专题08 三元一次方程组、二元一次方程与一次函数的关系（五种考法）-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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两直线的交点与二元一次方程组的解
1．【湖南省湘西州永顺县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】若直线和直线交于点A，则点A的坐标 ．
【答案】
【分析】联立解析式得二元一次方程组求解得直线交点坐标；
【详解】解：联立解析式，，
解得.
∴点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数与方程组的联系；理解二元一次方程组的解即是交点的坐标是解题的关键．
2．【河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】已知方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【详解】解：方程组的解为，
函数与函数的图象交点坐标相当于函数与函数的图象交点向下平移2个单位长度，
函数与函数的图象交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
3．【山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】关于x、y的方程组的解即为直线与的交点的坐标．
【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为，
即线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点为，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
4．【吉林省长春市第一〇八学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，已知直线和直线交于点．若关于的二元一次方程组的解为，则 ．
【答案】3
【分析】利用点的坐标为方程组的解得到的值，从而得到的值．
【详解】解：直线和直线交于点，
关于的二元一次方程组的解为，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程的解．
求直线围成的图形面积
5．【湖北省黄石市黄石港区2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题】已知一次函数，则它的图象与坐标轴围成的三角形面积是 ．
【答案】4
【分析】分别求出当时y的值和当时x的值，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：当时，，
当时，，解得，
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴围成的三角形面积，解此题的关键在于准确得到一次函数与坐标轴的交点坐标．
6．【河北省保定市曲阳县2022-2023学年八年级下学期7月期末数学试题】如图，求两条直线：与直线：的交点的坐标是 ，与轴围成的三角形的面积是 ．
【答案】 12
【分析】联立两直线解析式解方程组即可得到交点坐标；求出两直线与轴交点间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：联立得，
解得．
所以，交点坐标为，
令，则，解得，
，解得，
所以，两直线与轴交点之间的距离为，
所以，两条直线和轴所围成的三角形的面积．
故答案为：，12．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，第二问先求出两直线与轴的交点间的距离是解题的关键．
7．【云南省保山市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，已知直线与直线．
(1)求两直线与轴的交点的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）把分别代入直线与直线，即可求解；
（2）联立，求出点C的坐标，再根据，求出的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）当时，，，
∴；
（2）联立，解得，
即，
∵，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了一次函数图象与y轴的交点问题，直线的交点问题，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键．
8．【辽宁省抚顺市抚顺县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线与直线交于点E，与x轴交于点C，点E坐标为．
(1)求E的坐标和m的值；
(2)点P在直线上，若的面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)点E坐标为，；
(2)或．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求得点C坐标为，点A坐标为，设点，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标，
【详解】（1）解：当时，，即点E坐标为，
将点E的坐标代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，直线：，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴点C坐标为，点A坐标为，
设点，
由题意得，
∴，
即或，
解得或，
∴或．
【点睛】本题考查的是一次函数应用，涉及到一次函数的性质，面积的计算等，求得点的坐标是解题的关键．
用二元一次方程组确定一次函数解析式
9．【四川省达州市渠县渠县中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题】若点在函数的图象上，则下列各点在函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查一次函数的解析式，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点代入函数，求出k，再依次判断各点是否在直线上．
【详解】解：把点代入函数，
得，解得，
∴，
当时，，则在函数的图象上，故选项A符合题意；
当时，，则不在函数的图象上，故选项B不符合题意；
当时，，则不在函数的图象上，故选项C不符合题意；
当时，，则不在函数的图象上，故选项D不符合题意；
故选：A．
10．【河北省保定市安新县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，直线经过两点，则直线关于轴对称的直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据直线与直线关于轴对称由的坐标得到对称点的坐标，代入的解析式为即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：设点关于轴的对称点为，
∵，，
∴，，
设的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴，
故选：．
11．【吉林省白城市大安市三校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，一次函数的图象经过、两点，与x轴交于点C．
(1)求k、b的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)的面积为．
【分析】（1）将、代入一次函数解析式，求解即可；
（2）由图形可得的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：将两点坐标代入一次函数解析式，得：
，
解得；
（2）解：由（1）得一次函数解析式为，
将代入得，，
解得，即，
∴，
由图形可得的面积为，
即的面积为．
【点睛】此题考查了一次函数与几何的应用，涉及了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质，正确求得一次函数解析式．
12．【四川省成都市双流区成都棠湖外国语学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间的函数关系图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为万元；请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：[销售利润（售价成本价）销售量]
(1)求当销售量为多少时，销售利润为4万元；
(2)分别求出线段与所对应的函数关系式．
【答案】(1)销售量为4万升时销售利润为4万元
(2)线段所对应的函数关系式为；线段所对应的函数关系式为
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，结合题意弄清函数图象中A、B、C三点所表示的意义，并求出它们的坐标是解答本题的关键．
（1）由题意可知，13日调价前，每升销售利润为1元，而在13日调价前销售利润刚好为4万元，由此可得销售利润为4万元时，销售量为（万升）；
（2）由（1）可得点A的坐标为，根据题意结合图形中的信息求出点B和点C的坐标，再用待定系数法即可求得线段与所对应的函数关系式．
【详解】（1）解：根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）．
答：销售量为4万升时销售利润为4万元．
（2）解：由（1）可知点A的坐标为，
∵从13日到15日利润为（万元），
∴13日到15日的销售量为（万升），
∴点的坐标为，
设线段所对应的函数关系式为，则，
解得，
∴ 线段所对应的函数关系式为，
∵从15日到31日销售5万升，利润为：（万元），
∴本月销售该油品的利润为：（万元），
∴点的坐标为，
设线段所对应的函数关系式为，则，
解得：，
∴线段所对应的函数关系式为．
解三元一次方程组
13．【河南省平顶山市汝州市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】关于的二元一次方程组，若，则 ．
【答案】1
【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值．
【详解】解：解方程组
①-②得，
∵，
∴
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组，运用三元二次方程组的知识，解出m的值是解题的关键．
14．【山东省枣庄市薛城区第五中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】若，那么代数式 ．
【答案】
【分析】根据方程组的特点由，得，进而即可求解．
【详解】根据题意，得
由，得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
三元一次方程组的应用
15．【重庆市涪陵区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】磁器口古镇是国家4A级旅游景区，古镇上的“陈麻花”是品牌小吃．元旦期间，商家推出了将黑芝麻味、椒盐味、蜂蜜味三种口味的麻花混合组成A，B，C三种礼盒（每种礼盒中均有三种口味的麻花，每种口味的麻花每克装成一袋）．已知A，B，C三种礼盒中，每盒中椒盐味麻花的袋数均是本盒中黑芝麻味麻花和蜂蜜味麻花的袋数之和．已知一盒A礼盒中有7袋黑芝麻味，8袋椒盐味；一盒B礼盒中有3袋蜂蜜味，黑芝麻味的袋数是一盒B礼盒中蜂蜜味袋数的2倍；一盒C礼盒中有3袋黑芝麻味、4袋蜂蜜味，经核算，一盒A礼盒的成本为元，一盒B礼盒的成本为元（每种礼盒的成本为该礼盒中黑芝麻味、椒盐味、蜂蜜味的成本之和），则一盒C礼盒的成本为 元．
【答案】
【分析】设每个黑芝麻味成本x元，每个椒盐味y元，每个蜂蜜味z元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设每个黑芝麻味成本x元，每个椒盐味成本y元，每个蜂蜜味成本z元，
根据题意，得，
得，
得，则，即
将代入①中，得，
∴，
∴
，
∴一盒C礼盒的成本为元，
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程，利用代入消元法求解是解答的关键．
16．【重庆市九龙坡区育才中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】近日，九龙坡区为积极应对复杂严峻的发展环境和疫情考验，在全区范围内开展“接二（2022）连三（2023）·向新而行”九龙坡区迎新消费促进季活动，某糖果销售商在该活动期间，向市场推出甲、乙、丙三种糖果进行销售，其中每包甲糖果的成本是每包丙糖果的2倍，每包乙糖果与每包丙糖果的成本之比为1：3，每包甲、乙、丙糖果的售价分别比成本高20%，20%，30%．该销售商12月份销售甲糖果与丙糖果的数量之比为1：4，为使三种糖果的总利润是总成本的25%，则该销售商12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为 ．
【答案】3：2
【分析】设乙、丙两种糖果的成本分别为x，，表示出三种糖果的售价，设12月份销售甲糖果与丙糖果的数量分别为和，乙糖果的数量为z，根据三种糖果的总利润是总成本的25%，列出方程，化简得到，从而求出即可．
【详解】解：设乙、丙两种糖果的成本分别为x，，则甲糖果的成本为：，
则甲、乙、丙糖果的售价分别，，，
设12月份销售甲糖果与丙糖果的数量分别为和，乙糖果的数量为z，
∴，
化简得：，即，
∴12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为，
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
17．【河北省沧州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】下列有关一次函数的说法错误的是（ ）
A．该函数的图象经过第一、二、四象限
B．若点，均在该函数图象上，则
C．当时，
D．该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是8
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】A、∵，图象经过第一、二、四象限，正确，不合题意；
B、∵，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，
∵，∴正确，不合题意；
C、当时，即得，正确，不合题意；
D、∵函数图象与y轴的交点坐标为，与x轴交于，
∴该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是，错误，合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
18．【安徽省淮南市凤台县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】只需要联立解析式求出方程组的解，即可要求两直线的交点坐标，再进行判断即可．
【详解】解：联立，
解得：，
∴直线与直线的交点坐标为，
∴直线与直线的交点位于第三象限，
故选：C
【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型．
19．【福建省厦门市海沧中学2022-2023学年八年级下学期数学试题】在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线：与轴交于点，与交于点．过点作轴的垂线，垂足为点．若，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，画出图形，分别求得的坐标，然后根据已知条件，求得点的坐标，将点的坐标代入的解析式即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直线与轴交于点，
当时，解得：，则，
联立，
解得：，
∴，则，
∴，
∵，轴，
∴，
∵则，
将点代入，
即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了两直线围成的三角形面积，根据题意画出图形，数形结合是解题的关键．
20．【福建省龙岩市武平县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】在同一平面直角坐标系中，若直线与相交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，将代入直线与，即可得到关于，的方程组，求解即可．
【详解】解：将代入直线与，得：
，解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，利用两直线的交点坐标是解题的关键．
21．【湖北省武汉市武昌区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】若直线和直线（为正整数）与轴围成的三角形面积记为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出直线和直线（为正整数）与轴的交点坐标和两直线交点的坐标，表示出两直线与轴围成的三角形面积，再进行分析判断即可得到结论．
【详解】解：当时，，解得，即直线与x轴交于点，
当时，，解得，即直线与x轴交于点，
联立与得到
，
解得，
即与的交点为，
∴，
∴
∵为正整数，
∴随着n的增大，越来越接近于，
∴中，的最小值为．
故选：B
【点睛】此题考查了一次函数综合题，解题的关键是求出一次函数图象与x轴的交点坐标和两直线交点的坐标．
22．【河南省新乡市长垣市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（ ）
A．甲种消费卡为元/次
B．
C．点的坐标为
D．洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择甲种消费卡划算
【答案】D
【分析】由图象，利用待定系数法分别求甲和乙的解析式为，、，进而可判断A、B的正误，根据，解得，则点的坐标为，进而可判断C的正误，将分别代入，甲和乙的解析式，求出各自的，然后比较大小，进而可判断D的正误．
【详解】解：设甲对应的函数解析式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
∴甲对应的函数解析式为；
∴甲种消费卡为元次，故选项A不符合题意；
设乙对应的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
∴乙对应的函数解析式为，故选项B不符合题意；
令，
解得，
即点的坐标为，故选项C不符合题意；
当时，甲可消费：次，乙可消费的次数为：次，
∵，
∴洋洋爸爸准备元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择乙种消费卡划算，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23．【山东省聊城市高唐县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】已知直线：与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，有以下说法：
①方程组的解为；
②直线：的；
③；
④当的值最小时，点P的坐标为．
其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②利用待定系数法求得k的值；③求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；④根据轴对称的性质以及两点之间线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：①∵直线与直线都经过，
∴方程组的解为，故①正确，符合题意；
②把，代入直线，可得，解得，
∴故②正确，符合题意；
③把代入直线，可得，
中，令，则，
∴，
∴，
在直线中，令，则，
∴，
∴，
∴，故③错误，不符合题意；
④点A关于y轴对称的点为，连接，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
由对称知，,,
当点共线，即点P位于点D处时，,最小，
∴当的值最小时，点P的坐标为，故④正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，运用轴对称知识作线段的等量转换是解题的关键．
24．【河南省驻马店市确山县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
A．2B．5C．8D．12
【答案】D
【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求．
【详解】解：将，代入，得，
解得，于是，
将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键．
25．【湖北省十堰市丹江口市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得直线一定过，进而得，由垂线段最短得垂直于直线，进而利用待定系数法求得直线：，从而根据两直线垂直时，一次项系数的关系即可得解．
【详解】解：如图，

∵对于，当时，，
∴直线一定过，
∵，
∴，
∵点到直线的距离是，
∴由垂线段最短可得垂直于直线，
设直线：，
∵过点，，
∴，
解得，
∴直线：，
∵两条直线与垂直，则，
∴直线为：，
解得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，待定系数法求解一次函数，求函数值，熟练掌握待定系数法求解一次函数是解题的关键．
26．【河南省商丘市柘城县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到、两点坐标，再由的面积被中线平分得到中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点且将的面积平分的直线的解析式．
【详解】解：直线与坐标轴分别交于、两点，
当时，，即；当时，，解得，即；
由三角形中线平分三角形面积可知，过原点且将的面积平分的直线过中点，
中点为，即，
设直线的解析式为，将代入得到，则，
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．
27．【四川省成都市双流区成都棠湖外国语学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】已知直线与两坐标轴分别交于点A、B，若点P是直线上的一个动点，则点P到原点O的最短距离是 ．
【答案】
【分析】作于点C，求出，，得出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积计算出，根据垂线段最短，得出当点P移动到点C时，最小，且最小值为．
【详解】解：作于点C，如图所示：

∴把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点P移动到点C时，最小，且最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
28．【山东省济宁市泗水县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】已知直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，设直线与直线的交点为P，若，则m的值为 ．
【答案】2或6
【分析】先根据直线平移的规律得到直线的解析式为，由此求出点P的坐标为，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴或6，
故答案为：2或6．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移，两直线的交点坐标，两点之间的距离公式等，用含m的代数式表示出点P的坐标是解题的关键．
29．【安徽省淮北市濉溪县孙疃中心学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是
【答案】
【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断．
【详解】解：把代入，
得，解得，
所以点坐标为，
所以关于的二元一次方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．
30．【广西南宁市宾阳县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在x轴上，已知，，那么点的坐标为 .
【答案】
【分析】首先求得直线的解析式，根据点，，…的坐标，可以得到规律得到点的坐标，再根据点与点的坐标之间关系得到点的坐标，从而解决问题．
【详解】将，代入得，
解得
∴直线函数解析是为．
由此可知的纵坐标总比横坐标多1．
∵四边形，，，…都是正方形，由图易知图中所有的三角形都是等腰直角三角形，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
……
∴点的横坐标为，纵坐标为，
观察图可知的横坐标为的横坐标，纵坐标为的纵坐标．
∵点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
31．【吉林省长春市长春南湖实验中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，点，点．直线与交于点，当点在内部（不包括边界）时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】联立，解得：，求出点P的坐标为，得出点P在直线上，求出直线的解析式为，联立，求出，即可得出答案．
【详解】解：联立，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴直线与直线的交点为，
∴当点在内部（不包括边界）时，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是求出点P的坐标为，说明点P在直线上．
32．【河北省邢台市威县第三中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为．
（1）直线的函数解析式为 ；
（2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点在轴上，点在轴上．
①当的面积为6时，直线就会发蓝光，则此时输入的的值为 ；
②当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①根据题意分别求出的长，表示出的面积即可求解；
②求出当直线过点A时和直线过点B时b的值，即可求解．
【详解】解：（1）设直线的函数解析式为，
把代入得，解得：，
∴直线的函数解析式为；
故答案为：；
（2）解：①，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②当直线过点A时，
把代入得：，
当直线过点B时，
把代入得：，
∴的取值范围是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
33．【吉林省长春市农安县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，直线的函数表达式为，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的1.5倍？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点或
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式；
（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出点D的坐标，联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在点P，使得面积是面积的1.5倍，根据两三角形面积间的关系得到，再利用待定系数法求出点P的坐标．
【详解】（1）设直线的函数解析式为，
将、代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式为．
（2）联立
解得
∴点C的坐标为．
当时，，
∴点D的坐标为．
∴．
（3）假设存在点P，使得面积是面积的1.5倍．
∵面积是面积的1.5倍，
∴，
∴或3，
当时，，
此时点P的坐标为；
当时，
综上可知，在直线上存在点或，使得面积是面积的1.5倍．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
34．【西藏那曲市双湖县等四县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，已知直线的图象经过点，且与轴交于点C．
(1)求，的值；
(2)若点，判断点D是否在的图象上；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)不在
(3)2
【分析】（1）把代入，得到和值，即可得到结论；
（2）把的坐标代入一次函数的解析式判断即可;
（3）令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得：，；
（2）把代入得，，
点不在该一次函数图象上．
（3）该一次函数为，
令，则，解得，
该一次函数图象与轴的交点坐标为，；
∴
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法．
35．【辽宁省大连市金州区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图1，直线 与x轴、y轴交于点A、B，与直线交于点C，点D坐标为，过点D且垂直于x轴的直线与直线分别交于点E、F，设．
(1)求点C的坐标；
(2)求t关于m的函数解析式；
(3)如图2，连接，当时，求t的值以及的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）联立直线和直线的解析式即可求出交点的坐标；
（2）根据点坐标，分别写出点，点坐标，表示出即可；
（3）作 ，垂足为 G ，作 ，垂足为 H ，作 ，垂足为 N ,求出，表示出面积即可．
【详解】（1）点是直线和直线的交点，
，
解得，
，；
（2）轴，点D坐标为，
，，
当时，点在的上方，
，
当时，点在的上方，
综上：
（3）如图，作 ，垂足为 G ，作 ，垂足为 H ，作 ，垂足为 N .
由题意得：直线 与 x 轴、 y 轴交于点 ,

∵点 D 坐标为，点 E 坐标为，
∴， ,
，
，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的性质和等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
36．【辽宁省大连市沙河口区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数交于点C，与x轴交于点D．
①当点C是线段的中点时，求b的值；
②当时，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或．
【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，求出方程组的解，即可得到点A的坐标；
（2）首先求出点B、C、D的坐标．①根据线段中点坐标公式列方程求出b的值；②利用两点间距离公式求出和，根据得出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：联立，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知，
当时，
解得：，
∴；
联立，
解得：，
∴；
当时，
解得：，
∴；
①当点C是线段的中点时，可得，
解得：；
②∵，，且，
∴，
∴
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数图象的交点问题，线段中点坐标公式，两点间距离公式，熟练掌握两条直线交点坐标的求法是解题的关键．
37．【云南省红河哈尼族彝族自治州泸西县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】某水果销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
下图中的射线分别表示该水果销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月水果销售量（单位：千克）的函数关系．
(1)分别求与的函数解析式（解析式也称表达式）．
(2)请根据函数图象帮助该公司销售人员小张选择哪个方案每月能得到更高的工资？
【答案】(1)，
(2)具体见解析
【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；
（2）利用函数图像求解即可．
【详解】（1）解：（1）设直线的解析式为．
把点代入中，得，解得，
．
设直线的解析式为，
把点和分别代中，得，解得，
．
（2）根据函数图象可得：①当时，选择方案二能得到更高的工资；
②当时，选择方案一或方案二工资相同，没有区别；
③当时，选择方案一能得到更高的工资．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．
38．【山东省日照市岚山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】【问题探究】
某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集：
首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究．
列表：
描点与连线：
（1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）若为该函数图象上不同的两点，则__________________；
（3）观察图象，当时，自变量的取值范围是__________________；
【拓展运用】
函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积．
【答案】【问题探究】（1）见解析；见解析；见解析；（2）；（3）或；【拓展运用】图象见解析；12
【问题探究】（1）把对应的x的取值代入解析式，即可完成表格，然后描点，画出函数图象，即可；
（2）把，可求出b的值，即可求解；
（3）观察图象，当或时，，即可求解．
【拓展运用】先画出函数的图象，再求出两图象的交点坐标，然后根据所求图形面积等于，即可求解．
【详解】解：【问题探究】（1）填表如下：
描出各点，画出函数图象如下：

（2）当时，，
当时，，
解得：或5，
∴；
故答案为：
（3）观察图象，当或时，，
即当时，自变量的取值范围是或；
故答案为：或
解：【拓展运用】设两图象交于点A，B，直线交x轴于点C，
对于，
当时，，解得：，
∴点，即，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，
画出函数的图象草图如下：

对于，
当时，，解得：，
∴点，即，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴它与函数的图象所围成的图形面积等于
．
【点睛】本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键．0
1
2
3
2
5
8
12
14
…
0
1
2
3
4
…
…
…
…
0
1
2
3
4
…
…
0
1
2
3
2
1
0
…