a＜1 ．
【分析】若命题“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a＝0是假命题”，则Δ＝4a2﹣4（2﹣a）＜0．解得实数a的取值范围．
【解答】解：若命题“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a＝0是假命题”，
则Δ＝4a2﹣4（2﹣a）＜0．
解得：﹣2＜a＜1；
故答案为：﹣2＜a＜1.