专题3.1 指数（4类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc117709645" 【考点1：根式的化简求值】 PAGEREF _Tc117709645 \h 1
\l "_Tc117709646" 【考点2：指数幂的计算】 PAGEREF _Tc117709646 \h 4
\l "_Tc117709647" 【考点3：分数指数幂与根式的互化】 PAGEREF _Tc117709647 \h 7
\l "_Tc117709648" 【考点4：指数幂的化简求值与证明】 PAGEREF _Tc117709648 \h 11
【考点1：根式的化简求值】
【知识点：根式的概念】
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
1．（2022·全国·高一单元测试）化简的结果是（ ）
A．0B．C．0或D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据的大小关系讨论即可.
【详解】．
当时，原式；
当是，原式．
故选:C．
2．（2022·甘肃省临夏县中学高一阶段练习）二次根式成立的条件是（ ）
A． B． C．D．是任意实数
【答案】C
【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
3．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若，则的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】利用进行求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
4．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）__________．
【答案】9
【分析】根据公式直接可得.
【详解】.
故答案为：9
5．（2022·全国·高一专题练习）=__________.
【答案】
【分析】根据与分类讨论化简即可求解.
【详解】当时，；
当时，.
所以.
故答案为：
6．（2022·全国·高一专题练习）若，则_________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【详解】因为 所以 ，此时 ，
所以，
故答案为：
7．（2022·全国·高一专题练习）二次根式成立的条件是_________
【答案】
【分析】利用得到，从而得到.
【详解】二次根式，所以.
故答案为：
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）如果，，那么的值是______.
【答案】
【分析】根据平方差公式即可求解.
【详解】由知：为非负数，
∵，
∴
故答案为：
9．（2022·全国·高一专题练习）已知，则________
【答案】
【分析】由题意可得，求出，再将用表示，从而可得出答案.
【详解】解：∵，∴，
又∵，
∴.
故答案为：.
10．（2022·全国·高一单元测试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)0
【分析】根据根式的运算即可求解（1）（2）.
（1）
；
（2）
=0
【考点2：指数幂的计算】
【知识点：指数幂的计算】
1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）设a>0，则下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
【详解】 , ,故B，C错误，D正确，
由于 ，所以 ，故A 错误，
故选：D
2．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.
【详解】∵，∴A错误；
∵，不是同类项，∴，∴B错误；
∵，∴C错误；
∵，∴D正确，
故选:D．
3．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.
【详解】由题意可得，A错误；
时，，B错误；
，C错误；
，D正确，
故选：D
4．（2022·全国·高一课时练习）设，下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根分式指数幂的运算法则，正确运算，即可求解.
【详解】对于A中，根分式指数幂的运算法则，可得；
对于B中，根分式指数幂的运算法则，可得；
对于C中，根分式指数幂的运算法则，可得恒成立；
对于D中，根分式指数幂的运算法则，可得.
故选：CD.
5．（2022·海南海口·高一阶段练习）（1）______（2）______
【答案】
【分析】根据指数的运算法则运算求解.
【详解】空1：
空2：
故答案为：；.
6．（2021·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）________．
【答案】
【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．
【详解】因为
故答案为:．
7．（2022·江苏·南京市雨花台中学高一阶段练习）化简求值：
【答案】12
【分析】由指数的运算法则即可求解.
【详解】原式
故答案为：12
8．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
9．（2022·全国·高一单元测试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）将带分数化为假分数，将负指数幂化为正指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.
（1）解：
=．
（2）解：．
【点睛】指数幂运算的基本原则：①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数；⑤底数是负数的先确定符号．
【考点3：分数指数幂与根式的互化】
【知识点：分数指数幂与根式的互化】
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列等式中的字母都是正数，则错误的选项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
故选：D.
2．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）式子（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】B
【分析】化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质求解.
【详解】
故选：B
3．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案.
【详解】，A错误；，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选：C
4．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.
【详解】
故选：C
5．（2022·全国·高一单元测试）式子的计算结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.
【详解】.
故选：D.
6．（2022·全国·高一单元测试）下列各式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据根式、幂的运算法则计算后判断．
【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；
故D正确．
故选：BCD．
7．（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】，而，故A错误；
，故B错误；
，故C 正确；，故D正确.
故选：CD.
8．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）已知，化简：=____．（用分数指数幂表示）
【答案】
【分析】将根式化为分数指数幂，再进行相关计算.
【详解】.
故答案为：
9．（2022·全国·高一专题练习）化简___________
【答案】
【分析】将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
【详解】解：
.
故答案为：
10．（2022·全国·高一课时练习）化简：
（1）______；
（2）______．
【答案】 1
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可求解；
（2）先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解；
【详解】解：（1）原式．
（2）因为有意义，所以，
所以原式．
故答案为：（1）；（2）1.
11．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）（1）化简：(用分数指数幂表示)；
（2）计算：．
【答案】（1），（2）
【分析】根据指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】（1）；
（2）.
12．（2022·全国·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】利用指数幂的运算性质进行计算可得.
（1）,
（2）,
（3）方法一（从外向里化简） ．
方法二（从里向外化简） ．
【考点4：指数幂的化简求值与证明】
【知识点：指数幂的化简求值与证明】
1．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项，对两边平方可得结果；
B选项，先计算，开方即可；
C选项，先计算，再结合，开方求出答案；
D选项，使用立方和即可求解.
【详解】两边平方得：，
所以，A正确；
，
因为的大小不确定，所以，B正确；
，
因为，所以，C错误；
由立方和公式可得：
，
D正确.
故选：ABD
2．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知，则__________.
【答案】
【分析】由题知，再根据立方和公式分解因式求解即可.
【详解】解：因为，所以，即
所以，
故答案为：
3．（2022·全国·高一课时练习（理））若，，则________．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的运算化简求值即可.
【详解】．
故答案为:.
4．（2022·全国·高一课时练习（理））（1）计算：________；
（2）化简：________．
【答案】 ；
【分析】根据指数幂的运算，化简求值即可.
【详解】（1）
．
（2）原式．
故答案为:，
5．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）若，求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用即可求出答案；
（2）利用即可求出答案.
（1），
（2）
6．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）（1）化简：（1）；
（2）先化简，再求值．已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则进行计算；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值.
【详解】（1）；
（2）
，
因为，，
所以.
7．（2022·江苏常州·高一阶段练习）（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）1．
【分析】根据分数指数幂的运算性质进行运算即可．
【详解】（1）
．
（2）
8．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）（1）求值：
（2）已知非零实数a满足，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用指数和指数幂的运算性质直接化简即可；
（2）根据化得 ，对式子进行等价变形为，然后代入求值即可.
【详解】（1）解:原式 .
（2），，，即.
原式.
9．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知，化简.
（2）设，，，求的值.
【答案】（1）；（2）8
【分析】（1）由已知得，结合指数运算法则化简；
（2）令，，结合因式分解可得，，则，结合已知即可求值.
【详解】（1）由，得，
∴.
（2）令，，则
，，
，
.
∴.
10．（2022·全国·高一单元测试）（1）化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.
【详解】（1）原式．
（2）原式．幂的有
关概念
正分数指数幂：a＝eq \r(n,am) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)