专题07 相似三角形的常考模型及压轴题-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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1．【河北省沧州市献县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，点，分别在的边，上，且，，，，求证：．
2．【吉林省松原市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，求的长．

3．【江苏省淮安市涟水县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使．
(1)说明．
(2)，，求线段AC的长．
8字型
4．【四川省成都市邛崃市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度．
5．【河南省南阳市新野县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知：如图，在中，，点D、E是边上的两个点，且，过点C作交延长线于点F，连接并延长与交于点G．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求证：．
7．【江苏省南京市栖霞区南京外国语学校仙林分校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，点、分别在、上，且．
(1)求证：；
(2)连接、，求证：．
一线三等角模型
8．【安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等2校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，，，E，D分别是，上的点．，若，．求的长．
9．【四川省达州市渠县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．
(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段长度．
10．【江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，，，M为上一点，，D为边上一点（不与A，B重合），作，使交的边于点N．
(1)如图1，点N在上时，
①求证：；
②若，求的长；
(2)若，请直接写出的长．
11．【湖南省株洲市醴陵市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点（不与B、C点重合），．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当是等腰三角形时，求的长．
折叠问题
12．【辽宁省锦州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知四边形．
(1)问题探究：如图1，当四边形是正方形时，点E，Q分别在边，上，于点M，点F，G分别在边，上，．
①判断与的数量关系：___________；
②推断：的值为___________．
(2)变式应用：如图2，当四边形是矩形，．点F，G分别在边，上，将四边形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，连接交于点O．试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3，在四边形中，，若点E，Q分别在边BC，上，，请直接写出的值．
13．【河南省郑州市金水区第七十五中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 ；
(2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ；
[类比探究]
(3)如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．
①求的值．
②连接，若，直接写出的长度．
14．【浙江省杭州市拱墅区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，是矩形的对角线，，点，分别在边，上，把和分别沿直线，折叠，使点，分别落在对角线上的点，处，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长；
(3)若，求的值．
15．（1）【河南省开封市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】【初步探究】把矩形纸片如图①折叠，，当点的对应点在的中点时，填空：（或”）．
（2）【类比探究】如图②，当点的对应点为上的任意一点时，请判断（）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
（3）【问题解决】在矩形中，，，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，的长为______．
旋转问题
16．【河南省安阳市殷都区等4地滑县实验学校等2校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．
如图1，已知在中，，，．请解答下面的问题：
(1)基础巩固
如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是__________；
(2)拓展探究
如图2，点，分别是，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到．
①求证：；
②用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决
点，分别是，的中点，连接，将绕点旋转得到，请直接写出点，，在同一直线上时的长．
17．【辽宁省阜新市细河区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，正方形中，对角线，相交于点，，过点作，连接交边于点，以为边向上作正方形，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求正方形的边长；
(3)将正方形绕点逆时针旋转，旋转后的正方形记为（点，，的对应点分别记为点，，，设边与边的交点为点，连接，当，且时，直接写出的长．
18．【山西省大同市2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题】综合与实践
数学活动：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：已知四边形与四边形都为正方形，为的中点，连接，，如图1，当点在上时，求证：．
独立思考
(1)请你证明老师提出的问题；
合作交流
(2)解决完上述问题后，“翱翔”小组的同学受此启发，把正方形绕点顺时针旋转，当点落在对角线上时（如图2），他们认为老师提出的结论仍然成立．请你予以证明；
问题解决
(3)解决完上述问题后，“善思”小组提出如下问题，把正方形绕点顺时针旋转（如图3），当点在同一条直线上时，与交于点．若，请直接写出的值．
19．【江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】在中，，在中，，请探索解答下列问题．
(1)如图1，若，点D，E分别在上，则与的数量关系是______，直线与的夹角为______；
(2)如图2，若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与之间的数量关系及这两条直线的夹角是否满足（1）中的结论？说明理由．
(3)在（1）的条件下，若，将绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线，请直接写出的长．
相似三角形的综合压轴
20．【2022-2023学年山西省太原市九年级上学期期末考试数学试题】（1）在中，，在的外部作正方形，正方形和正方形的延长线交于点M，的延长线分别交于点K，交于点Q．
①如图1，求；
②如图2，连接分别交于点P，交于点N，求．
（2）如图3，在中，，在的外部作，已知，求周长之比；
（3）如图4，在五边形中，．M是上一点，，连接；三等分，求与周长之比．
21．【辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】在中，，点在射线上，点在射线上（不与点B重合），连接、．
(1)如图①，当点D在线段的延长线上，且时，过点D作交的延长线于点G，若，．求的面积．
(2)如图②，当点D在线段上，点E在线段上时，若，，，直接写出线段的长．
(3)若，作射线，交直线于点F，直接写出的值．
22．【辽宁省沈阳市铁西区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】（1）如图1，中，点D在边上，且与点B，C不重合，点G是线段上一点，不与点A，D重合，过点G作，分别交于点E，F．
①求证：；
②连接，当四边形是平行四边形时，___________；
（2）如图2，在中，是中线，点E在线段上，交于点F，，且点G与点E在边两侧，连接，，，，，请直接写出的长．
23．【福建省泉州市石狮市石光中学2022-2023学年九年级上学期数学期末试题】
问题背景：（1）如图①，已知，求证：；
尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．
24．【海南省儋州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若点P在边上运动且，求的值．
(3)当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
25．【安徽省合肥市五十中学西校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】（1）如图①，在等边三角形中，点，分别在，上，与交于点，且，连接．求证：；
（2）在（1）的条件下，若，求证：；
（3）如图②，点是等边三角形外一点，连接、，交于点，，，，求的长．
26．【福建省莆田市荔城区2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题】如图1，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交AC的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)如图2，延长与相交于点M，若，求的值．