湖北省黄冈市2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题（含答案）

这是一份湖北省黄冈市2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题（含答案），共17页。试卷主要包含了0分，5，3，25C．5D．5等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分数是（ ）
A．6B．5.25C．5D．5.5
2．在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（ ）
A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为
B．抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明
C．抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5
D．当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5
3．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点P（a，b）与点关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱柱中，E是棱的三等分点，且，F是棱的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
7．已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（ ）
A．20B．C．36D．30
8．曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9．有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为.若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ）
A．恰有一人解出的概率为
B．没有人能解出的概率为
C．至多一人解出的概率为
D．至少两个人解出的概率为
10．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是
C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围为
B．“”是“点到直线距离为3”的充要条件
C．直线恒过定点
D．直线与直线平行，且与圆相切
12．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知基底，，，若，则 .
14．如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率 .

15．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
16．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．
四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的值.
18．已知直线和的交点为．
(1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
(2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
19．已知圆经过点．
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值．
20．为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.
(1)求甲恰好抽到1道填空题的概率；
(2)求甲比乙恰好多答对1道题的概率.
21．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，且，异面直线PB与CD所成的角为，
(1)求证：
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
(3)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．
22．已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
.
1．B
【分析】根据百分位数的定义运算求解.
【详解】因为，所以第75百分数是第6位数和第7位数的平均数，即为.
故选：B.
2．D
【分析】根据古典概型判断AB，利用概率与频率的关系判断CD.
【详解】抛掷两枚硬币，出现的基本事件为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为，故A错误；
“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，不能说明，应有，故B错误；
抛掷100次硬币，事件A发生的频率与抛掷50次硬币A发生的频率不能判断谁更接近于0.5，故C错误；
根据频率与概率的关系知，当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5，故D正确.
故选：D
3．A
【分析】根据每个选项中P点的坐标，求出的坐标，计算，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点是否在平面内.
【详解】对于选项A，，所以，
根据线面垂直的性质可知,故在平面内；
对于选项B，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项C，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
对于选项D，，则，
在平面内，根据线面垂直的性质可知,故不在平面内；
故选：A
4．A
【分析】根据P（a，b）与点关于直线l对称可求出直线l的斜率，再由中点验证即可求解.
【详解】点P（a，b）与点关于直l对称
，
，
又的中点坐标为，
所以直线l的方程为.
故选：A
5．D
【分析】取的中点D，连接，进而表示，再根据求解即可.
【详解】取的中点D，连接.
所以.
因为，
所以.
故选：D
6．D
【分析】求出点关于轴的对称点，由对称点作圆的切线，即为反射光线所在直线，求出切线斜率即得．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于y轴的对称点，
易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为，即，
由反射光线与圆相切，可得，整理得，解得或．
故选：D．
7．D
【分析】由题意知与，与分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，，利用即可求解．
【详解】由题意，知与，与分别关于y轴对称
设椭圆的左焦点为，由已知a=6,
则，同时
∴
故选：D．
8．D
【分析】要求的实数的取值范围即为直线斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值；当直线过点时，由和的坐标求出此时直线的斜率，根据两种情况求出的斜率得出的取值范围．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线过，，
又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，
当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，
解得：；
当直线过点时，直线的斜率为，
则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为．
故选：．
9．AC
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各选项对应事件的概率即可.
【详解】A：恰有一人解出的概率为，正确；
B：没有人能解出的概率为，错误；
C：由A、B知：至多一人解出的概率为，正确；
D：至少两个人解出的概率为，错误；
故选：AC
10．ACD
【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。
【详解】对于A, 不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；
对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；
对于C，由可得，即,
所以A，B，C三点共线，故正确；
对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】利用斜截式方程求解直线的倾斜角的范围判断；利用点到直线的距离判断；直线系恒过的点的判断；直线的平行与圆的位置关系判断.
【详解】解：直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围为，，，所以正确；
“点到直线距离为3”，可得．解得，，
所以“”是“点到直线距离为3”的充分不必要条件，所以不正确；
直线恒过定点，所以正确；
直线即与直线平行，，所以直线与圆相切，所以正确；
故选：ACD．
12．AC
【分析】A.利用空间向量运算求解判断；B. 利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积法求解判断；D.利用线面角的求解判断.
【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量，故A正确；
假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】根据向量平行的判定定理运算求解.
【详解】因为，且，则存在唯一实数，使得，
即，
可得，解得或，
所以.
故答案为.
14．0.672##
【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可得到答案.
【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故答案为.
15．
【分析】结合已知条件，利用椭圆的对称性和等边三角形的边长相等即可求解.
【详解】不妨设椭圆的方程为：，，右焦点，
若要椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的另外两个顶点为和，
从而，即，
又由，从而，
故离心率.
故答案为.
16．
【详解】试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.
考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.
【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．
17．(1)
(2)
【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【详解】（1）由已知可得，，
∴.
（2），，
∵，∴存在实数使得，
∴，，，联立解得.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；
（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.
【详解】（1）解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将带入可得
所以的方程为：；
（2）解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.
19．(1)
(2)最大值为64，最小值为4
【分析】（1）设圆的方程为 ，代入点的坐标，列出方程，即可求解.
（2）将转化为圆上的点到点的距离的平方，求得的值，结合圆的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，圆经过点，
设圆的方程为 ，
可得 ，解得，
所以圆C的方程为，即 ，
（2）解：由圆，可得圆心，半径为
又由的表示圆上的点到点的距离的平方，
因为，
根据圆的性质，可得，
所以的最大值为，最小值为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）列举出事件空间中的所有基本事件，并得出甲至少抽到1道填空题的事件，结合古典概型运算求解；（2）由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式运算求解．
【详解】（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间，，，，，，，，，，
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件“甲恰好抽到1道填空题”，则，故，
因此甲恰好抽到1道填空题的概率为.
（2）设事件，分别表示甲答对1道题，2道题，事件，分别表示乙答对0道题，1道题，
根据事件的独立性得，，
，，
记事件“甲比乙恰好多答对1道题”，
则，且，两两互斥，与，与分别相互独立，
所以，，
所以，
故甲比乙恰好多答对1道题的概率为.
21．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，由线面垂直的判定证得平面，从而得到，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用长度关系可求得所需点的坐标，利用点到直线距离的向量求法可得结果；
（3）用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）四边形为菱形，为中点，，
，；
，平面，，
平面，又平面，
，，平面，
平面；
（2）两两互相垂直，以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
为等边三角形，，，
不妨设，则，，
异面直线与所成的角为，，，
，即，
解得：，
，，，，，
，，，，
点到直线的距离为；
（3）因为，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
平面与平面夹角的余弦值为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．
【详解】（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴