09导数在研究函数中的应用（最大值与最小值-选择、填空题）-江苏省2023-2024学年高二上学期期

这是一份09导数在研究函数中的应用（最大值与最小值-选择、填空题）-江苏省2023-2024学年高二上学期期，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022上·江苏连云港·高二校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极大值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
5．（2022上·江苏淮安·高二统考期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
6．（2022上·江苏盐城·高二统考期末），不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
7．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．(0，)B．[0，)C．[0，]D．(0，)
8．（2022上·江苏南京·高二校联考期末）已知a，b为正数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023上·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值B．在处取得最大值
C．有两个不同零点D．
10．（2023上·江苏南通·高二校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的单调减区间是
B．的单调增区间是
C．的最小值是
D．恒成立
11．（2022上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
12．（2022上·江苏宿迁·高二统考期末）关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的，
B．对任意的，
C．函数的最小值为
D．若存在使得不等式成立，则实数a的最大值为
13．（2022上·江苏南通·高二统考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022上·江苏盐城·高二统考期末）已知函数，则下列选项中正确的有（ ）
A．函数有两个零点
B．若，则恒成立
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题
15．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）函数有两个零点，则的取值范围是 .
16．（2021上·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期末）若关于的不等式在是恒成立，则实数的取值范围是 .
17．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为 ．
18．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知正实数x，y满足，则的最大值为 .
19．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为 .
20．（2022上·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）已知对任意都成立，则实数a的最小值是 .
21．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为 ．
22．（2022上·江苏淮安·高二统考期末）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是 ．
23．（2022上·江苏南通·高二海门中学校考期末）已知函数，有且只有一个零点，则实数的取值范围是 .
24．（2022上·江苏南通·高二统考期末）设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为 .
25．（2022上·江苏徐州·高二统考期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
26．（2022上·江苏镇江·高二统考期末）函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 .
27．（2022上·江苏常州·高二统考期末）已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为 .
28．（2022上·江苏盐城·高二统考期末）过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数m的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，所以，，
又因为，所以，函数在上只有一个零点；
因为函数只有一个零点，则函数在上无零点，
则当时，，则，
由可得，由可得.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，只需，解得.
故选：C.
2．C
【分析】令，由导数法求出，原命题转化为与有两个交点，可得答案.
【详解】令，则时，；时，.
，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴.
∵关于的方程有两个解，即与有两个交点，
∴，故的取值范围为.
故选：C.
3．B
【分析】设，利用导数可得在上单调递减，从而有，即；令，利用导数可得在上单调递减，从而有，即，即可得答案.
【详解】设，则有，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
即有，
故；
令，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
即，
故，
综上所述，则有.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进行比较.
4．C
【分析】根据导函数图象，导函数与原函数的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由的图象可得，当时，，当时，，
当时，，当时，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；
是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；
是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.
故选：C
5．B
【分析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.
【详解】令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
6．D
【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，得到，进而得到恒成立，求出函数，的最值，得到答案.
【详解】令，，，显然，
当时，恒成立，即在上单调递增，无最小值，舍去；
当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为，不等式恒成立，所以，所以，
恒成立，令，，，当时，，当时，，所以，所以，则的最大值为.
故选：D
【点睛】构造函数求解双变量问题，化为单变量，结合函数极值，最值进行求解.
7．A
【分析】对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围.
【详解】有三个零点，即方程有三个根，
不妨令,则，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
，且当时，恒成立.
当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，
故当时，满足题意.
故选：A.
8．A
【分析】构造新函数，以函数单调性把不等式转化为整式不等式即可解决.
【详解】不等式可化为：
令，则
则函数为单调增函数.
由可得
故选：A
9．ABD
【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值和最值即可判断A、B，令函数等于0，求出零点即可判断C，利用函数单调性即可判断D.
【详解】函数的导数，
令得，
则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，
故A正确，
由上述可知当时，函数的极大值即为最大值，且最大值为，
故B正确，
由，得，得，即函数只有一个零点，
故C错误，
由，
所以，
由时，函数为减函数，知，
故成立，
故D正确．
故选：ABD．
10．BC
【分析】求导后，根据的正负可得的单调性，结合单调性可确定最小值，由此可确定各选项正误.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
的单调减区间为，单调增区间为，A错误，B正确；
，C正确；
，不恒成立，D错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】AB.令，用导数法判断；C. 由与关于对称，且与切于，与切于求解判断；D.将f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，转化为对恒成立，用导数法求解判断.
【详解】解：设，则，
所以在上递增，又，又，
则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误；
有，即，
所以当时，，当时，，
所以，又，则，故B正确；
易知与关于对称，
且与切于，与切于，
所以|PQ|的最小值为，故C正确；
若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则，
即对恒成立，即
令，则在上递增，
则，，所以
令，则，
当时，，当时，，
所以，所以，故D正确；
故选：BCD.
12．ACD
【分析】A：构造函数，利用导数的性质进行判断即可；
B：利用特殊值法，进行判断即可；
C：利用导数的性质进行判断即可；
D：利用转化法，根据特称命题与它的否命题的真假关系，结合构造函数法、导数进行判断即可.
【详解】A：设，
，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，即，所以有，即，所以本选项正确；
B： ，，显然，所以本选项不正确；
C：由，
设当时，，所以函数单调递增，
所以当时，，
因此当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数有最小值，最小值为，因此本选项正确；
D：命题：存在使得不等式成立，
它的否命题为：，不等式恒成立，
，
构造函数，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，函数有最小值，
最小值为：，
，
当时，而，所以，
当时，要想恒成立，只需恒成立
当，， 也成立，
即成立，也就是成立，
构造新函数，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，函数有最大值，即，要想不等式恒成立，
只需，
当时，，而的值域为全体实数集，显然不可能恒成立，
因此当时，对于，不等式恒成立，
因此当时，存在使得不等式成立，所以实数a的最大值为，
因此本选项结论正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质，结合存在性和任意性的定义是解题的关键.
13．BD
【分析】首先根据条件构造函数，，根据得到在上单调递减，从而得到，再化简即可得到答案.
【详解】由及，得.
设函数，，
则，
所以在上单调递减，从而，
即，
所以，，，.
故选：BD
14．CD
【分析】对于A，求出函数的单调区间，结合零点的存在性定理即可判断；对于B，要使恒成立，只要恒成立即可，只要恒成立即可，令，根据函数在上的单调性即可判断；对C，分，，三种情况讨论即可判断；对于D，要使成立，只需成立，只需成立，根据函数在上的单调性即可判断.
【详解】解：对于A，由函数，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
当时，，当时，，当时，，
所以函数只有一个零点，故A错误；
对于B，若，则，
要使恒成立，只要恒成立即可，
只要恒成立即可，
令，
则，
令，则，
当时，，所以函数在上递增，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以当时，，即，
所以，故B错误；
对于C，若恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，恒成立，
因为，所以，
当时，恒成立，
因为，所以，
综上所述，故C正确；
对于D，若，
要使成立，
只需成立，
只需成立，
由A选项得函数在上递增，
则有成立，
即，故D正确.
故选：CD.
15．
【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解.
【详解】函数有两个零点，方程有两个根，
即方程有两个根，
设，则函数与的图像有两个交点，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
函数在时，取得最大值，
又当时，；当时，且，
函数的大致图像，如图所示，
由图像可知，，
的取值范围是.
故答案为：.
16．，
【分析】当时，判断的单调性并由求得的取值范围；当时，显然成立，故可得到的取值范围.
【详解】令，，
，
当时，在上，，单调递增，
所以，
若不等式在是恒成立，
则，
令，则，即，
所以，
设，则，所以为增函数，
所以，即，所以，
当时，，，显然成立，
所以实数的取值范围为,.
故答案为：,
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有两种基本方法:一是“参数分离法”,即将参数分离到不等式的一边,化为形如 (或)对任意 恒成立,若在区间D内存在最大值 (或最小值),则问题等价转化为(或);二是“移项构造函数法”,即 (或 )对任意恒成立转化为＞0 (或＜0)对任意恒成立,若在区间D内存在最小值 (或最大值),则问题等价转化＞0 (或＜0).
17．
【分析】根据题意，求导得，然后根据在上有解列出不等式，即可得到结果.
【详解】函数，则
再由在上有解，是二次函数，对称轴为，
可得，或，即，或
解得
故答案为:
18．/
【分析】把已知等式变形为，利用函数的单调性得的关系，从而将转化为的函数，再利用导数求得其最大值即可．
【详解】由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，所以在上单调递增，
所以由，即，得，所以，
所以，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形，从而利用函数的单调性得出变量间的关系，由此得解.
19．
【分析】恒成立即在上恒成立,只需即可,构造新函数求导求单调性及最大值即可.
【详解】解:由题知恒成立,
即在上恒成立,
即在上恒成立,即,
记,所以,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以,
所以.
故答案为:
20．
【分析】根据题意可得对任意都成立，利用导数求在内的最大值.
【详解】因为，所以可等价变形为，
令，
由得，则函数在上单调递增，
由得，则函数在上单调递减，
所以时，则，
故.
故答案为：.
21．
【分析】设，利用点到直线的距离可得，令，利用导数求出，即可得到答案
【详解】因为点是曲线上的一点，故设，
所以到直线的距离为，
令，则
当单调递增；当单调递减；
所以，
所以
所以的最小值为
故答案为：
22．
【分析】先求出两函数在上的值域，再由已知条件可得，且，列不等式组可求得结果
【详解】由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
23．
【分析】由题知方程，，有且只有一个零点，进而构造函数，利用导数研究函数单调性与函数值得变化情况，作出函数的大致图像，数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数，，有且只有一个零点，
所以方程，，有且只有一个零点，
令，则，，
令，则
所以为上的单调递减函数，
因为，
所以当时，；当时，；
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，且，时，，
故的图像大致如图所示，
所以方程，，有且只有一个零点等价于或.
所以实数的取值范围是
故答案为：
24．
【分析】由不等式分离参数，令，则求即可．
【详解】由，得，
令，则
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
由于存在，成立，则
故答案为：
25．
【分析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.
【详解】设，由题可知，
∴，
当时，，适合题意，所以，
当时，令，则，
此时时，，单调递减，，，单调递增，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.
26．
【分析】根据题意求出函数的导函数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数仅有一个零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值小于或极小值大于，即可得到答案.
【详解】解：由题意可得：函数，
所以，
令，则或，
令，则，
所以函数的单调增区间为和，减区间为
所以当时函数有极大值，
当时函数有极小值，，
因为函数仅有一个零点，，
所以或，
解得或.
所以实数的取值范围是
故答案为：
27．
【分析】先求定义域，再求导，针对分类讨论，结合单调性，极值，最值得到，研究其单调性及其零点，求出结果.
【详解】定义域为，，
当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；
当时，在上，单调递增，在上，单调递减，故，又因为时，，时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令，，，单调递增，又，故当时，.
故答案为：
28．
【分析】设切点为，则由导数的几何意义结合斜率公式可得，由题意可知此方程有两个解，构造函数，利用导求出其单调区间和最值，从而可求出的范围，进而可求得m的取值范围
【详解】设切点为，由，得，
所以切线的斜率为，
因为切线经过点，
所以，化简得，
由题意可知此方程有两个解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最大值，即，
因为时，，当时，，
所以当时，方程有两个解，
所以，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：