专题05 探索与表达规律-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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1．【云南省红河哈尼族彝族自治州弥勒市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】按一定规律排列的单项式：……，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的连续的整数，字母的指数是系数的2倍，然后即可写出第个单项式，本题得以解决．
【详解】解：∵一列单项式：……，
∴第个单项式为，
故选：C．
【点睛】本题考查单项式的规律探索，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式．
2．【云南省玉溪市峨山彝族自治县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】观察下列这列式子：，则第个式子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】系数的规律：第n个对应的系数是．指数的规律：第n个对应的指数是n，由此求解即可．
【详解】解：根据分析的规律，
得系数的规律：第n个式子对应的系数是．指数的规律：第n个式子对应的指数是n，
∴第个单项式是．
故选D．
【点睛】本题主要考查了单项式问题，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
3．【湖北省随州市曾都区2022-2023学年七年级上学期期末学业质量监测数学试题】按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【详解】解：第一个单项式为，
第二个单项式为，
第三个单项式为，
第四个单项式为，
…
∴可以得到规律第n个单项式的系数为，次数为，即第n个单项式为，
故选D．
【点睛】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．
4．【吉林省延边朝鲜族自治州2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】按规律排列的单项式：，…，写出第20个单项式是 ．
【答案】
【分析】根据单项式的系数的绝对值为连续的偶数，偶数个的系数为负，字母都是，指数是连续的奇数，据此即可求解．
【详解】解：∵，…
∴第20个单项式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键．
5．【贵州省铜仁市石阡县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】有一组单项式依次为，根据它们的规律，请写出第8个单项式 ．
【答案】
【分析】不难看出，单项式的系数部分是，字母的指数部分是，据此可解答．
【详解】，
，
,
，
第个单项式为：，
∴第8个单项式为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
6．【河南省安阳市汤阴县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】有一组按规律排列的式子如下：，，，，……，则第20个式子是 ．
【答案】
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，…，；
第二项依次是，，，，…，；
∴第个式子即当时，
代入到得到；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的规律题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
7．【山东省枣庄市台儿庄区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】按一定规律排列的单项式：，…，则第2022个单项式是 ．
【答案】
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数与序号相等，字母为a，据此作答即可．
【详解】解：∵，，，，，…，
由上规律可知，第n个单项式为：．
∴第2022个单项式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时能通过观察得出规律是本题的关键．
8．【江苏省扬州市宝应县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】按规律排列的单项式：，，，，，…，则第个单项式是 ．
【答案】
【分析】根据题意归纳出各项系数的符号和字母指数的规律．
【详解】解：第1个单项式是，
第2个单项式是，
第3个单项式是，
第4个单项式是，
第个单项式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳．
数字类规律探索
9．【广西壮族自治区河池市宜州区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】对于数133，规定第一次操作为，第二次操作为，按此规律操作下去，则第2022次操作后得到的数是（ ）
A．250B．133C．55D．24
【答案】B
【分析】按照规则，每次操作即是对上一次操作得到的数的每个数字求立方和，求出第三次操作后的得数为133与开始相同，即每三次为一个循环．由于2022能被3整除，故2022次操作后与第三次操作后得数相同．
【详解】解：第一次操作：
第二次操作：
第三次操作：
∴三次操作后是一个循环
∵，即2022被3整除
∴2022次操作后的数与第三次操作后的得数相同，为133
故选B．
【点睛】本题考查了规律探索下的实数计算，解题关键是读懂每次操作的具体做法，并准确计算出下一次操作的数，从而发现规律．
10．【浙江省温州市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图是一根起点为且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是，第二个数是，第三个数是，，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解即可．
【详解】解：第个数为，
第个数为：，
第个数为：，
第个数为：，
第个数为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
11．【安徽省六安市舒城县2022-2023学年七年级上学期数学期末试卷】观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（ ）
A．5152B．5051C．4951D．4852
【答案】D
【分析】利用差值分别求出数值，得出，再根据所有式子相加即可得出答案．
【详解】根据题意，得
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
……
（99）
（1）+（2）+…+（99）=
即
故选：D
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解题的关键．
12．【重庆市黔江区2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试题】下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的正方形的四个数，可以得到，左下角的数字等于左上角的数字加1，右上角的数字等于左上角的数字加上左下角的数字再加1，右下角的数字等于左下角的数字乘以右上角的数字再加上左上角的数字，利用这一规律，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查数字规律探究．解题的关键是抽象概括出正方形中四个数之间的规律．
13．【河南省商丘市永城市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】有一列数，按照一定规律排列成1，，9，，81，……．其中第6，第7，第8三个数的和是 ．
【答案】
【分析】观察题意得出这列数的规律为第（为非负整数）个数为，再分别求出第6，第7，第8个数，相加即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
……．
这列数的排列规律是：第（为非负整数）个数为，
第6个数为：，
第7个数为：，
第8个数为：，
第6，第7，第8三个数的和是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律是解题问题的关键．
14．【河南省安阳市滑县实验学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】观察下列等式找出规律：①；②；③；…；则的值是 ．
【答案】
【分析】根据所给算式找出规律求解即可．
【详解】解：∵：①；
②；
③；
…；
∴，
∴
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
15．【四川省成都市成华区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】观察按一定规律排列的一组数：，，，…，其中第个数记为，第个数记为，第个数记为，且满足，则 ， ．
【答案】
【分析】由题意推导可得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键．
16．【福建省莆田市涵江区第二片区2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试题】已知整数，，，，满足下列条件∶，，，，，(n为正整数)依此类推，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，计算出前几个数的结果，然后观察即可发现数字的变化特点，从而可以计算出的值．
【详解】，
，
，
，
，
，
，
由上可得，从第二个数开始，每两个为一组，依次出现，，，，，，，并且偶数个数的结果是这个数除以2的结果的相反数，奇数个数的结果与前面偶数个数的结果相同．
因为，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化类规律，解题的关键数明确题意，发现数字的变化特点．
17．【河北省张家口市宣化区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图所示，在计算机数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算输出的是，则第4次输出结果是 ，第2000次输出的结果是 ．
【答案】
【分析】把代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2000次输出的结果．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
把代入得：，
∴第4次输出结果是，
从第二次的结果开始，每6次运算结果循环1次，以此类推，
∵，
∴第2000次输出的结果是，
故答案为：，．
【点睛】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．
18．【河北省秦皇岛市昌黎县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】观察下列图形：
请用你发现的规律计算： ．
【答案】10
【分析】根据图形发现规律：中间的数字为左下与右上之积减去左上与右下之积即可解答．
【详解】根据图形发现规律：中间的数字为左下与右上之积减去左上与右下之积，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了找规律并运用规律解题，解题的关键是敏锐地发现题中的规律．
19．【福建省三明市宁化县2022-2023学年七年级上学期期末质量监测数学试题】将从1开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第101次拐弯处的那个数是 ．
【答案】2602
【分析】拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、，据此规律作答即可得．
【详解】解：拐弯处的数与其序数的关系如下表：
由此可知，拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、，
因为，
所以第101次拐弯处的那个数是，
故答案为：2602．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确找出数字之间的排列规律是解题关键．
20．【云南省昭通市永善县永善县教育局教研室2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】请先阅读材料，然后解答．
因为，，，…，
所以
请计算：．
【答案】
【分析】根据题意可得，据此对所求式子进行裂项求解即可．
【详解】解：∵，，，…，，
∴以此类推可得
∴
．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
21．【云南省楚雄彝族自治州2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长方形的面积占大正方形面积的，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大正方形面积的，以此类推…
(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______，的值为______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
①______．
②计算：．
【答案】(1)（或填）；（或填）
(2)①，②
【分析】（1）根据图形即可得出第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的比例；根据图形可得表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积；
（2）①根据题意可得，的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面积；② 将原式转化为，再进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的（或填）；
根据图形可得表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积，
故；
故答案为：①（或填）；（或填）；
（2）解：①根据题意可得，的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面积，
∴．
故答案为：；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减法的几何意义，解题的关键是仔细观察图形和算术，总结出算术和几何图形之间的关系．
图形类规律探索
22．【云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图，是用黑棋拼成的图形，其中第①个图形中有3颗黑棋，第②个图形中有5颗黑棋，第③个图形中有7颗黑棋，……，按此规律排列下去，则第⑨个图形需（ ）颗黑棋．
A．17B．19C．21D．23
【答案】B
【分析】根据题目中的图形，可以发现黑色棋子个数的变化规律，从而可以求得第⑦个图形中黑色棋子的个数．
【详解】解：由图可得，第①个图案中有个黑棋子，
第②个图案中有个黑棋子，
第③个图案中有个黑棋子，
……，
则第⑨个图形中有：个黑棋子，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中黑色棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．
23．【河南省鹤壁市淇县2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试题】如图，观察下列图形，第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形……第2023个图形中有（ ）个图形．
A．8089B．8090C．8091D．8092
【答案】A
【分析】根据题意可得第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有个三角形，第3个图形中有个三角形，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第1个图形中有1个三角形，
第2个图形中有个三角形，
第3个图形中有个三角形，
……，
由此发现，第n个图形中有个三角形，
∴第2023个图形中有个个三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
24．【河北省张家口市宣化区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ）
A．6074B．6072C．6070D．6068
【答案】C
【分析】根据题意可得第n个图案中的“”的个数为个，即可求解．
【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数（个），
第2个图案中的“”的个数（个），
第3个图案中的“”的个数（个），
…，
第2023个图案中的“”的个数（个），
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
25．【山西省太原市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图是某同学用黑白两种颜色的正方形纸片，按照一定规律拼成的一列图案，按照此规律，第200个图案中白色纸片的张数为（ ）
A．600张B．601张C．800张D．801张
【答案】B
【分析】分别求出图中白色纸片的个数，通过归纳与总结找出规律，求出第个图案中白色纸片的个数，令，求出白色纸片的个数．
【详解】解：由题目得，第1个图案中，白色纸片的个数为；
第2个图案中，白色纸片的个数为；
第3个图案中，白色纸片的个数为；
，
进一步发现规律：第个图案中，白色纸片的个数为，
当时，图案中有白色纸片为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查规律型：图形的变化类，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．
26．【江西省赣州市于都县第二中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边，（包括顶点）上有n（）个圆点时，图案的圆点数为．

按此规律推断 ．
【答案】
【分析】根据图形，写出前几个图形的关系式，找到规律即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
……
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列代数式表达图形的规律，准确找出图形规律是解题关键．
27．【河北省承德市承德县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图，每一幅图中有若干个三角形，第1幅图中有1个三角形，第2幅图中有3个三角形，第3幅图中有5个三角形，……．
通过以上图中呈现的排列规律，我们可以得出：
（1）第4幅图中有 个三角形；
（2）第幅图中有 个三角形．
【答案】7
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有个，第3幅图中有个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，进而可得出答案．
【详解】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有（个）．
第3幅图中有（个）．
第4幅图中有（个）．
故答案为：7；
（2）由（1）可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形中规律探究．从图形中抽象概括出相应的规律是解题的关键．
28．【陕西省渭南市临渭区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒，…，若按照这样的方法拼成的第100个图形需要 根小木棒．
【答案】798
【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论．
【详解】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要根小木棒，
第3个图形需要根小木棒，
按此规律，第个图形需要根小木棒，
当时，．
故答案为：798．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
29．【江西省萍乡市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图．探究其中的规律．
(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有_____个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有_____个；第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；
(2)第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．（用含n的式子表示）
【答案】(1)4，12，20，76；
(2)
【分析】（1）第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有(个)；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有(个)；第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有(个)；
（2）根据所给图形中只有2个面涂色的小立方体的块数得到第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数与4的倍数的关系即可；
【详解】（1）解：观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；
第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有(个)；
第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有(个)；
第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数共有(个)．
故答案为：4，12，20，76；
（2）解：观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个；
图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个；
图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个．
4，12，20都是4的倍数，可分别写成，，的形式，
因此，第n个图中两面涂色的小立方体的块数共有：4(2n﹣1)＝8n﹣4．
故答案为：．
【点睛】本题考查了认识立体图形，图形的变化规律．得到所求块数与4的倍数的关系是解决本题的关键．
30．【河南省驻马店市实验中学2022-2023学年上学期七年级期末数学试卷】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2021个灰色小正方形，则这个图案是（ ）
A．第504个B．第505个C．第506个D．第507个
【答案】B
【分析】根据图形的变化发现规律：第个图案中涂有阴影的小正方形个数为：，进而求得组成的图案中有2021个灰色小正方形时的图案个数．
【详解】解：观察图形的变化可知：
第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：；
第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：；
第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：；
，
发现规律：
第个图案中涂有阴影的小正方形个数为：；
若组成的图案中有2021个灰色小正方形，则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型—图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
31．【湖北省黄冈市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】将一些相同的图形“●”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“●”的个数，若第n个图形中有4013个“●”，则n的值为（ ）
A．1333B．1335C．1337D．1339
【答案】C
【分析】最上一层的规律是，，，，下面两层的规律是，，，按此规律计算即可求解．
【详解】解：最上一层的规律是，，，，
下面两层的规律是，，，
所以第图的个数是，
所以，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形规律问题，正确找出规律是解题的关键．
32．【山东省济南市市中区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】有依次排列的3个整式：x，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，，7，x，，，，，；
②整式串3的和为；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2022的所有整式的和为；
上述四个结论正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据整式的加减运算法则进行计算，从而得出规律进行求解．
【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，
第一次操作后的整式串的和为： ，
∴第二次操作后的整式串为，，，，，，，，，共个整式，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后所有整式的和为： 第三次操作后整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，
第三次操作后整式串的和为：
，故②的结论正确，符合题意；
故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：，即整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小，故结论正确，符合题意；
…
∴第次操作后所有整式的积为，
∴第次操作后，所有的整式的和为，故的说法不正确，不符合题意；
正确的说法有①②③，共个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，数字类的规律探索，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律．
33．【福建省福州延安中学2022-2023学年七年级上学期期末考数学试卷】观察下列等式：，，，…，按此规律，若（其中n为正整数），则m的值可能为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】D
【分析】根据规律得到：观察算式，左边是前n个奇数的和，右边是，所以，将m的值代入，得到n为整数，即可选出正确答案．
【详解】观察算式，左边是前n个奇数的和，右边是
∵第n个奇数是，
∴
∵，
∴
故选：D
【点睛】本题考查数字类规律的探索，解题的关键是能够表示出．
34．【山东省济南市天桥区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图，是由大小相同的圆点和线段按照一定的规律排列组成的简化汉字，依此规律则图⑧中共有圆点的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．63B．75C．88D．102
【答案】B
【分析】观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，找到规律可解决问题．
【详解】解：在图①中，圆点个数，
在图②中，圆点个数，
在图③中，圆点个数，
在图④中，圆点个数，
，，，，
图中共有圆点的个数是75．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化类规律，解决问题的关键是运用特殊到一般的数学思想，找到图形变化的规律．
35．【湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试卷】大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（ ）
A．31B．32C．33D．34
【答案】B
【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，求出到的所有奇数的个数的表达式，在求出1005是从3开始的第502个奇数，然后确定502所在范围即可得出结论．
【详解】∵底数是2的分裂成2个奇数，底数是3的分裂成3个奇数，底数是4的分裂成4个奇数，
∴分裂成个奇数，
∴到的奇数个数为：，
∵，
∴奇数1005是从3开始的第502个奇数，
∵，，
∴第1005个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律．解题的关键是观察出分裂的奇数的个数与底数的特点．
36．【甘肃省兰州市城关区兰州市第三十五中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．
【答案】820
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律计算即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，，
第3个图中有6个小球，，
第4个图中有10个小球，，
……
照此规律，第n个图形有个小球，
当时，
小球个数为
故答案为：820．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有个小球是解题的关键．
37．【山东省济南市历下区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．若按这个方式继续分割下去，可求得的值为 ．
C
【答案】
【分析】根据题意，阴影部分的面积刚好站正方形总面积的，可以看成是①②③④⑤部分的面积总和，总面积减去阴影部分面积，根据此规律可以得出答案；
【详解】解：根据题意可得，阴影部分面积占总的面积，
可以看成是①②③④⑤部分的面积总和，总面积减去阴影部分面积，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
38．【广东省佛山市禅城区2022﹣2023学年七年级数学上学期期末考试试卷】将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是 .
【答案】
【分析】通过观察可知第行有个偶数，根据每行第一个数字推导出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：根据观察可知：第行有个偶数
第1行的第1个数为：，
第2行的第1个数为：，
第3行的第1个数为：，
第4行的第1个数为：，

第行的第1个数为：，
第10行的第1个数为：，
第10行的第5个数为：100，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，通过观察推导出一般规律是解题关键．
39．【广东省深圳高级中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷】张老师从拉面的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段，对折后（点A与点B重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段上的，均变成；变成1；等等）．然后将拉伸所得的线段再次对折后又均匀地拉成1个单位长度的线段，…，重复上述的操作过程，那么在线段上（除点A、点B外）的点中，5次操作后，恰好被拉到与1重合的所有点所对应的数之和是 ．
【答案】8
【分析】根据题意，可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍．因为第一次操作后，原线段AB上的，均变成，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和，则它们的和可求．根据题意，将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据，找出规律，列出通式即可．
【详解】解：第一次操作后，原线段上的变为1，
第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数有个，分别是和，其和为1，
第三次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数有个，分别是、、和，其和为2，
…，
可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为、…，共有个点，
其和为：，
故在第5次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上的点变换之后所对应的数及其相关运算，数形结合并找到运算规律，是解题的关键．
40．【贵州省贵阳市某区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】如图，用火柴棒按下图中的方式搭几何图形．
(1)按照这种方式搭下去，第④个图形需要________根火柴棒；
(2)按照这种方式搭下去，第2022个图形需要多少根火柴棒？
【答案】(1)29
(2)按照这种方式搭下去，第2022个图形需要14155根火柴棒
【分析】（1）根据图形得出规律：第个图形需要火柴棒根火柴棒，即可得到第④个图形需要的火柴棒数量；
（2）根据（1）得出的规律，将代入计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：由图形可知，第1个图形需要根火柴棒，
第2个图形需要根火柴棒，
第3个图形需要根火柴棒，
……
观察得到规律：第个图形需要火柴棒根火柴棒，
第④个图形需要根火柴棒，
故答案为：29
（2）解：由（1）得出一般规律，第个图形需要火柴棒根火柴棒，
将代入上式得：根
答：按照这种方式搭下去，第2022个图形需要14155根火柴棒．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，根据已知图形正确得出规律是解题关键．
41．【安徽省芜湖市2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试题】如图所示，是由若干棱长相同的小正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个小正方体叠成，第2个几何体由4个小正方体叠成，第3个几何体由10个小正方体叠成，……
请你解决以下问题：
(1)按此规律，第4个几何体由________个正方体叠成；
(2)为了方便表述，我们记第个几何体由个小正方体叠成（其中），则________；________；________；
(3)求值：.
【答案】(1)20
(2)3，6，10；
(3)
【分析】（1）根据题意，观察图形即可得到答案；
（2）根据题意可知，，，，相减即可得到答案；
（3）通过观察发现规律，将其代入原式，再结合有理数的混合运算，即可计算求值．
【详解】（1）解：由题意可知，
第1个几何体由1个小正方体叠成；
第2个几何体由4个小正方体叠成，即；
第3个几何体由10个小正方体叠成，即；
按此规律，第4个几何体由个正方体叠成，
故答案为：20；
（2）解：由题意可知，，，，，
；；，
故答案为：3，6，10；
（3）解：通过观察发现，；；，
．
【点睛】本题考查了认识立体图形，数字类规律探索，有理数的混合计算，找到规律后准确进行机计算是解题关键．
42．【福建省龙岩市上杭县2022-2023学年七年级上学期期末学段水平测试数学试题】用火柴棒按如图的方式搭三角形组成的图形
(1)填写下表：
(2)当三角形的个数是n时，所用的火柴的根数是________（用含n的代数式表示）．
(3)是否存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)9，11
(2)
(3)不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成，理由见解析
【分析】（1）根据图形找出火柴棒与三角形个数之间的规律，再根据规律计算即可；
（2）根据（1）中的规律可直接得出搭个这样的三角形需要根火柴棒；
（3）根据（2）中的公式可得，求出的值即可进行解答．
【详解】（1）∵观察图形可知：第一个图形中，有个三角形、有根火柴棒；
第二个图形中，有个三角形、有根火柴棒；
第三个图形中，有个三角形、有根火柴棒；
第四个图形中，有个三角形、有根火柴棒；
∴第五个图形中，有个三角形、有根火柴棒；
填表如下：
（2）由（1）列出的三角形数对应的火柴棒根数可知，照这样的规律搭下去，搭个这样的三角形需要根火柴棒，
故答案为：；
（3）不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．理由如下：
由（2）得出的规律可得：，
解得，
∵火柴棒根数x为正整数，
∴不合题意，舍去，
∴不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．
【点睛】本题考查了图形类的变化规律，关键是通过观察图形，得出火柴棒数与三角形个数之间的规律．
43．【河北省保定市清苑区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形．
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．
（直接写出答案即可）
【答案】(1)21
(2)
(3)不能，理由见解析
(4)
【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第5次可得，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3）不能，理由：由，解得，n不是整数，
所以不能将正方形划分成2022个正方形的图形．
（4）由题意．
【点睛】本题考查图形规律题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，属于中考常考题型．
44．【广东省佛山市顺德区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】探索规律是深入认识事物的一种方法，通过观察、归纳、猜想、验证等思维方式，历经从具体到抽象的过程来揭示一般规律．
问题情景：如图1所示，把火柴棒搭成正方形．

(1)问题提出：①按图1的方式，搭4个正方形需要 根火柴棒；
②学生A是按照图2思考的，根据他思考的方法求出搭x个正方形所需火柴棒根数的代数式；
(2)问题解决：你还有其他的思考方法也能得到正方形的个数x与火柴棒的根数之间的关系吗？说明思考方法，画出对应图形，求出代数式；
(3)问题运用：改变火柴棒的摆放方法搭成别的图形，画出图形，求出图形个数x与火柴棒根数之间关系的代数式．
【答案】(1)①13；②根；
(2)画图见解析，根；
(3)画图见解析，根；
【分析】（1）①根据图形中火材棒的数量计数即可；②先探究搭1个正方形，2个正方形，3个正方形需要的火材棒数量，再总结规律即可；
（2）由每增加1个正方形，少1根火柴棒，可得搭x个正方形所需火柴棒根数；
（3）把搭正方形改为搭正五边形，再按照同样的方法进行探究即可．
【详解】（1）解：①按图1的方式，搭4个正方形需要（根），
②搭1个正方形需要（根），
搭2个正方形需要（根），
搭3个正方形需要（根），
搭4个正方形需要（根），
∴搭x个正方形所需火柴棒根数为根；
（2）如图，
第1个正方形，需要根，
第2个正方形，需要根，
第3个正方形，需要根，
∴搭x个正方形所需火柴棒根数为根；
（3）如图，按如下图方式搭正五边形，
，
同理可得：搭x个正五边形所需火柴棒根数为根．
【点睛】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法并总结规律是解本题的关键．
45．【福建省泉州惠安县2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】新年晚会，是我们最欢乐的时候．会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：
把上面图中每一个多面体具有的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）的结果记入下表中．
(1)观察分析表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系式是_____；
(2)伟大的数学家欧拉（Euler1707−1783）证明了这一令人惊叹的关系式，即欧拉公式．已知一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，请你求这个多面体的面数；
(3)某个玻璃饰品的外形是一个多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格即可得到多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系式；
（2）根据题意用顶点式表示出面数，根据欧拉公式代入求解即可得到答案；
（3）根据顶点数求出棱数，再代入欧拉公式即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
故顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系式为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，
，
由欧拉公式得，
，
解得：，
∴，
∴这个多面体的面数为；
（3）解：∵该多面体有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，
∴棱数为：，
由欧拉公式可得，
，
解得：，
∴；
【点睛】本题考查找规律及运用，解题的关键是根据表格得到规律，合理根据题意求出相应数量．
1
4
2
6
3
8
……
18
2
9
3
20
4
35
拐弯的序数
0
1
2
3
4
5
6
7
拐弯处的数
1
2
3
5
7
10
13
17
三角形个数
1
2
3
4
5
…
火柴棒根数
3
5
7


…
三角形个数
1
2
3
4
5
…
火柴棒根数
3
5
7
9
11
…
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
V+F−E
正四面体
4
4
6
正方体
8
6
正八面体
6
8
正十二面体
正二十面体
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
V+F−E
正四面体
4
4
6
2
正方体
8
6
2
正八面体
6
8
2
正十二面体
2
正二十面体
2