2024浙江省北斗星盟高二上学期12月阶段性联考试题数学含答案

这是一份2024浙江省北斗星盟高二上学期12月阶段性联考试题数学含答案，共10页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学试题
考生须知：
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.直线的倾斜角的大小是（ ）
A.B.C.D.
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A.B.C.D.
3.已知空间向量，，若，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ）
A.1B.2C.3D.4
5.在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
6.正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A.B.C.2D.
7.已知直线l与抛物线交于A、B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（ ）
A.相离B.相交C.相切D.与直线l的位置有关
8.正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A.2B.C.D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.两异面直线所成角的取值范围是
B.若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是
C.二面角的平面角的取值范围是
D.若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得
10.已知圆与圆交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A.点在圆内B.直线的方程是
C.D.四边形的面积是
11.已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两定点除外）.如图，给定的矩形中，，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线、的动点，，，其中，且直线与直线交于点P.下列说法正确的是（ ）
A.若，则P的轨迹是双曲线的一部分
B.若，则P的轨迹是椭圆的一部分
C.若，则P的轨迹是双曲线的一部分
D.若，则P的轨迹是椭圆的一部分
12.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，正六边形的边长为1，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，依次类推……对于阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为；第二个阴影的最大边长为，面积为，第三个阴影三角形的最大边长为，面积为，依次类推……下列说法正确的是（ ）
A.
B.数列是以为公比的等比数列
C.数列的前2023项和小于
D.任意两个阴影三角形的最大边都不平行
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是_____________.
14.如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________.
15.某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少_____________.（结果保留整数，参考数据：，，）
16.已知F是椭圆的右焦点，O是坐标原点，点M是的中点，椭圆上有且只有一个动点与点M的距离最近，求该椭圆的离心率的取值范围_________________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17.（本题满分10分）已知数列满足：，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，，求数列的前n项和.
18（本题满分12分）
已知圆，直线，.
（1）判断直线l是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由.
（2）若直线l与圆C交于A、B两点，且，求该直线方程.
19.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20.（本题满分12分）已知抛物线，.
（1）Q是抛物线上一个动点，求的最小值；
（2）过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值.
21.（本题满分12分）已知函数的图象与水平直线交于点，其中，记直线的斜率为，与y轴交于点.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，数列的前n项和为，求.
22.（本题满分12分）如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点.
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）求面积的最小值.
2023学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考
高二年级数学参考答案
选择题
填空题
13.214.15.143416.
8.点M在线段上运动，即动线段在内运动，
动线段在内运动，动线段在内运动，
以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示：
其中翻折至，翻折至，
在四边形，，由余弦定理可求得
11.，，；，，；
对于AB选项，，此时P的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，AB均错；
对于C选项，，此时P的轨迹既是双曲线（顶点除外），C对；
对于D选项，，此时P的轨迹既是双曲线（顶点除外），D对；
12.，，故A对，B错；
对于C选项，的前2023项和为，小于，C对；
对于D选项，记阴影三角形的最小角为，即存在正整数n，k，使得（转动k圈），其中，，……，发现（猜测）中的13无法约去，，D错；
14.取，，为一组基底，，，，
15.记2015年初牛的存栏数为，
则2024年初牛的存栏数为，，
16.经分析，椭圆上只有右顶点到点的距离最小，
设是椭圆上的点，，，
对称轴是，定义域是，，解得
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17.（1），
是以为首项，为公差的等差数列；（4分）
（2）由（1）知，，（7分）
（10分）
18.（1）直线l变形得，令
解得直线l过定点；（4分）
（2）圆，圆心C到直线l的距离记为d，
，
解得或
时，直线l的方程是；
时，直线l的方程是；
综上，直线l的方程是或.（12分）
19.（1）取中点M，连接，
在等边中，，，，
在中，，
，，与相交且都在平面内，
平面
又平面，平面平面；（4分）
（2）以M为原点，记中点为N，
分别以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
，，，
对于平面，，，
平面的一个方向量是；
对于平面，，，
平面的一个方向量是；
，
二面角的余弦值是.（12分）
20.（1）设，，
此时（4分）
（2）设直线的方程是，与抛物线联立，消x得，
设，，
则，，，
.（12分）
21.（1），，；（4分）
（2），，
……①，
……②
得
，.（12分）
22.（1），，，双曲线方程是（4分）
设，，
与双曲线联立，消x，得，
，，
解得，同理解得，
由B、C坐标可得，
解得，，
由A、D坐标可得，
与y轴交于点，
，
令，，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
C
D
B
A
B
AB
BCD
CD
ACD