专题05 比例线段与平行线分线段成比例（五种考法）-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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比例的性质
1．【江西省萍乡市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知，则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例性质求解即可．
【详解】解：A、由得，故此选项不符合题意；
B、由得，故此选项不符合题意；
C、由得 ，故此选项符合题意；
D、由得，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查比例性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解答的关键．
2．【辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知，则 ．
【答案】
【分析】根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：设，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．【河南省漯河市郾城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若，则 ．
【答案】2
【分析】根据比例的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．【广东省深圳市南山区深圳南实集团麒麟中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知、、满足，、、都不为0，则 ．
【答案】
【分析】设，则，，，代入求解即可．
【详解】解：设，则，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．
成比例线段
5．【陕西省汉中市城固县2022~2023年学年九年级上学期期末教学质量检测联考卷数学试卷】在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（ ）
A．3858千米B．3218千米C．2314千米D．1543千米
【答案】A
【分析】根据地图上的距离比等于实际距离比，列式计算即可．
【详解】解：设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为（千米），
则：，
解得；
∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为千米；
故选：A．
【点睛】本题考查比例尺．熟练掌握地图上的距离比等于实际距离比，是解题的关键．
6．【陕西省咸阳市礼泉县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【详解】、，此选项不符合题意，排除；
、，此选项不符合题意，排除；
、，此选项符合题意；
、，此选项不符合题意，排除；
故选：．
【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是如何判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
7．【陕西省渭南市蒲城县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【详解】解∶因为a，b，c，d是成比例线段，可得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
8．【四川省乐山市市中区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】地图上两地间的图上距离为厘米，比例尺是，那么这两地间的实际距离是（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】B
【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
实际距离为：（厘米），
∴（厘米）（千米），
故选B．
【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简．
黄金分割
9．【浙江省杭州市上城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴，，
∴A、B、D说法正确，不符合题意，C说法错误，符合题意.
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割、比例性质，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
10．【上海市杨浦区2023-2024学年九年级上学期期末模拟数学试题】已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点的应用，“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是” ，理解黄金分割点的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义列可得答案．
【详解】点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故答案为：．
11．【广西壮族自治区梧州市苍梧县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】线段长为，点为线段的黄金分割点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义知是较长线段，则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念,掌握黄金分割比为是解题的关键．
12．【山西省忻州市代县第三中学2022-2023学年九年级上学期数学期末综合评估】鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
由平行判断成比例的线段
13．【河北省唐山市路南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，某位同学用直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数（ ）
A．1B．C．3D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：如图，，

∴点P表示的数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
14．【黑龙江省哈尔滨市道外区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，，，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故选项B正确，符合题意；
∵，
∴，
故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
15．【江苏省南京市联合体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，，则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．
16．【河南省周口市项城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，，则的长为 ．
【答案】4.5
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】
即
解得
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
由平行截线求相关线段的长或比值
17．【广东省广州市黄埔区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷】如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）．
A．B．C．50D．30
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
【详解】解：，
，
即，
，
的长是．
故选：D．
18．【山西省长治市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，D，B，E，C，F．已知直线，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握：两条直线被第一组平行线所截的线段成比例．
19．【黑龙江省大庆市靓湖学校2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】如图，直线．分别交直线m、n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵直线，
∴根据平行线分线段成比例定理得：
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键．
20．【2022-2023学年山西省太原市九年级上学期期末考试数学试题】如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，则等于 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
21．【内蒙古自治区包头市东河区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若，则的值为（ ）
A．B．1C．1.5D．3
【答案】A
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
22．【江苏省淮安市淮阴区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】下列比例式中，不能由比例式得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例的基本性质，等比性质，合比性质依次判断即可．
【详解】A． ∵
∴
故A选项正确，不符合题意；
B．∵
根据合比性质得
故B选项正确，不符合题意；
C．
根据等比性质得
故C选项正确，不符合题意；
D．由不能得到，
故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，等比性质，合比性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
23．【重庆市九龙坡区育才中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，b为关于a的方程的一个解，则；
④若，则；其中正确的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①，设，代入A、B、C，进行计算即可判断；
②根据得，分和两种情况求解即可；
③当时，代入A、B、C，可得，根据b是方程④的一个实根得，进行即可判断；
④根据a，b，c为正整数，且得，即可判断；
【详解】解：①，设，
∴，
即，
故①正确；
②∵，
∴，
若，即，
则，
若，
则，
即A的值为或，
故②不正确；
③当时，，，，
∴，
∵b是方程的一个实根，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
④∵a，b，c为正整数，且，
∴，
∴，
故④正确；
综上，①④正确，正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算．
24．【河南省许昌市禹州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知，，，则（ ）
A．12B．18C．24D．26
【答案】C
【分析】由可得，从而得到，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，熟练掌握此定理是解题的关键．
25．【安徽省安庆潜山市2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（ ）
A．1.8B．2C．2.4D．2.5
【答案】B
【分析】根据正方形的性质可得，进而可得．在和中，设正方形的边长为x，根据平行线分线段成比例定理的推论分别列出方程，即可求解．
【详解】解：正方形顶点E、F在边上，点M在边上，
，
又，
．
设正方形的边长为x，
在中，，
，即，
解得，
，
在中，，
，即，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
26．【四川省雅安市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，中，是两条中线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得为的中位线，利用中位线定理得到，可得出，进而利用等底等高求出面积比即可．
【详解】∵在中，两条中线相交于点F，
∴为的中位线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的中位线，平行线分线段成比例以及三角形中点与面积关系，熟练利用等底等高把面积比转换成线段比是解本题的关键．
27．【安徽省合肥市五十中学西校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若，则 .
【答案】3
【分析】根据比例设，则，然后代入比例式进行计算即可．
【详解】解：，
设，则，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比的基本性质是解题的关键．
28．【山东省青岛市市南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】先求出，再根据比例的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
29．【江苏省盐城市建湖县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知点P是线段的黄金分割点，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段=，代入计算即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念．识记黄金分割的公式是解题的关键．
30．【河南省周口市项城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，点D、E在的边上，且，过点A作，分别交的平分线于点F、G．若平分线段，则 ．
【答案】
【分析】设交于点H，结合BD=2AD可得BH=DH=AD；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知AF=23BC，可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设交于点H，
∵平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．
31．【浙江省台州市椒江区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】作业本中有一道题：“如图，在中，点为的中点，点在上，且，，交于点，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点作，交于点．最后小明求解正确，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据可得，结合，可得，根据点为的中点即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据比例性质得到线段比例．
32．【江苏省扬州市邗江区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知：，且，求、、的值．
【答案】，，
【分析】由，可设，，，代入求得k的值，即可得到、、的值．
【详解】解：由，可设，，，
，
，
，
，，
，，．
【点睛】此题考查了比例，根据题意设，，是解题的关键．
33．【广东省佛山市顺德区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，且，连接，点F、G分别在、上．
(1)给定三个关系：①是的角平分线，②，③，从中选择两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，求线段的长度．
【答案】(1)①②为条件，③为结论，证明见解析
(2)．
【分析】（1）①②为条件，③为结论，利用角平分线的定义、平行线的性质证明，再利用等边对等角即可得出结论；
（2）利用勾股定理求得，作于点H，利用角平分线的性质得到，证明和，推出，再根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】（1）解：①是的角平分线，②为条件，③为结论，
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，且，∴，，
∴，
作于点H，连接，
∵是的角平分线，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
34．【吉林省长春市长春经济技术开发区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图为的正方形网格，的顶点都在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图①中的线段上确定一点D，使．
(2)在图②中的线段上确定一点E，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解答即可．
（2）先构造平行四边形，得到平行线，再利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】（1）如图，∵，
∴过点F作，交于点D，
故，
∴，
∴，

故点D即为所求．
（2）如图，连接，设与的交点为E，小正方形的边长为1，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，

故点E即为所求．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，三角形面积的特点，熟练掌握平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
35．【福建省漳州市2022-2023学年九年级上学期教学质量检测（北师大版）数学试卷】如图，在中，.
(1)求作菱形，使得D，E，F分别在边AB，BC，AC上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求CE的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角可作的平分线交于点E，再由菱形的对角线互相垂直平分可作的垂直平分线交于点D，交于点F，则以A、D、E、F四点为顶点的四边形就是所求的菱形；
（2）设，则，再根据菱形的性质可得；再根据比例的性质和平行线分线段定理可得、；然后再说明，最后运用勾股定理即可解答.
【详解】（1）解：如图：四边形即为所求菱形．
（2）解：设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，即：，解得：
∴．
【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
36．【湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷】已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且.，，
(1)求证：；
(2)若与相交于点G，若，，，求的值
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由得到，根据即可证明，即可得到结论；
（2）由平行线分线段成比例定理得到的长度，得到的长度，由全等三角形对应边相等得到的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中.，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴，
即，
∴
∴，
又，
∴.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
37．【江苏省南通市海门区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，矩形中，，点在边上，在同侧以为边作正方形，直线交直线于点．
(1)如图①，若点是的中点，求的值；
(2)如图②，若点在矩形内，且，求的长；
(3)连接，若，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可；
（2）过G作于K，过F作于M，交于N，由一线三垂直模型可得，可得，，再由可得，解方程即可；
（3）利用（2）中的辅助线，再根据F在矩形内部和外部分两种情况讨论即可．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∵矩形
∴，
∴
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴
（2）过G作于K，过F作于M，交于N，则四边形是矩形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
同理∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得
（3）过G作于K，过F作于M，交于N，则四边形是矩形，
由（2）得，可得，
设
当F在矩形内部时，
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
同理，当F在矩形外部时，
，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
综上所述，若，的值为．
【点睛】本题考查正方形与全等，平行线分线段成比例．解题的关键是根据正方形构造一线三垂直模型证明全等．