09导数在研究函数中的应用（最大值与最小值-解答题提升题）-江苏省2023-2024学年高二上学期期

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一、解答题
1．（2022上·江苏淮安·高二统考期末）设函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
2．（2012上·江苏盐城·高二统考期末）已知函数，，记.
（1）若，且在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）若，设函数的图象与函数图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，请判断在点处的切线与在点处的切线能否平行，并说明你的理由.
3．（2022上·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考期末）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设，，求证：；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
4．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数.
(1)设函数，讨论在区间上的单调性；
(2)若存在两个极值点，（ ）（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：.
5．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上有唯一的零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
6．（2022上·江苏连云港·高二统考期末）已知函数 ．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点，证明：．
7．（2022上·江苏南通·高三统考期末）设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)求证：当时，函数不存在零点．
8．（2022上·江苏南通·高二统考期末）已知函数，其中，
(1)若，求函数的单调区间
(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．
9．（2022上·江苏常州·高二常州市第三中学校考期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.
10．（2022上·江苏连云港·高一校考期末）设函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若（其中），证明：；
11．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）已知
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，若有两个零点，求k的取值范围．
12．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知，函数，.
(1)若，求函数的极小值；
(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.
13．（2021上·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期末）（1）已知函数.若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）已知函数.试探求函数零点的个数，并证明你的结论.
14．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求f(x)的最大值；
(2)设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值；
(3)证明.
15．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，已知函数
(1)讨论的单调性
(2)若过点有且只有两条直线与曲线相切，求的值.
16．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：．
17．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)求函数在上的最大值.
18．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知函数，且曲线在原点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)讨论在R上的零点个数，并证明.
参考答案：
1．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【分析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；
（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
记，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）令，得，记，
则，令得，列表得．
要使在上有两个零点，则，所以．
且函数在和上各有一个零点．
当时，，，，
则，故在上无零点，
与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件．
所以，又因为，所以考虑，
设，，则，则在上单调递减，
故当时，，
所以，且，
因为，所以，由零点存在定理知在和上各有一个零点
综上可知，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
2．（1）；（2）；（3）不能平行．理由见解析
【分析】（1）代入，将代入解析式，分离参数b，构造函数，进而利用导数求得的最大值即可求得b的取值范围．
（2）代入，代入解析式，通过求导，对分类讨论，即可根据单调递减求得的取值范围．
（3）设出P、Q的坐标，假设两条切线可以平行，则得到两个坐标关系；构造函数，通过研究函数的导数，可得方程无解，进而证明切线不存在．
【详解】（1）代入，将代入解析式得不等式，
即，令函数 ，，由得：，令得：，
所以在上为增函数，在为减函数
所以最大值为，
所以b的取值范围为
（2）当 时
则
当时，时，，函数为减函数，满足题意；
当 时，开口向上，总有的解；
当 时，开口向下且有，要想总有的解，要满足 ，解得： ，
综上：
（3）不能平行，理由如下：
证明：设
则点M、N的横坐标为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行得：
，
由题意得：，两式相减得：，
将代入得：
即
设，则
令
因为当时，
则函数在上单调递增.
故
所以无零点，即两切线不可能平行．
【点睛】通过构造函数证明函数无解问题，是比较有难度的知识点，本题的关键点是假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，问题转化为构造一个新函数有无零点的问题.
3．(1)函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)
(2)证明见解析
(3)[1，＋∞)
【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，
（2）由（1）可得，令，则可得，然后利用累加法可证得结论，
（3）由，故，然后分和讨论的最大值与比较可得结果
【详解】（1）当时，（），则，
由，解得；由，解得，
因此函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)
（2）由（1）知，当k＝1时， ，故．
令，则 ，即，
所以．
（3）由，故．
当时，因为，所以，
因此恒成立，且的根至多一个，故在(0，1]上单调递增，
所以恒成立．
当时，令，解得．
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
于是，与恒成立相矛盾．
综上，的取值范围为[1，＋∞)．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是利用（1）可得，从而得，然后令，得，最后累加可证得结论，考查数转化思想，属于较难题
4．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，然后对其求导，再分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由（1）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，且是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，从而将要证的结论转化为证，令，再次转化为利用导数求的最小值大于零即可
【详解】（1）由，得，则
，
当时，在上单调递增；
当时，令.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
综上，当时，的增区间为，无减区间
当时，的增区间为，减区间为
（2）由（1）知若存在两个极值点，则，
且，
且注意到，
所以在和上各有一个零点，
且时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以是的两个极值点.
，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以
而，所以，
所以，要证，即要证
即要证：
因为，所以
所以，即要证：
即要证：
令，即要证：
即要证：
令
当时，，所以在上单调增
所以结论得证.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将两个极值点代入导函数中化简后，将问题转化为证明成立，换元后构造函数，再利用导数证明，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
5．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；
（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.
【详解】（1）当时，，则，故，，
则曲线在点处的切线方程为.
（2）（ⅰ）因为，故可得，
因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；
当时，若在有一个零点，即在有一个零点，
也即在有一个零点，又，则单调递增，
则只需，解得.
综上所述，若在区间上有唯一的零点，则；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，则，
也即，则，
令，则，
又在都是单调增函数，故是单调增函数，
又，故，则在单调递增，则，
故，即证.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点以及最值；处理问题的关键是合理转化函数零点问题，以及充分利用零点存在定理，熟练掌握构造函数法，属综合困难题.
6．(1)单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；
（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.
【详解】（1）函数的定义域为(0,+∞)，
当a=2时，，则
令得，x>4；令得，0所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).
（2）法一：
当a≤0时，>0 在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，
当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，
因为函数有两个不相等的零点，则，
不妨设，
设，（0所以，
由a>0知：在(0,2a)恒成立，
所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，
所以，即，又，故，
因为，所以，
因为函数在(2a,+∞)上单调递增，
所以，即
法二：不妨设，
由题意得，，得，即，
要证，只需证，即证：，即，
令，，则，
所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立
因此，所以.
【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为在(0,2a)恒成立，法二：根据零点可得，再由分析法将问题化为证明，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.
7．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）计算得出，根据已知条件可得出关于、的等式组，由此可求得结果；
（2）由已知可得，由，利用导数法证明得出，可得出，由此可得出实数的取值范围；
（3）分、、三种情况讨论，利用导数证明出成立，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，则，
因为点在直线上，则，
所以，，解得.
（2）解：因为成立，则，
当时，，下面证明，
设，其中，则，
令，则且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
即成立，所以，故实数的取值范围为.
（3）解：因为，所以，
且两个等号不同时成立，即，
令，其中，则且不恒为零，
所以函数在上单调递增，且，
当时，，即，
所以当时，，即，此时函数不存在零点；
当时，，而，此时，
即，所以此时函数不存在零点；
当时，，而，所以，
即，所以此时函数不存在零点．
综上可得，时，函数不存在零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
8．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）不妨令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，，
所以，时，在上恒成立，
故在上单调递增，
当时，令得，
所以，当时，，单调递增，
时，，单调递减，
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由题知，，
因为函数有两个相异零点，，且，
所以且，，即，
所以，方程有两个不相等的实数根，
令，则，
故当时，，时，，
所以，在，上单调递减，在上单调递增，
因为，，，，
所以，要使方程有两个不相等的实数根，
则，
不妨令，则，，
所以，
要证，只需证，即证：，
因为，
所以，只需证，
只需证，即，
故令，
故只需证，成立，
令，，
则，
令，
在恒成立，
所以，在上单调递增，
因为，
所以在恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，，即，
所以，成立．
【点睛】思路点睛：本题第二问令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结，本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．
9．(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，对分类讨论：①和②，分别讨论单调性；（2）利用分离常数法得到对恒成立. 令，利用导数求出最值，即可得到实数的取值范围；（3）极值点偏移问题，利用分析法，转化为证明，构造新函数，利用导数证明出.
【详解】（1）函数的定义域为，.
①当时，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
②当时，则，所以函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
（2）当时，都有，即，
亦即对恒成立.
令，只需.
.
令，则，所以当时，，
所以在上单增，所以，
所以当时，.
所以，所以在上单减，
所以.
所以.
综上所述：实数的取值范围为.
（3）可化为：.
令，上式即为.
由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，
则为的两根，其中.
不妨设，要证，只需，即，
只需证.
令.
则
当时，；当时，.
由零点存在定理可得：存在，使得.
当时，，单增；当时，，单减；
又，所以.
.
因为， ，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)；
（4）利用导数证明不等式．
10．(1)当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；
（2）首先求函数的导数，利用导数分析函数的图象和性质，确定，利用分析法转化为证明，再结合函数的单调性，转化证明，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，最值问题，即可证明.
【详解】（1）由已知得：
当时，，在上单调递增；
当时，令得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上， 当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明：，
在上单调递增，上单调递减，且，
又当时，；当时，，
，，
要证：成立，只需证：
在 上单调递增，故只需证：
即证：
令，只需证：，
即证：，
令，，
，证毕.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.
（2）由构造函数，求得，对进行分类讨论，结合零点存在性定理求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，求导得：，
当时，，，在处的切点为，斜率，
对应的切线方程为，即.
（2）当时，，
令，则有两个零点等价于有两个零点，
对函数求导得：，
当时，在上恒成立，于是在上单调递增.
从而，因此在上没有零点；
即在上没有零点，不符合题意.
当时，在上，在上，
于是在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
由于在上有两个零点，
所以
因为，，
对于函数，，
所以函数在区间，函数单调递减；
在区间，函数单调递增.
所以，
所以，
于是由零点存在性定理得时，在上有两个零点，
综上，可得k的取值范围是.
【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面要利用导数研究函数的单调区间，另一方面，求得函数的单调区间后，要结合零点存在性定理来判断零点存在.
12．(1)2
(2)
【分析】（1）由可求出，则，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；
（2）令（），则，令，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分和讨论函数的零点即可.
【详解】（1）由，
所以，，令，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的极小值为；
（2），令（），
存在唯—的零点，，
令，，
令，
当时，；
当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
①若，即，
令，
所以，所以，所以，
即时，，所以在上递增，
注意到，所以存在唯一的零点，符合题意
②当时，，，
，
令，，
则，
因为，所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以
所以即在和上各有一个零点，，
在上递增，上递减，上递增，
而，所以，
，
当时，；
当时，，
而，，
所以在，和上各有一个零点，共3个零点了，舍去.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是对求导后，构造函数，利用导数求出其最小值后再讨论可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
13．（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）根据极值点的定义可得出，求出的值，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义验证即可；
（2）令，则，可得，其中，令，其中，则函数的零点个数等于直线与函数图象的交点个数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数取不同值时函数的零点个数.
【详解】解：（1）因为，该函数的定义域为，，
因为是函数的一个极值点，则，解得，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
故函数在处取得极小值，合乎题意，因此，；
（2）因为，则，
令，则，可得，其中，
令，其中，则函数的零点个数等于直线与函数图象的交点个数.
所以，，列表如下：
所以，函数的极小值为，
且当时，；当时，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点；
当或时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象无交点.
综上所述，当时，函数有两个零点；
当或时，函数只有一个零点；
当时，函数无零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
14．(1)1；
(2)2；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的最大值作答.
（2）利用（1）的结论可得，进而可得当时，，再按、探讨恒成立，构造函数并证明不等式作答.
（3）利用（2）的结论，构造数列不等式，再借助等比数列求和公式推理作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得：，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，.
（2）由（1）知，，，即，因此对，，
当时，对，，则有，
于是当时，对，恒成立，
当时，函数的定义域为，，必有，解得，
而为整数，则最大值不大于2，
因为对，恒成立，则对，有恒成立，当且仅当时取等号，
又，恒成立，当且仅当时取等号，于是对，，
综上得当时，对，恒成立，即整数，
所以整数a的最大值为2.
（3）由（2）知，，，取，有，因此，
从而，
所以原不等式成立.
【点睛】思路点睛：涉及含参函数不等式恒成立问题，可以结合导数分段讨论，确定临界值，再利用导数证明不等式作答.
15．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）设切点为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，结合（2）中的结论以及三次函数的基本性质可得出关于的等式，解之即可.
【详解】（1）因为，则，
由可得，，
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时，函数的增区间为，无减区间；
②当时，即当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、；
③当时，即当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）解：设切点为，
对函数求导得，
所以，切线方程为，
将点的坐标代入切线方程整理可得，即，
故关于的方程有两个不等的实根，
①当时，函数在上单调递增，则方程至多一个实根，不合乎题意；
②当时，则，故当时，，
此时方程至多一个实根，不合乎题意；
③当时，则，
则，解得，合乎题意.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
16．(1)极大值为，极小值为
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；
（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨论即可求出结果；
（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不同实根，满足，，两式化简得到，不妨设，利用分析证明法和换元法即可证明结果．
【详解】（1）当时，函数．
，
令，得或
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则在处取得极大值，在处取得极小值．
极大值为，极小值为．
（2）函数的定义域是，
．
当时，令有两个解，或．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，．
（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根，
得，令，，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图象如下：
．
即当时，有两个不同实根．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得．
不妨设，要证：，
只需证：，
即证，
设，令，
则，
函数在上单调递增，且．
，即，．
17．(1)；
(2)答案见解析
【分析】(1)对求导， 令得，，讨论单调性确定极值点并求极值；
(2) 讨论在上的单调性，求此区间上的极值与端点值，当有两个值都有可能为最大值时，讨论它们的大小确定最大值.
【详解】（1）当时，，
令得，，
当变化时，的变化如下表：
由上表知，当时，；当时，则.
（2），
当时，
当时，在上单调递增，所以，
当在上单调递减，所以，
当时，在上有两个不相等的实根，令，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
而，
当时，，，故，此时，，
当时，，，
所以，此时，，
当时，，，
所以，此时，，
综上：当时，，
当时，.
当时，.
【点睛】用导数研究函数在区间上最值步骤:
(1)对原函数求导，然后令导数等于0，得出此区间上的极值点，
(2)然后通过判断导数的正负来判断单调性，求出极值，
(3)然后再计算端点值，比较极值与端点值的大小，不能确定大小时要分类讨论，它们中的最大就是函数的最大值，最小就是函数的最小值.
18．(1)
(2)在R上有2个零点，证明见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，结合已知，即可得出答案；
（2）利用导函数分别得出函数在，以及的单调性，根据零点存在定理得出零点的个数.再结合函数的单调性，得出函数的最小值，进而结合三角函数的值域，即可得出证明.
【详解】（1）由已知可得，.
根据导数的几何意义结合已知可得，，
所以，，.
（2）由（1）可得，，.
①当时，有，
所以恒成立，
所以，在上单调递减，是一个零点；
②当时，，
设，则恒成立，
所以，，即在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可知，，使得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又，所以.
因为，
根据零点存在定理可知，，使得.
综上所述，在R上的零点个数为2.
因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值.
又，
所以，.
因为，
所以，，
所以，，.
【点睛】思路点睛：先根据导函数得出函数的单调性，进而结合零点存在定理即可得出函数零点的情况.
x
0
↘
极小值
↗
减
减
极小值
增
1
0
0
递增
极大值9
递减
极小值
递增