专题01 勾股定理及其逆定理（八种考法）-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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用勾股定理解三角形
1．【广东省清远市清新区山塘镇初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题】如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是（）
A．7B．4C．6D．5
2．【辽宁省抚顺市抚顺县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】在中，，，是的中点，则的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
3．【湖南省湘西州永顺县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】中，，，那么 ．
4．【山东省滨州市邹平市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则 ．
勾股数问题
5．【江苏省南通市启东市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ）
A．B．C．D．
6．【陕西省咸阳市礼泉县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】下列各组数，是勾股数的一组是（ ）
A．8，15，17B．13，14，15C．3，5，D．1，，
7．【贵州省铜仁市石阡县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，5C．，，D．5，7，12
8．【甘肃省陇南市康县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是 ．
勾股定理与网格问题
9．【河北省承德市平泉市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ）
A．B．C．D．
10．【北京市密云区2022一2023学年八年级下学期期末考试数学试题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为，点，，均为格点，以点为圆心，长为半径作弧交网格线于点，则的长为 ．
11．【陕西省西安市莲湖区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷】如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点（网格线的交点）上，求点到边上的距离．
12．【广东省清远市清新区山塘镇初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题】在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A、B、C的面积分别用、、表示，则图中， ， ， .请写出、、之间的关系式: ．
勾股定理与折叠问题
13．【山东省济宁市梁山县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
14．【四川省成都市青羊区树德实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ．
15．【云南省昆明市五华区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图所示，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为 ．
16．【山东省临沂市费县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕，则的长是 ．
勾股定理的证明方法
17．【河北省邢台市某地区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题】在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（ ）
A．甲对B．乙对C．两人都对D．两人都不对
18．【天津市东丽区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．
19．【福建省厦门市湖里区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图叫“赵爽弦图”，此图由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．
(1)请你写出“勾股定理”的内容；
(2)请你利用图形面积，结合图完成勾股定理的证明．
20．【山西省忻州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
任务：
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的是直角三角形．
(2)学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．
以弦图为背景的计算题
21．【北京市燕山地区2022--2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
22．【云南省红河州金平县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，由四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形与一个小正方形，这就是我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．设直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为，，则中间小正方形的面积为 ．
23．【广东省广州市番禺区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图是“赵爽弦图”， 其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么等于 ．
24．【江西省赣州市经开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为 ．
用勾股定理构造图形解决问题
25．【山西省晋中市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（ ）
A．米B．米C．米D．米
26．【山东省济宁市泗水县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，某超市在门口离地高米的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图，人只要移至距该门铃米及米以内时，门铃会自动发出语音“欢迎光临”．如图②，一个身高米的顾客走到处，门铃恰好自动响起，则的长为（ ）
A．6米B．5米C．4米D．3米
27．【四川省泸州市泸县泸县第一中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用，《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长，短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
28．【安徽省蚌埠市蚌山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为 ．
勾股定理与无理数
29．【河北省邢台市威县第三中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，矩形的边在数轴上，点A表示数0，点表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
30．【河南省郑州市巩义市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
31．【河南省南阳市社旗县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）
A．2B．C．D．
32．【四川省宜宾市江安县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，两个边长为1的正方形整齐地排在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线为半径作圆与数轴有两个交点，其中点Р表示的数是（ ）
A．B．C．2.2D．
33．【云南省红河哈尼族彝族自治州石屏县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（ ）
A．9B．12C．15D．20
34．【湖北省荆州市荆州区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在中，，将沿翻折，使点A与边上的点E重合，则的长是（ ）
A．5B．3C．D．
35．【湖南省益阳市沅江市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A、B的面积分别为9、25，则原直角三角形的面积为（ ）
A．4B．6C．12D．16
36．【安徽省合肥市新站区2022--2023学年八年级下学期期末数学试题】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（ ）
A．7B．24C．17D．25
37．【山西省临汾市尧都区2022—2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
38．【湖南省永州市零陵区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
39．【云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，已知四边形的对角线互相平分且互相垂直，，则四边形的面积为 ．
41．【四川省南充市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．
42．【河北省衡水市景县2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题】如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长 ；
（2）当时，该大正方形的面积是 ．
43．【河南省南阳市卧龙区南阳开元国际学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？
44．【山东省济宁市兖州区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图所示是一块三角形下脚料，谢师傅欲废物利用，从中截出一个形如的工件，其中分米，分米，分米，分米．求剩余部分的面积．
45．【青海省果洛州久治县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路、和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路、的长度；
(2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用．
46．【辽宁省大连市西岗区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”
问题：小明根据题意画出矩形，连接，请你结合小明所画的图求门高，门宽各是多少尺？
47．【河南省周口市郸城县第二实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．
(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
(2)当，时，求图2中空白部分的面积．
48．【河南省驻马店市上蔡县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
(1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”．
以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数，则，和是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和，则，，是勾股数．