专题02 一元二次方程及其解法（九种考法）-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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一元二次方程的定义
1．【河南省许昌市禹州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．2B．C．2或D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义及常数项为0得出，进行计算即可得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为0，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，经过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟练掌握此定义是解题的关键．
2．【辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是二元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
3．【湖南省常德市汉寿县2022-2023学年九年级上学期期末考试（第二次联考）数学试题】一元二次方程的二次项系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中a是二次项系数进行解答．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中a是二次项系数，叫做方程的一次项，其中b是一次项系数，c叫做方程的常数项是解题关键．
4．【河南省南阳市宛城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】根据如表中代数式的取值情况，可知方程的根是（ ）
A．B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】将变形得，再在表格中找出相应的的值即可得到方程的解．
【详解】解：由得，
从表格看，当或时，，即，
故方程的根为或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根及代数式的值，解题的关键是将变形成．
直接开平方法解一元二次方程
5．【天津市津南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】一元二次方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握平方根的定义和用直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤．
6．【河南省信阳市潢川县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用直接开平方法即可求解．
【详解】∵
∴
解得：
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程．
7．【广东省河源市连平县贵东中学2022-2023学年九年级数学上学期期末测试卷】若是关于的方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】先将代入列出关于m的方程，再用直接开平方法求解即可．
【详解】将代入得
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．【山东省菏泽市牡丹区长城学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】．
【答案】
【分析】先将方程化为，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
原方程化为：，
∴
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
配方法解一元二次方程
9．【河北省唐山市路南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】将一元二次方程化成的形式，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】对一元二次方程进行配方，然后作答即可．
【详解】解：，
，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
10．【河北省保定市阜平县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】将方程化成的形式，则b的值为（ ）
A．0B．1C．2D．-2
【答案】C
【分析】利用配方法，进行转化即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
∴；
故选C．
【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
11．【广东省东莞市石龙二中等五校联考2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷题】解方程：．
【答案】，
【分析】根据配方法先配成：，然后解一元二次方程即可方法不唯一．
【详解】解：，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．【浙江省台州市椒江区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）原方程变形，直接开平方即可得到答案；
（2）移项，配方，直接开平方即可得到答案.
【详解】（1）解：原方程变形可得，
，
两边开平方可得，
，；
（2）解：移项可得，
，
配方得，
，
即，
直接开平方可得，
，
∴，
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的解法．
根据判别式判断一元二次方程根的情况
13．【河南省周口市项城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
【答案】C
【分析】计算出判别式的值，然后直接判断根的情况．
【详解】，
，
，
，
故有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
14．【辽宁省锦州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．有两个相等的实数根
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一般式为：，
∴，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．【辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】对于实数a，b定义运算“*”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【分析】根据定义的运算可得关于x的一元二次方程，再用判别式法进行判别即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∵
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算，一元二次方程根的判别式，理解新定义是关键．
16．【广东省潮州市金山中学2022-2023学年九年级下学期期末教学质量检测数学试题】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a满足条件是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据一元二次方程根的情况求参数
17．【云南省红河哈尼族彝族自治州石屏县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（ ）
A．或1B．1C．D．4或1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴且，
解得：，，
故选：A；
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
18．【浙江省宁波市余姚市实验学校2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】已知关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．且B．且
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解．
【详解】解：当时，原方程为，
解得：，满足题意；
当时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得：．
故选C．
【点睛】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
19．【广东省云浮市罗定第一中学2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
20．【江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，计算出根的判别式大于0，即可求得k值．
【详解】解：方程，
这里，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
公式法解一元二次方程
21．【山东省德州市德城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】用公式法解方程，其中 ．
【答案】8
【分析】根据方程得出a，b，c的值，即可求出．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程得出二次项系数，一次项系数和常数项．
22．【江西省南昌市南昌市二十八中教育集团青云学校等3校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）采用直接开平方法即可求解；
（2）采用公式法即可求解．
【详解】（1），
或，
解得：，；
（2），，，
，
，
则，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，包括公式法、直接开平方法等．
23．【天津市北辰区2022-2023学年九年级上学期数学期末检测试卷】解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）采用配方法即可求解；
（2）采用公式即可求解．
【详解】（1）移项，得，
配方，得，
，
由此可得，
，．
（2）解：．
，，
．
，
，．
【点睛】本题主要考查了采用配方法和公式求解一元二次方程的解的知识，掌握配方法和公式法是解答本题的关键．
24．【河北省秦皇岛市昌黎县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知关于x的一元二次方程：．
(1)当时，解方程；
(2)若的一个解是，求k．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）将代入即可求出k的值．
【详解】（1）解：将代入得：，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，；
（2）将代入得：，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．
因式分解法解一元二次方程
25．【湖南省永州市新田县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长＝ ．
【答案】11
【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：，
或，
当时，
，
能组成三角形，
三角形的周长为，
当时，
，
不能组成三角形，
故答案为：11．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
26．【广东省云浮市罗定第一中学2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】解方程：．
【答案】．
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：，
移项得，
∴，
∴或，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．
27．【河北省唐山市路北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】解方程：．
【答案】，
【分析】用因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式法得，化为或，解一元一次方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，关键是根据方程的特点灵活运用解一元二次方程的解法．
28．【河北省邢台市任泽区邢台市任泽区第五中学等2校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】解方程：．
【答案】，
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：因式分解，得，
得，，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
换元法解一元二次方程
29．【广西壮族自治区河池市凤山县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或3
【答案】C
【分析】利用换元法求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴或，
解得或，
∴或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．
30．【湖南省常德市汉寿县2022-2023学年九年级上学期期末考试（第二次联考）数学试题】若，则 ．
【答案】
【分析】设，则，根据换元法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设，则，
∴原方程可以化为，
解得：或（舍去）
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．
31．【湖南省邵阳市新邵县2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题】请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
【答案】6
【分析】设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
32．【河北省邢台市信都区第十二中学2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题】阅读材料，解答问题：
为解方程，我们将视为一个整体，
解：设，则，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为或．
(1)上面的解题方法，利用（ ）法达到了降幂的目的．
(2)依据此方法解方程：．
【答案】(1)换元
(2)或
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：
设，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为或．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．
一元二次方程根与系数的关系
33．【江苏省常州市溧阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．0D．2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得：，
∴方程的另一个根是0，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．
34．【山东省枣庄市薛城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若是方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A．-1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，依题意，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
35．【四川省泸州市古蔺县实验学校2023-2024学年九年级上学期第一学期教学质量监测数学试题】若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系、一元二次方程解的概念，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
36．【河南省许昌市禹州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
即，
解得．
（2）解：由题可知，，，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
37．【辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可．
【详解】因为关于的一元二次方程的一个根为，
所以将代入方程可得，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解：解决本题的关键是要将方程的已知解代入方程进行求解．
38．【山东省菏泽市曹县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可解答．
【详解】解：原方程得：
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程---配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．熟练掌握配方法的步骤是解此题的关键．
39．【河北省秦皇岛市海港区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】把一元二次方程化成的形式时，的值为（ ）
A．8B．C．D．2
【答案】A
【分析】由，可得，从而可得，从而可得的值．
【详解】解：，
，
，
，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是配方法解一元二次方程以及代数式求值，掌握配方法是解题的关键．
40．【辽宁省盘锦市大洼区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】根据、进行求解判断即可；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴且．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键．
41．【山西省晋城市爱物学校2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题】关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
42．【河北省保定市竞秀区2022一2023学年九年级上学期期末学业质量监测数学试题】若关于m的方程的解为，则关于x的方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】C
【分析】对比两个方程可知，结合即可求出的解．
【详解】解：将方程看着关于的一元一次方程，
而关于m的方程的解为，
∵，
∴，
解得：，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，解题的关键是用好整体的思想方法．
43．【浙江省台州市仙居县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（ ）．
A．，B．，C．，D． ，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程 的另一个根，设，根据方程 的根代入求值即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为m，设方程另一根为n，
∴，
解得：，
设，方程变形为，
由一元二次方程 的根可得，
，，
∴，，
∴，，
故答案为：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．
44．【河北省唐山市丰润区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于 ．
【答案】2019
【分析】将代入方程得出，再整体代入计算可得．
【详解】解：将代入方程，得：，
则，
所以,
=
=
=
=2019
故答案为：2019．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
45．【黑龙江省哈尔滨市巴彦县第一中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】在等腰三角形中，，且这个等腰三角形的面积是30，则底边的长为 ．
【答案】或
【分析】设底边的长为，底边上的高为y，则有，解之即可求解．
【详解】解：设底边的长为，底边上的高为y，则
，解得：，，（负值不符合题意，已舍去）
∴底边BC的长或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
46．【河北省唐山市丰南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷】已知，则的值为 ．
【答案】１
【分析】设 ，原方程转化为关于t的方程，通过解该方程求得t即的值
【详解】解：设 ，
由原方程得，
解得，或（舍去）
所以，
故答案为：1
【点睛】本题考查了换元法解方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理
47．【浙江省宁波市余姚市实验学校2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】已知p、q为一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】80
【分析】根据p与q为方程的两根，并利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵p、q为一元二次方程的两根，
∴， ，即 ，
∴ ．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
48．【河南省郑州市巩义市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】用适当的方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可；
（2）先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；
【详解】（1）解：原方程可化为：
∴，，
∴
方程有两个不相等的实数根
∴，
（2）解：原方程移项，得
因式分解，得
于是得或
∴，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
49．【云南省红河哈尼族彝族自治州石屏县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用求根公式直接求解即可得到答案；
（2）利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴，
∴，；
（2）解：原方程变形得，
，
因式分解得，
，
∴，；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法求解．
50．【山东省济宁市梁山县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知m是方程的解，求式子的值．
【答案】
【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程的解，
∴，即：，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．
51．【贵州省遵义市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】先化简，再求值．，其中为一元二次方程的根
【答案】，6．
【分析】先根据分式运算法则进行化简，再根据根与方程的关系得到关于m的等式，然后代入化简结果即可得解．
【详解】解：
，
∵为一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值及一元二次方程的根，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
52．【山东省枣庄市薛城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．
（2）根据完全平方公式变形，即可求解．
【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
53．【辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知关于的一元二次方程的一个实数根．
(1)求这个一元二次方程的根；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用一元二次方程解的定义得到，则，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：
原方程可化为，
∴或，
解得：，；
（2）∵关于的一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程解的定义等知识，熟练掌握一元二次方程的解法和整体代入是解题的关键．
54．【四川省自贡市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知关于x的方程．
(1)求证：当时，方程总有两个不相等实数根；
(2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【答案】(1)见解析
(2)，，(答案不唯一)
【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
方程总有两个实数根；
（2）解：由题意可知，，
即：．
以下答案不唯一，如：
当，时，方程为．
解得．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，本题属于基础题型．
55．【广西壮族自治区防城港市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题
解：∵
∵，∴，
∴的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比：的最小值为_______．
(2)探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)2
(2)大，1
(3)当米时，花圃面积有最大值50米2
【分析】（1）将原式配方即可；
（2）将原式配方即可判断；
（3）依题意设，，，根据矩形的面积公式列出关系式，再配方，即可求最大面积．
【详解】（1），
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值为1，
故答案为：大，1；
（3）依题意设，，，
∴长方形花圃的面积为，
，
∴当米时，面积有最大值50米2．
答：当米时，花圃面积有最大值50米2
【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
56．【河北省承德市平泉市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】解决问题
嘉琪同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，她是这样做的：
若时：
；
若时此方程无实数根．
(1)嘉琪同学步骤中括号填：________．
(2)根据嘉琪同学步骤回答：
①一元二次方程有实根的条件是：________．
②________，________．
(3)一元二次方程，有两个不相等实数根和；用配方法解方程验证：；．
【答案】(1)
(2)①,②；
(3)见解析
【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；
（2）根据二次根式有意义条件求解即可；
（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可与计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：①一元二次方程有实根的条件是：；
②
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
∴，
．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键．
57．【青海省西宁市2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】阅读下列材料：
用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1；同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1．
(1)[材料理解]当________时，代数式有最________（填写“大或小”）值为________；
(2)[类比应用]求证：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)3，大，4；
(2)见解析．
【分析】（1）根据非负数得性质得所以当时，式子有最大值4；
（2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论．
【详解】（1）解：代数式，
∵，
∴当时，式子有最大值4，
故答案为：3，大，4；
（2）证明：由题意可知，
，
∵，
∴，
∴关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】考查了配方法的应用，用配方法解一元二次方程，利用配方法将二次三项式配方
即可求出最值．
58．【辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】阅读材料，若关于的一元二次方程的两根为，，则根据求根公式可知，，．
由此可得，，
．
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则________，________；
(2)一元二次方程的两根为，，则________；
(3)若，满足，，且．求的值．
【答案】(1)2，
(2)2
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，由此即可得；
（3）先得出是一元二次方程的两个不相等的根，再根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，然后利用完全平方公式求解即可得．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
故答案为：2，．
（2）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
，
故答案为：2．
（3）解：满足，，且，
是一元二次方程的两个不相等的根，
，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
59．【重庆市北碚区兼善中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”．
(1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；
(2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．
【答案】(1)不是“快乐数”；最大的“快乐数”为
(2)
【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；
（2）根据“快乐数”可得出，根据一元二次方程根的情况可得，再结合及、、，、、为自然数可得出、、的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴不是“快乐数”，
∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为，
又∵，
∴最大的“快乐数”为．
（2）∵为“快乐数”，
∴，
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
解得：，，，
∴，
综上所述，满足条件的所有的值为．
∴满足条件的所有的值为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，不等式组应用．解题的关键是理解“快乐数”的定义．
60．【湖北省黄石市初中教研协作体2022--2023学年九年级上学期期末考试数学试卷】（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即．
【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∴，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
∴此时原方程没有实数根，
∴不符合题意；
当时，，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴符合题意，
∴的值为1；
（2）①∵，
∴．
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，；
②猜想：．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
由①+②，得：，
∵，，，
∴，即．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
x
……
0
1
2
3
……
……
12
6
2
0
0
2
6
……