湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学卷

这是一份湖南省衡阳市成章实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学卷，共30页。

1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的为（ ）
A．y＝﹣9+x2B．y＝﹣2x+1C．y=x2+4D．y＝﹣（x+1）+3
2．（3分）下列各式与3是同类二次根式的是（ ）
A．8B．24C．125D．12
3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）把抛物线y＝（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+2B．y＝（x+2）2﹣2C．y＝x2+2D．y＝x2﹣2
5．（3分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA−12)2+|csB−32|=0，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
6．（3分）已知△ABC∽△DEF，S△ABC＝16，S△DEF＝9，则△ABC的周长与△DEF的周长之比是（ ）
A．16：9B．9：16C．4：3D．3：4
7．（3分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．4.8
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB=32，BC＝23，则AC等于（ ）
A．3B．4C．43D．6
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，9）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣18，27）
C．（﹣18，27）或（18，﹣27）D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
10．（3分）若A（﹣7，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
11．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM＝∠CDE； （2）S△BDE＜S四边形BMFE；
（3）CD•EN＝BN•BD； （4）AC＝2DF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）若ab=23，则a+2b2a−b= ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，点P与点Q关于x轴对称，则点P的坐标是 ．
16．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆的高度为1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则楼高CD为 m．
17．（3分）如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA=35．则点B的坐标为 ；tan∠BAO＝ ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=33x−33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则A2022B2023的长度为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2sin45°﹣|1−2|﹣（13）﹣2+（2021﹣π）0．
20．（6分）化简求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a+b），其中a−1+|b+2|=0．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF∽△ECF；
（2）若AB＝8，CFCB=25，求CE的长．
22．（8分）在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式 ；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式 ．
（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
（3）求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
23．（8分）如图，为了测量出楼房AB的高度，从距离楼底B处185米的点D（BD为水平地面）出发，沿斜面坡度为i＝1：2的斜坡DC前进30米到达点C，在点C处测得楼顶A的仰角为53°．
（1）求点C到水平地面的距离．（计算结果用根号表示）
（2）求楼房AB的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈43，5≈2.236，结果精确到0.1米）．
24．（8分）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）①求线段CD的长；
②求证：△CBD∽△ABC．
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
湖南省衡阳市成章实验中学
2022-2023学年九年级上数学第三次月考数学卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的为（ ）
A．y＝﹣9+x2B．y＝﹣2x+1C．y=x2+4D．y＝﹣（x+1）+3
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】解：A、y是x的二次函数，故此选项正确；
B、不是二次函数，故此选项错误；
C、不是二次函数，故此选项错误；
D、不是二次函数，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）下列各式与3是同类二次根式的是（ ）
A．8B．24C．125D．12
【考点】同类二次根式．
【分析】利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可．
【解答】解：A、8=22，故不与3是同类二次根式，故此选项错误；
B、24=26，故不与3是同类二次根式，故此选项错误；
C、125=55，故不与3是同类二次根式，故此选项错误；
D、12=23，故，与3是同类二次根式，故此选项正确；
故选：D．
3．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由二次函数解析式可求得顶点坐标．
【解答】解：
∵y＝（x+2）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
故选：D．
4．（3分）把抛物线y＝（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+2B．y＝（x+2）2﹣2C．y＝x2+2D．y＝x2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∵向下平移2个单位，
∴纵坐标变为﹣2，
∵向右平移1个单位，
∴横坐标变为﹣1+1＝0，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），
∴所得到的抛物线是y＝x2﹣2．
故选：D．
5．（3分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA−12)2+|csB−32|=0，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质可得sinA=12，csB=32，求出∠A和∠B的度数，继而可判断△ABC的形状．
【解答】解：由题意得，sinA=12，csB=32，
则∠A＝30°，∠B＝30°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
6．（3分）已知△ABC∽△DEF，S△ABC＝16，S△DEF＝9，则△ABC的周长与△DEF的周长之比是（ ）
A．16：9B．9：16C．4：3D．3：4
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC＝16，S△DEF＝9，
∴△ABC的周长与△DEF的周长之比为：16：9=4：3
故选：C．
7．（3分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．4.8
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】利用勾股定理先求出斜边AB的长，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵D为斜边AB的中点，
∴CD=12AB=12×10＝5，
故选：C．
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB=32，BC＝23，则AC等于（ ）
A．3B．4C．43D．6
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先由正切的定义得到：tanB=ACBC；接下来再代值进行计算，即可得到题目的结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanB=ACBC，
则AC＝BC×tanB=32×23=3．
故选：A．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，9）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣18，27）
C．（﹣18，27）或（18，﹣27）D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣6，9），以原点为位似中心将△ABO缩小，位似比为13，
∴点B的对应点的坐标为：（﹣6×13，9×13）或（﹣6×（−13），9×（−13）），即（﹣2，3）或（2，﹣3），
故选：D．
10．（3分）若A（﹣7，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=−b2a=−2．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣2．
∵点A（﹣7，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上，
而三点横坐标离对称轴x＝﹣2的距离按由远到近为：
（﹣7，y1）、（1，y3）、（﹣3，y2），
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
11．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除A；根据抛物线得a＜0，故排除C．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除A；
∵抛物线得a＜0，
∴排除C；
故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM＝∠CDE； （2）S△BDE＜S四边形BMFE；
（3）CD•EN＝BN•BD； （4）AC＝2DF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°﹣（90°﹣x）﹣45°＝45°+x，∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x，从而可得到∠DBM＝∠CDE；
（2）可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积＝四边形NMFE的面积，所以△DNB的面积+△BNE的面积＝四边形NMFE的面积++△BNE的面积；
（3）可证明△DBC∽△NEB；
（4）由△BDM≌△DEF，可知DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=12AC．
【解答】解：（1）设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x
∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，
∵BD＝DE，
∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x．
∴∠DBM＝∠CDE，故（1）正确；
（2）在Rt△BDM和Rt△DEF中，
∠DBM=∠CDE∠DMB=∠DFEBD=DE，
∴Rt△BDM≌Rt△DEF．
∴S△BDM＝S△DEF．
∴S△BDM﹣S△DMN＝S△DEF﹣S△DMN，即S△DBN＝S四边形MNEF．
∴S△DBN+S△BNE＝S四边形MNEF+S△BNE，
∴S△BDE＝S四边形BMFE，故（2）错误；
（3）∵∠BNE＝∠DBM+∠BDN，∠BDM＝∠BDE+∠EDF，∠EDF＝∠DBM，
∴∠BNE＝∠BDM．
又∵∠C＝∠NBE＝45°
∴△DBC∽△NEB．
∴CDBD=BNEN，
∴CD•EN＝BN•BD；故（3）正确；
（4）∵Rt△BDM≌Rt△DEF，
∴BM＝DF，
∵∠B＝90°，M是AC的中点，
∴BM=12AC．
∴DF=12AC，即AC＝2DF，故（4）正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
14．（3分）若ab=23，则a+2b2a−b= 8 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据ab=23，将a+2b2a−b的分子、分母同除以b，即可解答本题．
【解答】解：∵ab=23，
∴a+2b2a−b=ab+22×ab−1=23+22×23−1=8313=8，
故答案为：8．
15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，点P与点Q关于x轴对称，则点P的坐标是 （2，﹣5） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出P，Q点坐标，即可得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（2，5），
∵点P与点Q关于x轴对称，
∴点P的坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）．
16．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆的高度为1.5m，测得AB＝2m，BC＝14m，则楼高CD为 12 m．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴BECD=ABAC，
∵BE＝1.5，AB＝2，BC＝14，
∴AC＝16，
∴1.5CD=216，
∴CD＝12．
故答案为：12．
17．（3分）如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA=35．则点B的坐标为 （4，3） ；tan∠BAO＝ 12 ．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【分析】（1）由题意，过点B作BH⊥OA于H，根据BO＝5，sin∠BOA=35，可得BH＝3，OH＝4，即可得出；
（2）如图，根据题意，OA＝10，可得AH＝6，所以，在Rt△AHB中，可得tan∠BAO=BHAH=12．
【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥OA于H，
∵OB＝5，sin∠BOA=35，
∴BH＝3，OH＝4，
∴点B的坐标为（4，3）；
（2）∵OA＝10，
∴AH＝6，
∴在Rt△AHB中，
tan∠BAO=BHAH=36=12．
故答案为：（4，3）；12．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=33x−33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则A2022B2023的长度为 22022 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标；一次函数的性质．
【分析】先求出点B1的坐标，进一步求出第一个等边三角形的边长，根据含30°角的直角三角形的性质，求出A1B2，同理求出A2B3，找出规律即可求出A2022B2023的值．
【解答】解：∵直线l：y=33x−33与x轴交于点B1，
∴当y＝0时，解得x＝1，
∴B1（1，0），
∴OB1＝1，
当x＝0时，y=−33，
设直线l：y=33x−33与y轴交于点C，
则C（0，−33），
∴OC=33，
∴tan∠OB1C=33，
∴∠OB1C＝30°，
∵△A1OB1是等边三角形，
∴A1B1＝1，∠A1B1O＝60°，
∵A1B2平行于x轴，
∴∠B1A1B2＝60°，∠A1B2B1＝30°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∴A1B2＝2，
同理A2B3＝4，
∴A2022B2023＝22022，
故答案为：22022．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：2sin45°﹣|1−2|﹣（13）﹣2+（2021﹣π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×22−（2−1）﹣9+1
=2−2+1﹣9+1
＝﹣7．
20．（6分）化简求值：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a+b），其中a−1+|b+2|=0．
【考点】整式的混合运算—化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）﹣2a（a+b）
＝a2﹣2ab+b2+a2﹣b2﹣2a2﹣2ab
＝﹣4ab，
∵a−1+|b+2|=0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴当a＝1，b＝﹣2，原式＝﹣4×1×（﹣2）＝8．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF∽△ECF；
（2）若AB＝8，CFCB=25，求CE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定方法可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和相似三角形的性质，可以计算出CE的长．
【解答】（1）证明：∵DC∥AB，
∴CE∥AB，
∴∠E＝∠FAB，∠ECF＝∠ABF，
∴△ABF∽△ECF；
（2）解：由（1）知：△ABF∽△ECF，
∴CEBA=CFBF，
即CE8=CFBF，
∵CFCB=25，
∴CFBF=23，
∴CE8=23，
解得CE=163，
即CE的长是163．
22．（8分）在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式 y＝﹣10x+500 ；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式 w＝﹣10x2+700x﹣10000 ．
（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
（3）求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）代入w＝2000求出x的值，由此即可得出结论；
（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝﹣10（x﹣35）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，
故答案为：y＝﹣10x+500；w＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）∵w＝2000，
∴﹣10x2+700x﹣10000＝2000，
解得：x1＝30，x2＝40，
答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；
（3）根据（1）知，w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，w最大，最大值为2250，
答：当销售单价定为35元时，利润最大，最大利润是2250元．
23．（8分）如图，为了测量出楼房AB的高度，从距离楼底B处185米的点D（BD为水平地面）出发，沿斜面坡度为i＝1：2的斜坡DC前进30米到达点C，在点C处测得楼顶A的仰角为53°．
（1）求点C到水平地面的距离．（计算结果用根号表示）
（2）求楼房AB的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈43，5≈2.236，结果精确到0.1米）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）过C作CE⊥BD于E，CF⊥AB于F，先由坡度的定义求出ED＝2x，再由勾股定理求出x即可．
（2）先证四边形BECF是矩形，则BF=CE=65（米），CF=BE=65（米），再由锐角三角函数定义求出AF的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过C作CE⊥BD于E，CF⊥AB于F，
设CE＝x米，
∵i＝CE：ED＝1：2，
∴ED＝2x．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝302，
解得：x=65，
即点C到水平地面的距离CE为65米．
（2）由（1）可得：DE=2CE=125（米），
∴BE=BD−DE=185−125=65（米），
∵∠B＝∠CEB＝∠CFB＝90°，
∴四边形BECF是矩形，
∴BF=CE=65（米），CF=BE=65（米），
在Rt△ACF中，tan∠ACF＝tan53°=AFCF≈43，
∴AF≈43CF=43×65=85（米），
∴AB＝AF+BF＝85+65=145≈31.304≈31.3（米），
答：楼房AB的高度约为31.3米．
24．（8分）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝ 4 ，b＝ 2 ；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质．
【分析】（1）将点A（1，4）分别代入反比例函数y=kx（k≠0）和一次函数y＝2x+b的解析式中，求解即可；
（2）根据题意，需要分类讨论：当点D落在y轴的正半轴上，当点D落在y轴的负半轴上，△COD∽△AOB或△COD∽△BOA，依次根据比例关系，求解即可．
【解答】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y=kx（k≠0）的解析式中，
∴k＝1×4＝4；
将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b，
∴2×1+b＝4，
解得b＝2．
故答案为：4；2．
（2）当点D落在y轴的正半轴上，
则∠COD＞∠ABO，
∴△COD与△ABO不可能相似．
当点D落在y轴的负半轴上，
若△COD∽△AOB，
∵CO＝AO，BO＝DO＝2，
∴D（0，﹣2）．
若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB，
∵OA＝CO=17，BO＝2，
∴DO=172，
∴D（0，−172），
综上所述：点D的坐标为（0，﹣2），（0，−172）．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）①求线段CD的长；
②求证：△CBD∽△ABC．
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）①先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
②根据两角相等的三角形相似即可判断；
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；
（3）根据题意画出图形，分CQ＝CP，PQ＝PC，QC＝QP三种情况进行讨论．
【解答】（1）①解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12BC•AC=12AB•CD．
∴CD=BC⋅ACAB=6×810=4.8．
∴线段CD的长为4.8．
②证明：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠BCA＝90°，
∴△CBD∽△ABC
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP＝t，CQ＝t．
则CP＝4.8﹣t．
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠HCP＝90°﹣∠DCB＝∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP＝90°．
∴∠CHP＝∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴PHAC=PCBC．
∴PH8=4.8−t10．
∴PH=9625−45t．
∴S△CPQ=12CQ•PH=12t（ 9625−45t）=−25t2+4825t，
∵S△CPQ=−25t2+4825t=−25（t−125）2+288125，
∴△CPQ的面积的最大值为288125．
（3）①若CQ＝CP，如图1，
则t＝4.8﹣t．
解得：t＝2.4．
②若PQ＝PC，如图2所示．
∵PQ＝PC，PH⊥QC，
∴QH＝CH=12QC=t2．
∵△CHP∽△BCA．
∴CHBC=CPAB．
∴t26=4.8−t10，解得t=14455．
③若QC＝QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t=2411．
综上所述：当t为2.4秒或 14455秒或 2411秒时，△CPQ为等腰三角形．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别表达△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求出PN的长，设出点P的坐标，表达PN的长，求出点P的坐标即可；
（3）由PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，所以S1S2=CDCB，CDCB=CPCO，则S1S2+S2S3=2PDOB．设直线AB交y轴于点F．则F（0，163），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，易证PDG∽△OBF，所以PD：OB＝PG：OF，设P（n，−43n2+163n）（1＜n＜4），由（2）可知，PG=−43n2+203n−163，所以S1S2+S2S3=2PDOB=2PGOF=38PG=−12（n−52）2+98．利用二次函数的性质可得出最值．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴16a+4b=0a+b=4，解得a=−43b=163．
∴抛物线的解析式为：y=−43x2+163x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴4k+t=0k+t=4，
解得k=−43t=163．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB=12×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN＝4，
∴PN=83．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，−43m2+163m）（1＜m＜4），N（m，−43m+163），
∴PN=−43m2+163m﹣（−43m+163）=83．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，163）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵S1S2=CDCB=PDOB，S2S3=CPCO=PDOB，
∴S1S2+S2S3=2PDOB．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，163），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，−43n2+163n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG=−43n2+203n−163，
∴S1S2+S2S3=2PDOB=2PGOF=38PG=−12（n−52）2+98．
∵1＜n＜4，
∴当n=52时，S1S2+S2S3的最大值为98