2024江西省-三新-协同教研共同体高三上学期12月联考数学试题

这是一份2024江西省-三新-协同教研共同体高三上学期12月联考数学试题，共25页。试卷主要包含了，将本试卷和答题卡⼀并交回等内容，欢迎下载使用。


注意事项：
2023
“
年 三新
”
协同教研共同体⾼三联考
数学试卷
1.
答题前
2.
，考⽣务必将⾃⼰的姓名、 考⽣号、 考场号、 座位号填写在答题卡上.
，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.
需改动，
回答选择题时
回
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.
如
写
在本试卷上
.
⽆效
3.，将本试卷和答题卡⼀并交回.
考试结束后
4.
本试卷主要考试内容
：⾼考全部内容.
在
⼀、选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
.
是符合题⽬要求的
1.
已知复数
，，则实部为（）
A. B. 5C. 1D.
2. 抛物线的准线⽅程为（）
A.B.C.D.
3.
若奇函数
，则（）
AB.C.D.
4. 现有⼀个圆台形的杯⼦，杯⼝的内径为，杯底的内径与杯中盛满溶液时的液⾯⾼度均为 ，当
杯中盛满溶液，且该溶液的密度时，杯中溶液的质量为（）
A.B.C.D.
5. 现有个不同的⽣肖吉祥物，分 个给⽼师，其他个分给 位学⽣，每位学⽣⾄少分到 个，则这个
⽣肖吉祥物的分配⽅法共有（）
A. B.
种种
C. D.
种种
6.
已知向量
， 满⾜，，则 的最⼤值为（）
B. 2C.D. 4
7.
已知函数
A.
， 的定义域均为，则（）
，取得最⼩值
当取得最⼤值时
B. ，
当取得最⼤值时
C.与 的图象关于点对称
D.与的图象关于直线 对称
8.
已知函数恰有
4 个零点，则的取值范围是（）
AB.C.D.
、
⼆选择题
：本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的选项中，有多项符合题
在
.
⽬要求 全部选对的得
5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.
江⻄省
2017
2022
年到
年常住⼈⼝变化图如图所示，则（）
A.
江⻄省
B.
2017
2017
20226
年到年这
20226
年的常住⼈⼝在
2018
年取得最⼤值
148.70 万
江⻄省
C.
江⻄省
D.
年到
2017
年到
2017
年这
2022
年这
2022
年的常住⼈⼝的极差为
6
年的常住⼈⼝的中位数为
680
4575.04 万
4647.60 万
江⻄省
年到年这
年的常住⼈⼝的第
百分位数为
10.
A.
在等差数列中，，下列结论正确的是（）
是定值
9
的前
45
项和为
C. 24
的最⼤值为
D. 若，则的最⼩值为
11.
A.
已知曲线 的周⻓为
，斜率为 的直线 经过点，下列结论正确的是（）
B. 若 与恰有 3 个公共点，则 的取值范围为
C. 若 与恰有 2 个公共点，则 的取值范围为
D. 若 与恰有 1 个公共点，则 的取值范围为
12. 如图，在边⻓为 的正⽅形中剪掉四个阴影部分的等腰三⻆形，其中 为正⽅形对⻆线的交点，
，将其余部分折叠围成⼀个封闭的正四棱锥，若该正四
棱锥的内切球半径为 ，则该正四棱锥的表⾯积可能为（）
A.B.C.D.
，
把
三、 填空题：本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
，
，则
13.
若集合
答案填在答题卡中的横线上.
.
最⼩值为
14
若随机变量
，且 ，则 .
15. 请写出⼀个同时满⾜下列两个条件的函数： .
①增
；②函数在 上单调递.
16. 已知双曲线的两个焦点为 ， ，为上⼀点， ， ，则的离⼼率
.
为
、
四解答题
：本⼤题共 6 ⼩题，共 70 分.
、.
答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤
解
17. 如图，在梯形中，，，.
1，求 的⻓；
（ ）若
2，求 .
（
18.
）若
，在四棱锥 中，底⾯ 为正⽅形，，，.
如图
1：平⾯平⾯.
（ ）证明
（ ）若 .
2
19.
，，求直线与平⾯所成⻆的正弦值
已知某地居⺠中⻘少年、中年⼈、⽼年⼈的⼈数⽐例为，假设该地居⺠选择寒假旅游地相互独
⽴，且他们寒假去江⻄庐⼭、三清⼭旅游的概率如下表所示：
1（仅指⻘少年、中年⼈、⽼年⼈）中任选⼀⼈，求此⼈寒假去庐⼭旅游的概率；
（ ）若从该地居⺠
2，⼄分别是该地居⺠中的⼀位中年⼈、⽼年⼈，记这两⼈中寒假去三清⼭旅游的⼈数为，求
（ ）若甲
.
⻘少年
中年⼈
⽼年⼈
只去庐⼭旅游
只去三清⼭旅游
庐⼭、三清⼭都去旅游
的分布列
20.
已知点
， ，设 ，当时，线段 的中点为 ， 关于
.， 为线段 的中点，则，.
直线的对称点为例如
（ ）设 .
2.
（
21.
）求数列的通项公式
过点作 轴的垂线，垂⾜为，且该垂线与抛物线交于点，，记动点
.
的轨迹为曲线
（ ）试问为何种圆锥曲线.
2 ， 为半径的圆，过点 作圆 的两条切线，这两条切线
（ ）圆是以点为圆⼼
.
，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，
分别与相交于点，（异于点 ） 当 变化时
求的坐标由
；若不存在，请说明理.
22.
1
已知函数
；
， ， 且 .
（ ）讨论的单调性
2，，求 的取值范围；
（ ）若
3：当，且，时，恒
（ ）证明
.
成⽴
注意事项：
2023
“
年 三新
”
协同教研共同体⾼三联考
数学试卷
1.
答题前
2.
，考⽣务必将⾃⼰的姓名、 考⽣号、 考场号、 座位号填写在答题卡上.
，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.
需改动，
回答选择题时
回
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.
如
写
在本试卷上
.
⽆效
3.，将本试卷和答题卡⼀并交回.
考试结束后
4.
本试卷主要考试内容
：⾼考全部内容.
在
⼀、选择题：本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
.
是符合题⽬要求的
1.
已知复数
，，则的实部为（）
A. B. 5C. 1D.
B
【答案】
【解析】
【分析】运⽤复数乘法、加法的运算及复数的实部定义即可求得结果.
【详解】因为，所以，
5.
所以的实部为
B.
故选：
2.（）
抛物线的准线⽅程为
A. B. C. D. C
【答案】
【解析】
.
【分析】根据抛物线⽅程与准线的关系，可得答案
【详解】因为，所以，
.
所以抛物线的准线⽅程为
C.
故选：
3.
若奇函数
，则（）
A B. C. D.
A
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先确定，根据奇函数求 ，代⼊分段函数求解
，进⽽计算可得 .
【详解】因为 ，⼜因为 为奇函数，所以 ， 因为，所以 ，
.
所以
A
故选：
4.
⼀个圆台形的杯⼦，杯⼝的内径为，杯底的内径与杯中盛满溶液时的液⾯⾼度均为，当
现有
杯中盛满溶液，且该溶液的密度时，杯中溶液的质量为（）
A. B. C. D. C
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台体积计算公式计算台体体积即溶液体积，根据计算溶液
.
质量
【详解】当杯中盛满溶液时，溶液的体积， ， 根据题意，，，
所以，
.
此时杯中溶液的质量为
C
故选：
5.
现有
个不同的⽣肖吉祥物，分 个给⽼师，其他 个分给 位学⽣，每位学⽣⾄少分到 个，则这 个
⽣肖吉祥物的分配⽅法共有（）
A. B.
种种
B
C. D.
种种
【答案】
【解析】
.
【分析】先分 个给⽼师，再将剩余的 个分成 组，最后分给学⽣
【详解】分三步，先分 个给⽼师，共有种分法，
再把剩余的 个分成 组，共有种分组⽅法， 最后将分好组的吉祥物分给 位学⽣，共有种分法，
6 个⽣肖吉祥物的分配⽅法共有种，
故这
B.
故选：
6.
已知向量
，满⾜ ， ，则 的最⼤值为（）
A. B. 2C. D. 4
D
【答案】
【解析】
.
【分析】根据向量数量积的运算性质，可得答案
【详解】因为 ，所以 ，即 ， 整理得，
⼜ ，所以 ，即 ， 所以，即 ，⼜ ，
所以当 与反向时， 取得最⼤值，且最⼤值为.
D.
故选：
7.
已知函数
A.
， 的定义域均为，则（）
，取得最⼩值
当取得最⼤值时
B. ，
当取得最⼤值时
C.与 的图象关于点对称
D.与的图象关于直线对称
D
【答案】
【解析】
【分析】利⽤三⻆恒等变换与三⻆函数的图象及其性质，对每个选项逐⼀判断即可.
【详解】对于选项
：
A，．当取得最⼤值时，
，
误
，则 A 错.
对于选项
.
错误
，
B：当取得最⼤值时，，则， B
CD，
对于选项 ， ：因为
C
正确
，
所以与的图象关于直线对称， 错误D.
D
故选： .
8.
4 个零点，则的取值范围是（）
已知函数恰有
B.C.D. B
【答案】
【解析】
【分析】令 得或 ，设函数 ，函数 ，利⽤导数 判断出单调性结合图象可得答案.
【详解】令 ，得或 ， 设函数 ，则 ，当时， ，
当
当时， ，所以.
设函数 ，则 ，
时， ，
当时，，当时，，
点
所以 ，当时，， 作出 与 的⼤致图象，如图所示，由图可知， 当时，直线 与这两个函数的图象各有两个交点， 且这些交点各不相同，此时 恰有 4 个零.
B.
故选：
【点睛】关键点点睛值
：本题关键点是构造函数，利⽤导数得出函数的单调性和最⼤.
、
在
⼆选择题
：本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
每⼩题给出的选项中，有多项符合题
.
⽬要求 全部选对的得
5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.
江⻄省
2017
2022
年到
年常住⼈⼝变化图如图所示，则（）
A.
江⻄省
B.
2017
2017
20226
年到年这
20226
年的常住⼈⼝在
2018
年取得最⼤值
148.70 万
江⻄省
C.
江⻄省
D.
年到
2017
年到
2017
年这
2022
年这
2022
年的常住⼈⼝的极差为
6
年的常住⼈⼝的中位数为
680
4575.04 万
4647.60 万
江⻄省
年到年这
年的常住⼈⼝的第
百分位数为
BCD
【答案】
【解析】
.
【分析】观察图表，结合极差、中位数、百分位数公式计算即可
:万）按照从⼩到⼤的顺序排列为
【详解】由图可知，将江⻄省 2017 年到 2022 年这 6 年的常住⼈⼝（单位
4517.404518.86
4527.98
4622.10
4647.60
4666.10
，，，，，，
对于 A 项，这 6 年的常住⼈⼝在 2019 年取得最⼤值，故 A 项错误； 对于 B 项，极差4666.10-4517.40= 148.70 万，故 B 项正确；
对于 C 项，中位数为万，故 C 项正确；
对于项×，.
万，故项正确
D，因为 6
BCD.
0.8=4.8
804647.60D
所以第百分位数为
故选：
10.
， ，下列结论正确的是（）
在等差数列中
A.
是定值
9
的前
45
项和为
C. 24
的最⼤值为
D. 若，则的最⼩值为
BD
【答案】
【解析】
A
B不等式
【分析】根据等差数列的通项公式化简可判断
，根据等差数列的求和公式及性质判断
，根据均值
C“ 1” 的变形及均值不等式判断 D.
判断 ，根据
【详解】因为，
所以 ，故不能得出 是定值，故 A 错误；
9
等差数列的前
项和为
，故 B 正确；
由等差数列性质知，，所以 ，当且仅当时，等号成
⽴，故 C 错误；
因为，
当确
且仅当，即时等号成⽴，故 D 正.
BD
故选：
11.
已知曲线
，斜率为 的直线 经过点，下列结论正确的是（）
A.
的周⻓为
B. 若 与恰有 3 个公共点，则 的取值范围为
C. 若 与恰有 2 个公共点，则 的取值范围为
D. 若 与恰有 1 个公共点，则 的取值范围为
BC
【答案】
【解析】
.
【分析】由题意，作图，结合直线与圆的位置关系，可得答案
，得
，
【详解】由
则曲线表示两个关于 轴对称的半圆弧（半径为 1 ，
）
且左半圆的圆⼼为，右半圆的圆⼼为，
曲线 与 轴的交点为， ， .
A.
曲线的周⻓为， 错误
故
若直线与左半圆相切，则 ，解得 ，由图可知 . 若直线与右半圆相切，则 ，解得 ，由图可知 . 若直线经过点，则 .
若直线 经过点，则.
若直线 经过点，则.
若，
误
与恰有 1 个公共点，则 的取值范围为D 错.
若，
确
与 恰有 2 个公共点，则的取值范围为C 正.
若，
确
与恰有 3 个公共点，则 的取值范围为B 正.
BC.
故选：
12. 如图，在边⻓为 的正⽅形中剪掉四个阴影部分的等腰三⻆形，其中 为正⽅形对⻆线的交点，
，将其余部分折叠围成⼀个封闭的正四棱锥，若该正四
棱锥的内切球半径为 ，则该正四棱锥的表⾯积可能为（）
A.B. C. D. BC
【答案】
【解析】
体积解
【分析】设翻折前 ，根据三⻆形及棱锥的性质可得棱锥的⾼与斜⾼，进⽽可得四棱锥的 与表⾯积，结合内切球的性质可得.
【详解】
设翻折前，则翻折后，斜⾼，
该四棱锥的⾼ ，
.
则
.
该四棱锥的表⾯积
因为该正四棱锥内切球半径为 ，所以，即 ，
则 ，解得或或（舍）
.
故或
BC.
故选：
，
，
把
三、 填空题：本⼤题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
13.
若集合
6
【答案】
【解析】
答案填在答题卡中的横线上.
为
，则的最⼩值 .
.
【分析】先求出集合，然后由，从⽽求解
【详解】由，解得，所以 ， 因为，，所以，
.
所以的最⼩值为
故答案为： .
14.
若随机变量
，且 ，则 .
【答案】
【解析】
【分析】根据⼆项分布求⽅差和期望的公式列⽅程解
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，所以 .
故答案为：
15. 请写出⼀个同时满⾜下列两个条件的函数： .
①增
；②函数 在上单调递.
【答案】 （答案不唯⼀，形如 均可）
【解析】
.
【分析】根据，可设，再根据性质②确定 的可能取值
【详解】因为 ， ， 所以可设 ，
.
则
因为函数在上单调递增，
所以， 所以 满⾜这两个条件，
故答案为）
： （答案不唯⼀.
16. 已知双曲线的两个焦点为 ， ，为上⼀点， ， ，则的离⼼率
.
为
【答案】
【解析】
【分析】运⽤等腰三⻆形性质可得 ，由 与 相似可得
果
，进⽽可求得 ，结合双曲线定义及离⼼率公式可求得结.
【详解】在线段 上取⼀点，使得 ，如图，
因为，，所以，
所以 ，所以 .
易知与相似，则 .
设，，则有 ， 则，解得（负根舍去），
所以的离⼼率．
故答案为：.
、
四解答题
：本⼤题共 6 ⼩题，共 70 分.
、.
答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤
解
17. 如图，在梯形中，，，.
1，求 的⻓；
（ ）若
2，求 .
（ ）若
1
【答案】（ ）
2
（ ）
【解析】
1；
【分析】（
2
）利⽤正弦定理进⾏求解即可
.
（ ）利⽤余弦定理进⾏求解即可
1
【⼩问详解】
在中，由正弦定理得，
.
则
2
【⼩问
详解】
因为，所以.
由余弦定理得，
则，
.
所以
18. 如图，在四棱锥中，底⾯ 为正⽅形，，，.
1：平⾯平⾯.
（ ）证明
（ ）若 .
2，，求直线与平⾯所成⻆的正弦值
1
【答案】（ ）证明⻅解析
2
（ ）
【解析】
1
，结合线⾯垂直的判定定理可证得平⾯，进⽽可证
【分析】（
）运⽤勾股定理证得
.
得平⾯平⾯
（ ）由线⾯垂直性质可证得 .
1
【⼩问详解】
证明：在正⽅形中，，，
所以 ，所以.
⼜因为，、平⾯，所以 平⾯.
⼜ 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯.
2
【⼩问
1
详解】
，⼜，所以平⾯，
由（ ）知平⾯
⼜平⾯，所以.
⼜，，所以为坐标原点，，，的⽅向分别为 ， ， 轴的正⽅向建⽴ 如图所示的空间直⻆坐标系，
则 ，，，，.
设平⾯的法向量为， ， ， 则 ，令，得.
因，所以 ，
所以直线与平⾯所成⻆的正弦值为.
19.
已知某地居⺠中⻘少年、中年⼈、⽼年⼈的⼈数⽐例为
，假设该地居⺠选择寒假旅游地相互独
⽴，且他们寒假去江⻄庐⼭、三清⼭旅游的概率如下表所示：
⻘少年
中年⼈
⽼年⼈
只去庐⼭旅游
1（仅指⻘少年、中年⼈、⽼年⼈）中任选⼀⼈，求此⼈寒假去庐⼭旅游的概率；
（ ）若从该地居⺠
2，⼄分别是该地居⺠中的⼀位中年⼈、⽼年⼈，记这两⼈中寒假去三清⼭旅游的⼈数为，求
（ ）若甲
.
的分布列
1
【答案】（ ）
2
（ ）分布列⻅解析
【解析】
1；
只去三清⼭旅游
庐⼭、三清⼭都去旅游
【分析】（
2
）根据互斥事件的加法公式及全概率公式直接计算
与⽼年⼈去三清⼭旅游的概率，进⽽确定分布列.
（ ）根据互斥事件的加法公式分别可得中年⼈
1
【⼩问详解】
由表可知该地居⺠中⻘少年寒假去庐⼭旅游的概率为，
该地居⺠中中年⼈寒假去庐⼭旅游的概率为，
该地居⺠中⽼年⼈寒假去庐⼭旅游的概率为， 所以根据全概率公式可得，此⼈寒假去庐⼭旅游的概率为
；
2
【⼩问
详解】
由表可知该地居⺠中中年⼈、⽼年⼈寒假去三清⼭旅游的概率分别为，，
的可能取值为 ， ， ，
， ，
，
则的分布列为
20.
已知点
，，设，当时，线段的中点为，关于
.， 为线段 的中点，则，.
直线的对称点为例如
（ ）设 .
2.
（ ）求数列的通项公式
1
【答案】（ ）证明⻅解析
2
（ ）
【解析】
1；
【分析】（
2
）利⽤等⽐数列的定义证明
.
（ ）利⽤累加法求数列的通项公式
1：当 时，线段 的中点为 ，，
【详解】（ ）证明
.
则
由得，
所以 ，即 .
因为列
，所以 是以 2 为⾸项，为公⽐的等⽐数.
2：由（
）知，即，
（ ）解1
…
则，， ，
， 将以上各式相加得
.
因为，所以 .
当时， 也符合上式，故.
21. 过点作 轴的垂线，垂⾜为，且该垂线与抛物线 交于点， ，记动点
.
的轨迹为曲线
（ ）试问为何种圆锥曲线.
2 ， 为半径 圆，过点 作圆 的两条切线，这两条切线
（ ）圆是以点为圆⼼
.
，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，
分别与相交于点，（异于点 ） 当 变化时
求的坐标由
；若不存在，请说明理.
1，理由⻅解析
【答案】（ ）椭圆
2
（ ）存在定点满⾜题意
【解析】
【分析】（ ）设 .
2与圆相切可得，设切线，的斜率分别为 ，，
（ ）由直线
由⻙达定理得 ，设 ， ，联⽴切线与圆的⽅程可求出点 M
N
，进⽽
点的坐标
、
求出，由点斜式⽅程可求出直线的⽅程，进⽽可求得定点.
1
【⼩问
详解】
.
为椭圆
理由：如图所示，
设，则，，
则， .
因为圆
，所以，所以为椭.
2
【⼩问
详解】
.
存在定点满⾜题意
理由：由题可知切线的斜率存在，如图所示，
设切线⽅程为，圆，
则 ，整理得.
设切线，的斜率分别为 ， ，则 ， 是上述⽅程的两根，由⻙达定理得 .
设，，
.
由得
因为 ，所以，.
同理可得 ， .
因为，所以 ， ，
所以，
所以直线的⽅程为 ，
即 ，整理得 .
令意
，得 ，故存在定点 满⾜题.
【点睛】求解直线或曲线过定点问题的⽅法指导
1， 当作常数看待，把⽅程⼀端化为零，既然是过定点，那么这个⽅程
（ ）把直线或曲线⽅程中的变量
就要对任意参数都成⽴，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到⼀个关于 ， 的⽅程组，这个⽅程
组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（
）
2由直线⽅程确定其过定点时，若得到了直线⽅程的点斜式 ，则直线必过定点
22.
1
；若得到了直线⽅程的斜截式，则直线必过定点．
已知函数 ， ，且.
；
（ ）讨论的单调性
2，，求 的取值范围；
（ ）若
3：当，且，时，恒
（ ）证明
.
成⽴
1
【答案】（ ）答案⻅解析
2
（ ）
3
（ ）证明⻅解析
【解析】
1
，分和，结合函数单调性解不等式，结合导数判断原函数单调性；
【分析】（
2
）求导
，结合，利⽤参变分类结合恒成⽴问题分析求解；
（ ）分和
果
3（ ）分析可得，进⽽可得结.
1
【⼩问
详解】
由题意可知：，
由 ，得，且，
当时，则， 在上单调递减， 若，则，若，则， 所以 在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增， 若 ，则 ，若，则 .
所以在增
上单调递减，在 上单调递.
2
【⼩问详解】
， ， .
当时，，，所以满⾜题意；
1， ，即 ，
当时，由（ ）知当时
则，
所以，即 ，
令，，
则为减函数，则，这与⽭盾，所以不满⾜题意；
综上， 的取值范围是.
3
【⼩问详解】
.
当时，，
设，
因为 ，所以，所以， 令（，），得，
故，
.
即
【点睛】⽅法点睛：利⽤导数证明不等式的基本步骤
1；
（ ）作差或变形
2；
（ ）构造新的函数
3；
（ ）利⽤导数研究的单调性或最值
4，得到所证不等式；
（ ）根据单调性及最值
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利⽤导数求解时，⼀般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．