江西省赣州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份江西省赣州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共29页。

一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分，每小题只有一个正确答案）
1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A. m＝1B. m＝﹣1C. m＝2D. m＝﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与实数根个数的关系是解题的关键
3. 在掷一枚质地均匀的硬币的试验中，下列说法正确的是（ ）
A. 随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近
B. 抛掷10次，则必有正面朝上与反面朝上各5次
C. 抛掷10次，若前9次正面朝上，则第10次必然是反面朝上
D. 抛掷10次，则不可能10次正面朝上
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的频率解答即可．
【详解】A. 随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，本选项说法正确；
B. 抛掷10次，则必有正面朝上与反面朝上各5次，本选项说法不正确；
C. 抛掷10次，若前9次正面朝上，则第10次必然是反面朝上，本选项说法不正确；
D. 抛掷10次，则不可能10次正面朝上，本选项说法不正确；
故选A．
【点睛】本题考查频率和概率，正确理解频率和概率的关系是解题的关键．
4. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟记k的几何意义并灵活运用其解题是关键．
6. 抛物线的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③若点和点在抛物线图象上，那么当，时，；④，其中正确的结论个数有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①②；由时可与x轴另一交点为，判断③；由时可判断④．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴,
∵抛物线对称轴为直线为，
∴,
∴,
②正确；
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴,
∴,
①正确；
∵对称轴为直线,与x轴的一个交点为，
∴与x轴另一交点，
∴当时，，当时，，
∴
③错误；
·.抛物线经过，
∴
∵,
∴
④正确；
正确结论有个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分）
7. 点关于原点对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的特征“横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点的对称点的特征“横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数”是解答本题的关键．
8. 如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】运用切线长定理可得是等边三角形，解题即可．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．
9. 某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设平均每月的增长率为，根据5月份的营业额为万元，7月份的营业额为万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【详解】解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
10. 已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______．
【答案】60πcm2
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm，
侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2．
故答案为：60πcm2．
【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
11. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是______.
【答案】﹣2＜x＜1
【解析】
【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式ax2＜bx+c的解集即可；
【详解】解：如图所示：
∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，
∴不等式ax2＜bx+c的解集，即一次函数在二次函数图象上方时，得出x的取值范围为：﹣2＜x＜1.
故答案为：﹣2＜x＜1.
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质和不等式的解是解题的关键.
12. 如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______．
【答案】60°或300°
【解析】
【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，可得GA=GD=AD，依据∠DAG=60°，分两种情况讨论，即可得到旋转角的度数．
【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC=GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM矩形，
∴AM=BH= AD= AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°-60°=300°．
故答案为60°或300°．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共计30分）
13. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
14. 请在如图坐标系中直接描点，画出函数的图象，并回答下列问题：

（1）抛物线的开口方向为______；
（2）抛物线的对称轴是直线______；
（3）若将抛物线的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则解析式为______．
【答案】（1）函数图象见解析，向下
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先列表格，然后画出函数图象，再根据函数图象即可得到抛物线的开口方向；
（2）根据抛物线的性质进行求解即可；
（3）根据抛物线左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
【小问1详解】
解：列表如下：
如图所示函数图象即为所求；

由函数图象可知抛物线的开口方向为向下
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
故答案为：；
【小问3详解】
解：将抛物线的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
15. 目前新型冠状病毒变种奥密克戎，仍在全世界范围肆虐．在出行时，仍需要采取以下防护措施：戴口罩；勤洗手；少聚集；重隔离；打疫苗等．赣州市某学校为了解学生对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解）进行调查．
（1）若调查一名同学，该同学对防护措施很了解是______事件（随机、必然、不可能）；
（2）在调查中，发现有4名同学对防护措施“很了解”，其中有3名男同学、1名女同学，若准备从他们中随机抽取2名，让其在班上普及防护措施，用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率（要求画出树状图或列出表格）．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）根据随机，必然和不可能事件的定义进行求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中一男一女的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：调查一名同学，该同学对防护措施可能很了解，也可能不是很了解，故此事件是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：设用A、B、C表示3名男同学，用D表示女同学，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数有6种，
∴恰好抽中一男一女的概率为．
【点睛】本题主要考查了树状图法活列表法求解概率，事件的分类，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
16. 如图，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E，B、E是半圆弧的三等分点．请你仅用无刻度的直尺：
（1）请在图①中画出一条的平行线；

（2）请在图②中画出一条直线平分面积．

【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，则即为所求；
（2）如图所示，连接交于F，作直线，则直线即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，则即为所求；
∵为的直径，
∴，
∵在中，为斜边，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接交于F，作直线，则直线即为所求；
∵B、E是半圆弧的三等分点，
∴，
∴，
∴点F为的中点，
∴为的中线，
∴直线平分的面积．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，三角形中线的性质，平行线的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
17. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．
（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用正比例函数求解的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可得到答案；
（2）如图，过作于 过作于 证明利用全等三角形的性质求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可．
【详解】解：（1）

在上，
则
把代入中，则
（2）如图，过作于 过作于








设为

解得：
所以为
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的基本性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟练应用以上知识是解题的关键．
四、解答题（本题有3小题，每题8分，共计24分）
18. 如图，在网格中（每个小正方形的边长都是1），线段的两个端点都在格点上，，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段．

（1）旋转过程中点A运动的路径长为______；
（2）在网格中用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画出线段，则点C的坐标为______；
②作出的外心O．
【答案】（1）
（2）①画图见解析，；②
【解析】
【分析】（1）由于线段在变换到的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，为半径，圆心角为90度的弧，于是利用弧长公式可计算出A点的运动路径长；
（2）①根据旋转方向和旋转角度作图即可；
②根据直角三角形的外心在斜边中点利用网格作图确定的中点即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理可得：，
∵将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴于线段在变换到的过程中，A点走过的路程为以B为圆心，为半径，圆心角为90度的弧，
∴点A的运动路径长为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图所示，线段即为所求：
∵，
∴；

②如图点O即为所求：
∵是直角三角形，即，
∴的外心O即为的中点，
∴如下图中所示，点O即为所求
【点睛】本题考查了作图—旋转变换，弧长公式及三角形的外心，掌握相关概念正确作图是解题关键．
19. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
（1）根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】（1），0.25
（2）这种摆放方式不安全，理由见解析
【解析】
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【小问1详解】
解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
把（400，0.5）代入得：，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
当P=800时，，
∴a=0.25；
【小问2详解】
解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为，
∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
20. 如图，是的内接三角形，是弦的中点，点是外一点且，连接延长与圆相交于点，与相交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，，求弦的长．
【答案】（1）见解析 （2）弦的长为．
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理和圆周角定理得到，推出，得到，即可证明是的切线；
（2）利用勾股定理求得，再利用面积法可求得，再根据垂径定理即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

∵是弦的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴弦的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．
五、解答题（本题有2小题，每题9分，共计18分）
21. 如图，甲地、乙地分别是小雨和小新两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是．

（1）若小新家地比小雨家的地多了50%，则小新家地的面积是______；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度．
（3）小雨家今年的西瓜大丰收，若种西瓜的成本是0.5元/斤，以2元/斤进行销售时，每天可销售50斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜隆价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，市场规定售价不得低于每斤1.5元，问定价为多少元时，每天获得的利润最大．
【答案】（1）360 （2）
（3）元
【解析】
【分析】（1）利用240乘以即可得；
（2）设田埂的宽度为，根据田埂、甲地、乙地三者面积之和等于整个大长方形的面积建立方程，解方程即可得；
（3）设每斤西瓜应降元，利润为w元，列出二次函数配方可得w的最大值，从而可得西瓜的售价，再根据“利润售价成本销售量”即可得．
【小问1详解】
解：由题意，小新家地的面积是，
故答案为：360．
【小问2详解】
解：设田埂的宽度为，
由题意得：，
解得，
当时，，不符题意，舍去，
答：田埂的宽度为．
【小问3详解】
解：设每斤西瓜应降元，利润为w元，
由题意得：
,
，
当时，售价为，符合题意，
∴当定价为元时，每天获得的利润最大．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键．
22. （1）观察发现
如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P填空：
①线段与的数量关系是______；
②的度数为______．

（2）深入探究
如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展应用
如图3，四边形中，，，，，，求边的长度．

【答案】（1）①；②；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3）8
【解析】
【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到，进而利用证明，由此即可得到；②由全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出
（2）同（1）证明得到，，再根据三角形外角的性质求出，则可得；
（3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得．
【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形，
，
，即．
在和中，
，
，
；
故答案为：；
②∵
∴，
，，
；
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵和都是等边三角形，
，
，即．
和中，
∵
，
，
，
，
，
∴（1）中的结论仍然成立；

（3），
是等边三角形，
∴，
如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，

∴，
是等边三角形，
，
由旋转的性质知，
，
∴
．
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形外角的性质等等，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等是解题的关键．
六、解答题（本题12分）
23. 在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①4；②点，或点，
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；
（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
∴．
∴
，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）①设直线l的解析式为，交点，
由，
可得，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最小值4．
∴的最小值是4．
②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴，即
解得：，，，
∵，，（不合题意，舍去．）
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：．
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：
综上：点，或点，．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．
x
0
1
y
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（）
0.5
0.4
a
0.2
0.16