专题10 反比例函数的应用（六种考法）-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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求反比例函数解析式
1．【2022-2023学年山西省太原市九年级上学期期末考试数学试题】已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
A、，故此点不在此函数图象上；
B、，故此点在此函数图象上；
C、，故此点不在此函数图象上；
D、，故此点不在此函数图象上．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
2．【江西省萍乡市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】若点在反比例的图象上，则代数式的值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论．
【详解】解：∵点在反比例的图象上，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．
3．【吉林省白山市靖宇县榆树川学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知关于x的反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入反比例函数中，求出m的值，即可得出这个函数的解析式；
（2）分别求出当时，当时y的值，从而得出y的取值范围．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得
，
解得：，
∴；
（2）解：当时，，
当时，，
∵
∴反比例函数，在每一个象限内，y随x增大而增大，
∴当时， y的取值范围为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，必能满足解析式．
4．【山东省德州市德城区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为 ）
(1)求点A的坐标及双曲线的函数关系式；
(2)求点 C的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出，则点C的横坐标为4，据此求出点C的坐标即可．
【详解】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和，
∴，
∵轴，
∴，
把代入得，，解得，
∴反比例函数解析式为
（2）解：∵直尺的宽度为，，
∴，
∴点C的横坐标为4，
当时， ，
∴点C的坐标为．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
实际问题与反比例函数
5．【陕西省榆林市绥德县绥德中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷】某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)当时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于万件，并且持续天数不少于天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
【答案】(1)
(2)设计师可以拿到特殊贡献奖，理由见解析
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于万件的天数，相加后大于等于天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【详解】（1）解：当时，设，把代入得，
∴
（2）当时，由得，，
即，有天；
当时，由，解得：，
即，有天，
共有天，
因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．
6．【陕西省榆林市绥德县绥德中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷】已知，的长和边上的高分别是和，它的面积是．
(1)求出与之间的函数关系式；
(2)若自变量的取值范围是，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)没有最大值，最小值是
【分析】（1）利用三角形的面积公式即可解决问题；
（2）先列表，然后描点，连线即可画出函数图象，观察图象即可解决问题；
【详解】（1）解：由题意：
∴．
（2）列表：
描点、连线如图所示：

自变量的取值范围是，则没有最大值，当时，的最小值是．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
7．【陕西省渭南市蒲城县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用个最大电阻为的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示．
(1)求电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式；
(2)当电阻在之间时，电流的取值范围是多少？请说明理由．
【答案】(1)
(2)至．理由见解析
【分析】（1）设出函数解析式为 , 将点 代入求得 值, 则函数解析式即可求出；
（2）令 求得 的取值范围即可, 电流随电阻的增减性可由反比例函数的性质求得.
【详解】（1）设函数解析式为，
将点代入，得，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）0.72A至72A．
令，则，
令，则，
由函数图象可知，电流的取值范围是0.72A至72A．
【点睛】此题考查了反比例函数在物理问题中的运用，体现了各学科之间的紧密联系，比较简单．
8．【河南省许昌市禹州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
【答案】(1)；
(2)；
(3)第15天
【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
∵在线段上，
∴将A，B两点坐标代入函数表达式，
得，解得，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，与成反比例，
设函数的表达式为：，
将点B代入得：，
解得：，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（3）解：令．
解得．
∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
反比例函数与几何综合
9．【河南省许昌市魏都区第一中学等3校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，，顶点A、C在反比例函数的图象上．且，，边在直线上，则k的值为 ．
【答案】6
【分析】设，则，，将两点的坐标代入中，即可解得的值．
【详解】解：根据题意，设，
，，
，，
在函数的图象上，
，
解得．
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，设出函数图象外的坐标，从而表示出函数图象上的点的坐标，再将其代入函数表达式进行求解，这是一种很常见的方法．
10．【山东省淄博市桓台县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形为正方形．则点A的坐标是 ．
【答案】
【分析】设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形为正方形得，解得，得点A的纵坐标为5，将代入，进行计算即可得．
【详解】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，
∵点A，B分别在函数，的图象上，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
，
，（舍），
∴点A的纵坐标为5，
将代入得，，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
11．【河北省唐山市路南区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，点的坐标是，过点作轴的平行线交轴于点A，交双曲线（）于点，作交双曲线（）于点，连接．已知．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)14
(2)4
【分析】（1）使用待定系数法，代入函数图象上某点坐标，求出k的值．
（2）求出k后，得到反比例函数的解析式并求出点M的坐标，根据三角形面积的求法，可知，代入与的值后，求得的面积．
【详解】（1）∵点的坐标为，
∴，．
∵，
∴，
∴点的坐标为．
把代入中，得．
（2）∵，
∴．
当时，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的基本概念和反比例函数的图象与性质．关键是求出反比例函数的解析式．
12．【陕西省榆林市绥德县绥德中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷】如图，四边形AOBC是正方形，点D是边BC的中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，4），过点D的反比例函数的图象与边AC交于E点，F是线段OB上一动点．
(1)求k的值及E点的坐标；
(2)若的面积为，的面积为，若，判断四边形AEFO的形状，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）求出点坐标，进而可得的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点求出点的坐标；
（2）延长交轴于点，证明 ，求出，设的面积的为，可得，进而可得，则，求出，根据矩形的判定定理可得结论．
【详解】（1）解：点坐标，
点坐标，
为中点，
点坐标，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
；
（2）解：延长交轴于点，如图，
，
，
又，，
，
，
＋，
平分，
，
，
，
设的面积的为，
，
，
，
：，
：：，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定以及矩形的判定等知识，通过作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
一次函数与反比例函数图象综合判断
13．【黑龙江省大庆市靓湖学校2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】在同一平面直角坐标系中，函数，的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据a、b与0的大小关系对图象即可作出判断．
【详解】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，
反比例函数经过二、四象限，则，正确，符合题意；
B、一次函数的图象经过二、三、四象限，则，，
反比例函数经过二、四象限，则，矛盾，不符合题意；
C、一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，
反比例函数经过一、三象限，则，矛盾，不符合题意；，；
D、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，
反比例函数经过一、三象限，则，矛盾，不符合题意；，；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的判断，解题的关键是根据a、b与0的大小关系进行分类讨论．
14．【江苏省无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移1个单位长度后，与y轴交于C，与双曲线交于B，若，则k的值为（ ）
A．B．－7C．D．
【答案】C
【分析】设点，点M是y轴正半轴上的一点，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作于点F，证明，确定的长，判定四边形是矩形，继而得到，根据反比例函数的性质列出等式计算即可．
【详解】设点，点M是y轴正半轴上的一点，
如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，过点C作于点F，
根据平移的性质，得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，直线与y轴交于点C，
∴，
∴，
∵
∴，
∵A、B都是双曲线上的点，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，直线的平移，熟练掌握反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
15．【河南省郑州市巩义市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
(1)求函数的表达式；
(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)或者
(3)
【分析】（1）先把代入得到，据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出k即可；
（2）根据（1）中求得出B点坐标，结合以及函数图像进而求得结论；
（3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将分割为，求出即可．
【详解】（1）解：A、B点是一次函数与反比例函数的交点，
∴A，B点在一次函数上，
∴当时，；当时，
∴，，
将A点坐标代入反比例函数，∴，即，
即反比例函数的解析式为：．
（2）解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∵、，
∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：或者．
（3）解：设一次函数与x轴的交点为，
．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出是解题关键．
一次函数与反比例函数图象的交点问题
16．【河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等5校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，函数与的图象交于点两点，则不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
17．【陕西省西安市蓝田县2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是轴上一点，且，求点坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据求得，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴将代入，得，
∴.
将，代入，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）由可知，
∵，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
18．【河南省信阳市潢川县第二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，已知，是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）设反比例函数解析式为：，把代入反比例函数，得出的值，再把代入求出n，设一次函数的解析式，运用待定系数法即可求解；
（2）设直线与轴交于点，把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算．
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为．
在上，
，即，
．
设一次函数的解析式，
经过，，
．
解之得．
一次函数的解析式为．
（2）解：设是直线与轴的交点，
当时，，
解得，
点．
．
∵，
．
（3）解：由图象可知当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．
19．【广西壮族自治区柳州市鱼峰区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使成立的的取值范围；
(3)求得面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据反比例函数的图象过，，可求得点，的坐标，将点，的坐标代入，即可求得答案．
（2）表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，据此即可求得答案．
（3）设直线与轴，轴分别交于点，点，根据，即可求得答案．
【详解】（1）因为反比例函数的图像过点，得
．
解得：
．
所以，点的坐标为．
同理可得，点的坐标为．
因为一次函数的图象过点，，得：
．
解得：
．
所以，一次函数解析式为．
（2）根据题意可知，表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，此时或．
（3）如图所示，设直线与轴，轴分别交于点，点，可求得点的坐标为，点的坐标为．

．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
一次函数与反比例函数的综合
20．【河南省许昌市禹州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求b与m的值；
(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．
【答案】(1)的值为2，的值为6
(2)=2或
【分析】（1）把代入可得的值，进而可求出一次函数解析式，得到点A 的坐标，再将点A的坐标代入反比例解析式即可求得的值；
（2）确定与点的坐标之间的等量关系即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
解得，
∴．
把A代入得：
解得，
∴．
把代入得=6．
故的值为2，的值为6．
（2）解：由（1）可知，．
∵为轴上一动点，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题．掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面积是解题关键．
21．【辽宁省盘锦市大洼区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求k，b的值；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接OA，OB，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）将代入得，将代入即可求解；
（2）根据图象中一次函数与反比例函数的交点即可求解；
（3）由即可求解；
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴．
（2）将，分别代入得，
∴，
∴，
由图象可知当时，x的取值范围为或，
（3）令，则，解得：；
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确求出表达式是解题的关键．
22．【湖北省黄冈市红安县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点作轴，垂足为，求的面积．
(3)根据所给条件，请直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)5；
(3)或．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，确定参数，将点B坐标代入反比例函数解析式，得参数，将两点坐标代入一次函数解析式，得方程组求解确定一次解析式；
（2）由图，以为底求面积，的面积；
（3）图象法求解，观察函数图象，在第一、三象限内，直线位于双曲线上方（含交点）时自变量取值范围为解集．
【详解】（1）解：由题意知，，得，
∴
∴
∴
点在上，则
，解得
∴．
（2）解：如图，的面积．
（3）解：由知，
解集为或．
【点睛】本题考查函数解析式与点坐标，待定系数法确定函数解析式，图象法解一元一次不等式，掌握数形结合思想，理解图象与方程、不等式的联系是解题的关键．
23．【辽宁省沈阳市苏家屯区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点．
(1)求反比例函数的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在的直线上是否存在一点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点B的坐标
(2)图见解析，或
(3)存在，
【详解】（1）解：∵把点代入，
∴，解得：，
∴点，
∵把点代入，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点对称，且两图象的一个交点．
∴这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
（2）解：画图如下：
观察图象得：当或时，反比例函数的图象位于正比例函数的下方，
∴使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围为或；
（3）解：存在
作点A关于直线的对称点，连接，并延长，交直线于点P，连接，在直线上任取一点D，连接，则，
∵，
∵，
∴，
当B、C、P共线时，的值最大，
设直线的解析式为，
把和分别代入中得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
24．【安徽省合肥市五十中学西校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】已知，反比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值，此题得解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次方程是解题的关键．
25．【辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，正比例函数（为常数，且）和反比例函数（为常数，且）的图像相交于和两点，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得，然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：正比例函数（为常数，且）和反比例函数（为常数，且）的图像相交于和两点，
，
的解集为或，
故选：．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
26．【黑龙江省大庆市靓湖学校2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】如图，A、B是函数上两点，P为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是（ ）
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出，进而得出，最后用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点P是动点，
∴与不一定相等，
∴与不一定全等，故①不正确；
设，
∵轴，
∴，
∴
∴
同理：
∴；故②正确；
如图，过点P作于F，于E，

∴
∵，
∴
∵，
∴，
∵
∴是的平分线，故③正确；
如图，延长交x轴于N，延长交y轴于M，

∴轴，轴，
∴四边形是矩形，
∵点A，B在双曲线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴故④错误；
故选：B．
【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．
27．【黑龙江省大庆市景园中学2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】如图，点P在函数（，，k为常数）的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在（，，k为常数）的图象上运动时，下列结论不正确的是（ ）
A．与的面积相等B．四边形的面积不会发生变化
C．与始终相等D．
【答案】C
【分析】由反比例函数k的几何意义可判断出各个结论的正误．
【详解】解：A．∵点A，B在函数的图象上，
∴，故选项A正确，不符合题意；
B．∵矩形、、的面积为定值，则四边形的面积不会发生变化，故此选项正确，不符合题意．
C．设点，则，，
∴，，
∴要使，则，
即，
∴，
当时，四边形是正方形，
∵四边形为矩形，不一定是正方形，
∴与不一定相等，只有当四边形是正方形时，满足，故此选项不正确，符合题意；
D．∵A、B在上，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴作垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
28．【河南省郑州市巩义市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．函数解析式为B．物体承受的压力是
C．当时，D．当时，
【答案】C
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当时，写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
【详解】解：设，
∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴，
∴p与S的函数关系式为，
故选项A，B不符合题意；
当时，，
∴当时，，
故选项C符合题意；
当时，，
当时，，
∴当受力面积时，压强，
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键．
29．【山东省淄博市淄川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，矩形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图像恰好经过顶点B，的延长线交y于点E，已知的面积为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，通过证明，可得，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵点B在反比例函数图像上，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∵，
∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比函数的图像和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
30．【安徽省合肥市五十中学西校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，平行四边形的面积为4，点A、B分别在双曲线和上，则k的值为 .
【答案】5
【分析】设点的坐标为，再用表示点的坐标，根据平行四边形的面积为4，列方程即可求出值．
【详解】解：设点的坐标为，
平行四边形中，，
点的纵坐标相同，即，
把代入得，，
，
点的坐标为，
，
平行四边形的面积为4，
，
．
故答案为：5
【点睛】本题考查了反比例函数，两点间的距离及平行四边形的性质，关键是能根据题意列方程．
31．【山西省大同市2022-2023学年九年级上学期2月期末数学试题】“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，科学证实：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例函数关系．若500度近视眼镜片的焦距为，则200度近视眼镜片的焦距为 m．
【答案】0.5
【分析】根据题意，可以求得近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式，然后将代入，求出相应的x的值即可．
【详解】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为，
∵500度近视眼镜片的焦距为，
∴，
解得，
∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为，
当时，，
解得，
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
32．【山东省济宁市太白湖新区2022-2023学年九年级下学期期末数学试题】如图，点A在双曲线上，点C在x轴正半轴上，过点A、C分别作x轴、y轴的平行线，交点为B，D为的中点，连接，．若，，，则k的值为 ．
【答案】1
【分析】设B点坐标为，A点坐标为，则C点坐标为，D点坐标为，作，作，根据平行线性质得，而，则，得到，根据平行线分线段成比例可得E点为的中点，得，，在中利用勾股定理得到，可解得，（舍去），然后利用建立关于的方程，解方程得到满足条件的的值，确定A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式可求出k的值．
【详解】解：∵点A在双曲线上，点C在x轴正半轴上，交点为B，，
则设B点坐标为，A点坐标为，则C点坐标为，D点坐标为，
作，如图，则，

∵，
∴，
∴，
∵D点为的中点，则
由平行线分线段成比例可知：，即：E点为的中点，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
整理得，解得，（舍去），
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴A点坐标为，
把代入中得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上的点满足其解析式；当，反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小；利用平行线分线段成比例可得到线段之间的相等关系，运用勾股定理可进行几何计算是解决问题的关键．
33．【河北省保定市雄县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】如图，已知直线与，轴分别交于A，两点，并与反比例函数的图象分别交于点，．
（1）的值为 ；的值为 ；
（2）将直线沿轴向上平移，若平移后点，的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】4 1 36
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中求得的值；由已求得的的值，得到反比例函数的解析式，把D的坐标代入反比例函数式中可求得a的值；
（2）用待定系数法可求得直线的解析式，则可求得点A的坐标；设直线向上平移的距离为n，则可得平移后点A、D的坐标，代入中，即可求得m的值．
【详解】（1）解：由题意知，点C的坐标代入反比例函数解析式中得：，
即反比例函数的解析式为；
由于点D在的图象上，故有，解得；
故答案为：4，1；
（2）解：由（1）知，点D的坐标为，
由于直线过点C、D，则有，
解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，得，
即点A的坐标为；
设直线向上平移n个单位长度，则平移后点A、D的坐标分别为，上述两点坐标分别代入中，得：，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，点与函数图象的关系，点的平移等知识，掌握上述知识是解题的关键．
34．【重庆市万州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
35．【安徽省合肥市五十中学西校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线经过点A，与反比例函数图像交于点，连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)8
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数表达式，求出，将点的坐标代入反比例函数表达式，求出的值即可；
（2）先求出的值，得到作轴于点F，交于点G，再求出，则，然后根据三角形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，得：，
解得：，
则点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：；
（2）解：反比例函数的图像过点，
．
，，
作轴于点F，交于点G，
当时，，即点，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
36．【安徽省六安市轻工中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式；把B坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（3）根据A与B横坐标，结合图象确定出所求不等式的解集即可．
【详解】（1）解：解：把代入反比例解析式得：，
则反比例解析式为，
把代入反比例解析式得：，即，
把与代入中得：
，
解得：，，
则一次函数解析式为；
（2）∵，，
∴结合图象得：不等式的解集为或．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
37．【河北省张家口市桥东区张家口东方中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】一次函数和反比例函数的图像的相交于，与x轴交于点C，连接．
(1)请直接写出m的值为 ，反比例函数的表达式为 ；
(2)观察图像，请直接写出的解集 ；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）先把A点坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值；
（2）观察图像可知，不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围；
（3）先求出直线的解析式，然后求出C点坐标，再由进行求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵点在反比例函数的函数图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：；；
（2）解：观察图像可知，不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
（3）解把A、B坐标代入到直线AB的解析式中得：
，解得，
∴直线AB的解析式为，
∵C是直线AB与x轴的交点，
∴C点坐标为，
∴，
∴,
,
,
,
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、图像法解不等式、求三角形面积等等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
38．【河南省安阳市殷都区等4地滑县实验学校等2校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，，的部分对应值如下表：
(1)根据表中的数据，求出平均速度（千米/时）关于行驶时间（时）的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围）
(2)汽车上午6∶00出发，能否在上午9∶00之前到达邻市市场？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设．根据时，，得到，即得反比例函数表达式．
（2）根据汽车上午6∶00出发，要在上午9∶00之前到达邻市市场，得到行驶时间为3小时，求得速度，判定汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场．
【详解】（1）根据表格中数据，可设．
时，，
，
．
（2）汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场，理由：
，
当时，．
汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场．
【点睛】本题主要考查了反比例函数．解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据自变量值求出函数值，与函数值限制范围比较作判断．
39．【辽宁省阜新市细河区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，矩形放置在平面直角坐标系上，点分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标是，其中，反比例函数的图象交交于点．
(1)______（用的代数式表示）；
(2)设点为该反比例函数图象上的动点，且它的横坐标恰好等于，连接．
①若的面积比矩形面积多4，求的值；
②现将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在轴上，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，结合点B的坐标可得出的长；
（2）①过点P作于点E，则，由的面积比矩形面积多4，可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
②过点P作于点M，证，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
∴点D的坐标为，
∴．
故答案为：．
（2）①解：设，
过点作于点，则．

．
．
解得（舍），
．
②解：过点作轴于点．

，
且
∴．
，即．
解得，（舍）．
．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点D的坐标；（2）①由的面积比矩形面积多4，找出关于m的一元二次方程；②利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于m的方程．
40．【广东省深圳市南山区深圳南实集团麒麟中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，点为线段上的动点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值；
(3)当点为线段中点时，将绕点旋转得到，其中，的对应点分别为，，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据反比例函数的图象分别与，交于点，，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可；
（2）连接交于点，求得直线的解析式为，则，根据翻折的性质可得，，，根据点、分别为、的中点，建立方程，解方程求解即可；
（3）①如图，过点作于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质求得，，根据即可求得的坐标，②如图，过点作于点，过点作于点，方法同①，根据即可求得的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与，交于点，，
，，，，
设直线的函数表达式为，
则，解得：，
直线的函数表达式为；
（2）如图，连接交于点，

反比例函数的图象交于点，交于点，
，，，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
，
将沿所在直线翻折得到，
，，
，
点、分别为、的中点，
，解得：；
（3）①如图，过点作于点，过点作于点，

，，点为线段中点
，，，
在中，，
由旋转得：，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
；
②如图，过点作于点，过点作于点，

，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
点的横坐标为：，纵坐标为：，
；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数，待定系数法求解析式，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
41．【四川省巴中市巴州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
【答案】(1)
(2)；；；
(3)的值不发生改变
【分析】（1）设，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为 ，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连接、、，易证，故，，，由此即可得出结论．
【详解】（1）
∵，为中点，
∴，
设，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵由（1）知，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在双曲线上，点在轴上，
∴设，
①当为边时：如图1，若为平行四边形，
则，
解得，
此时；
如图2，若为平行四边形，
则，
解得，
此时；
②如图3，当为对角线时，
，且；
∴，
解得，
∴；
故；；；
（3）结论：的值不发生改变，
理由：如图4，连，
∵是线段的垂直平分线，
∴,
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
四边形中，
，而
，
所以，，
所以，四边形内角和为360°，
所以，
∴，
∴
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
42．【四川省达州市渠县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】研究与应用：
【自学研究】兴趣小组深入探究，发现：在平面直角坐标系中已知点、，则线段的中点坐标为．已知点、，则线段的中点坐标为______；
【学以致用】如图1，在平面直角坐标系中，长方形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标．
【深入研究】（3）小组成员又发现：如图1中，连接，则（如图2），于是想到：如果在双曲线（）上任取两点、，作轴于点，作轴于点，是否仍存在（如图3）．若存在，请证明．
【答案】【自学研究】；【学以致用】（1），；（2）；【深入研究】（3）存在，证明见解析
【分析】自学研究：根据在平面直角坐标系中已知点、，则线段的中点坐标为解答即可；
学以致用：（1）根据题意可知，再根据中点坐标公式，最后利用待定系数法解答即可；
（2）根据轴对称的性质得到直线的解析式进而即可解答；
深入研究：（3）根据平行线的性质及平面直角坐标系的面积关系解答即可．
【详解】解：【自学研究】∵点、，
∴的中点坐标为，
∴的中点坐标为，
故答案为；
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴的中点的坐标为，
∴将点代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∵点、在反比例函数上，
∴，，
∵一次函数的图象经过、两点，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，
设直线的函数解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
（3）存在结论：，
连接、，
∵轴，
∴，
∴，，
，
连接、，
同理：，
（），
，
∴作于，于，
∴，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中已知点、，则线段的中点坐标为，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，平面直角坐标系内三角形的面积关系，掌握平面直角坐标系与几何图形是解题的关键．
…
…
…
…
时间x(天)
3
5
6
8
……
硫化物的浓度
4
2.4
2
1.5
……
（千米/时）
75
80
90
时
4.80
4.50
4.00