专题06 等腰、等边三角形与全等三角形综合问题之六大题型-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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根据等腰、等边三角形的性质求解
例题：（2023下·湖南张家界·八年级统考期末）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，得到，利用直角三角形全等的判定定理得到，再根据全等三角形的性质，对应角相等即可得到；
（2）在中，由含角的直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）在中，，，
∴，
即的长度为．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知中，为上一点，，为外部一点，满足，连结，与交于点，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由可得，由即可证明全等；
（2）由（1）中三角形全等可得，由得，由三角形内角和即可求得结果度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明全等是关键．
2．（2019上·山西晋中·八年级校联考阶段练习）如图，是等边三角形，D、E分别是、边上的点，且、相交于点P，．
(1)求的度数．
(2)过点B作于Q，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，又根据，进而求得，即可得出答案；
（2）根据题意求得，再根据直角三角形中的角的性质求出的长度，即可得出答案．
【详解】（1）解：由是等边三角形可得，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵于Q，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
根据等腰、等边三角形的三线合一证明
例题：（2023上·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线，

(1)求证：；
(2)若平分交于点N，判断的形状并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三线合一得到，根据角平分线得到，继而根据平行线的判定证明即可；
（2）利用平行线的性质得到，根据平分线的定义得到，从而推出，即可证明．
【详解】（1）证明：，，
．
平分，
．
．
．
（2）是等腰直角三角形，
理由是：，
，，
平分，
．
，
是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，角平分线，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·八年级统考期末）如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．
(1)求证：；
(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）明∶ 连接，
∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：仍成立，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：能成为等腰三角形，
①当，点E在的延长线上时，则，
又∵，
∴；
②当，点E在上时，则；
③当时，则，
∴；
④当，点E和C重合，
∴；
综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
2．（2023下·全国·七年级期末）如图①，已知点D在线段上，在和中，，，，，且M为的中点．

(1)连接并延长交于N，写出线段与的数量关系： ；
(2)写出直线与的位置关系： ；
(3)将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立，见解析
【分析】（1）由可得，再根据平行线的性质，推出，得到，证出，因为，即可得到；
（2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，且是底边的中线，即可得到；
（3）作交的延长线于N，连接，根据平行线的性质求出，可得，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出．
【详解】（1），理由如下：如图1，

∵，，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，且是底边的中线，
∴；
（3）仍成立，理由如下：
如图2，作交的延长线于N，连接，

∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵，
，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且是底边的中线，
∴．
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．
等腰、等边三角形的性质与判定
例题：（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由，可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形；
（2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，由此可得的长．
【详解】（1）证明：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：，，
，
，
由（1）知是等边三角形，
，
，
，
由（1）知，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校考期末）在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．

(1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而推出，由此即可证明结论；
（2）同理可得，进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到，再根据三线合一定理得到，则，即为等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）证明：同（1）可知，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
2．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知平分，于点，于点．

(1)探究：如图2，点是上任意一点（不与、重合），连接、，问题：请判断与的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，连接．问题：
①垂直平分吗？请说明理由．
②若，，求的周长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①垂直平分，理由见解析；②18
【分析】（1）证明，则，证明，进而可得．
（2）①如图3，记与的交点为，由（1）可知，则，证明，则，，进而可得垂直平分；②由题意知，可证是等边三角形，则，然后求的周长即可．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
（2）①解：垂直平分，理由如下：
如图3，记与的交点为，

由（1）可知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴垂直平分．
②解：∵平分，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为，
∴求的周长为18．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
等腰、等边三角形共点手拉手问题
例题：（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．

(1)求证： ；
(2)求证：；
(3)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由和是等边三角形可得，由可得，由“”即可证明；
（2）由和是等边三角形可得，由可得，从而得到，由可得，利用“”即可证明；
（3）由（2）可得：，由，可得，从而即可得到答案．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：为等边三角形，
理由如下：
由（2）可得：，
，
，
为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，
①、的形状是____________；
②求证：．
(2)若，
①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，
∴、是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②证明：∵、是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在△BAE与△DAC中，
∵，
∴．
∴．
（2）①当，时，成立．
理由：如图，
∵， ，，

∴，
∴；
②当，时，不成立．
理由：如图，
∵，

∴，，
∴与不全等，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
等腰、等边三角形中动点探究问题
例题：（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），连接，作，，相交于点E．
(1)当时，求证：；
(2)当是等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）利用三角形外角的性质说明，再利用说明；
（2）分，，三种情形，分别利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：，，
，
在和中，
，
；
（2）当时，，
，
，
当时，，
，
当时，则，
此时点与重合，不符合题意，故舍去，
综上：的度数为或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在AC边上，，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且，BE与CD交于点F．若是等腰三角形，求的度数．
【答案】(1)，证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明，得出，根据等腰三角形判定即可得出答案；
（2）先求出，由（1）得出，设，则，，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
设，
则，，
，
∵是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①.当时，此时，
∴,得，
即；
②当时，此时，
∴,得，
即；
③当时，此时，
∴,不符题意，舍去；
综上所述，或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
2．（2023上·广西南宁·八年级校考期末）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、
(1)如图1，若点是的中点时，求证：
(2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．
(3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据，即可得证；
（2）根据，即可得出结论；
（3）根据得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，点是的中点，、
∴
即，
∴，
（2）解：，理由如下，
如图所示，连接，
∵， 、，为腰上的高，
∴
∴
∴，
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵， 、，，
∴
∴
∴
若，
则．
【点睛】本题考查了三角形高的计算，含30度角的直角三角形的性质，等面积法是解题的关键．
等腰、等边三角形中新定义型探究问题
例题：（2022上·福建福州·八年级校考期末）定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

(1)如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
(2)如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：
①点是的费马点；
②．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）延长交于点，根据费马点的定义可得，进而根据等腰三角形的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质，求得，即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）①作于，于设交 于．证明（）即可解决问题；
②在线段上取一点，使得，连接．证明（），推出即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴是等边三角形，是等边三角形，
∵点是高为的等边的费马点，
∴，
∴
∴四点共线，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
如图所示，延长交于点

∵点是高为的等边的费马点，
∴，
∴，
∴，则
∴
∵
∴
∴,
故答案为：．
（2）解：，理由如下，
如图所示，延长至，使得，连接，

∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
又，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）①证明：如图，作A于，于设交 于．

，都是等边三角形，
，，，
，
)，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是就是费马点．
②在线段上取一点，使得，连接．

，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，构造等边三角形是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期末）阅读理解：
【概念学习】
定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．

（2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；

【概念应用】
（3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或或
【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论；
（2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论；
（3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴与是互为“形似三角形”，
故答案为：是；
（2）∵在中,，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形，
∴为的“巧妙分割线”；
（3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图1所示：

当时，则，
，
此时，是“形似三角形”，可知，
∴，
∴;
②如图2所示：

当时，则，
此时，是“形似三角形”，可知，
；
③当时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图3所示：

当时，，同理可知；
②如图4所示：

当时，，
此时，是“形似三角形”，可知，
，
在中，由三角形内角和可知，得，
，
；
③当时，这种情况不存在；
综上所述：的度数为或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解．
2．（2023下·陕西榆林·七年级校考期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．

(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．
【答案】(1)，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可；
（2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”子三角形即可求出的度数；
（3）由（1）可知，可得，．根据证明，可得，，进而可证结论成立．
【详解】（1）．
理由：因为和是“同源三角形”，
所以，所以．
在和中，
所以．
所以．
（2）∵和是“同源三角形”，
∴．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45；

（3）由（1）可知，
所以，．
因为，的中点分别为，，
所以．
在和中，
所以，
所以，．
又因为，
所以．
所以，所以是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
一、解答题
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明；
（2）结合（1）中的结论以及题目条件得到是等边三角形然后根据已知条件计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
而
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰及等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
2．（2023上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知在中，的平分线交于点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及在直角三角形中，所对的边是斜边的一半进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
3．（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，进而可证得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4．（2022上·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求边的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)4
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，利用角的等量关系可得，进而可得，进而可求证结论．
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，进而可求证结论．
（3）根据直角三角形的特征及等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，是边上的中线，
，，
，
，
，，
∴，
，
．
（2）是等边三角形，理由如下：
垂直平分线段，
，
，
，
，
又，，是边上的中线，
∴，
，
是等边三角形．
（3），，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的性质和直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
5．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，交于点．

(1)求证：点在的垂直平分线上；
(2)若，
①求的度数；（用含的式子表示）
②当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据已知条件得出，则，即可得证；
（2）①根据四边形的内角和为，，可得出，即可求解；
②当，由①得，进而根据，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
．
，
，
，
，
．
，
点在的垂直平分线上．
（2）解：①由题可知，
四边形的内角和为，
．
，
，即．
（2）当，由①得，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，四边形内角和，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
6．（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．
(1)若，则的度数为______，的角度为______；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)当是等边三角形时，求的度数．
【答案】(1)40°，50°；
(2)见解析
(3)120°
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形；
（3）首先根据等边三角形的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到，然后由直角三角形的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵，，
∴
在和中
∴
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：∵为等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）在中，，平分交于点D，点E在射线上运动，F在射线上运动，且，连接，．
(1)如图①，当时，直接写出线段和之间的数量关系；
(2)如图②，当时，
①当点E在延长线上，点F在上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；
②若，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①成立，证明见解析 ②1或5
【分析】（1）根据题意得到是等腰直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）①过点D作，，垂足分别为M、N，首先根据角平分线的性质定理得到，然后证明出是等边三角形，进而得到，最后证明出，利用全等三角形的性质求解即可；
②根据题意分点F在线段上和点F在线段的延长线上两种情况，分别根据全等三角形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
∴
∵平分交于点D，
∴
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
∴；
（2）①成立，理由如下：
过点D作，，垂足分别为M、N
∵，
∴
∵平分
∴
∵，
∴是等边三角形
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
②如图所示，当点F在线段上时，
∵，
∴
∵，
∴是等边三角形
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴；
如图所示，当点F在的延长线上时，作交于点M，作交于点N，
∵是等边三角形，平分
∴，
∴
∵
∴，即
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
综上所述，的长为1或5．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，勾股定理，等边三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8．（2023上·河南洛阳·八年级统考期末）已知在等边中，点是边上一定点，点是射线上一动点，以为边作等边，连接．探究线段、、之间的数量关系．
(1)观察猜想：
如图1，当点与点重合，直接写出线段、、之间的数量关系；
(2)类比探究：
如图2，当点在边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系并证明；（提示：在上截取，连接）
(3)解决问题：
当点在边的延长线上，若，，请直接线段的长．
【答案】(1);
(2)当点在边上，上述关系不成立，他们之间的关系是，证明见解析
(3)1
【分析】（1）利用等边三角形的性质得到条件证明，则，得到，即可得到结论；
（2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，则，即可得到；
（3）当点在边的延长线上，延长至点P，使得，先证明，则，即可得到，代入数值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）如图，在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴,
∴当点在边上，上述关系不成立，此时；
（3）如图所示，当点在边的延长线上，延长至点P，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的性质是解题的关键．
9．（2018·湖北随州·统考一模）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，求与的数量关系；
②如图3，当时，求的长．
猜想论证：
(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)①；②；
(2)．理由见解析
【分析】（1）①首先证明，，可得即可解决问题；
②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）延长至点Q，使得，连接，则，根据，，，即可得到，即可解决问题．
【详解】（1）解：①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为；
理由：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图3，当时，则长为4．
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：猜想．
证明：如图，延长至点Q，使得，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又由题意得到，，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．