湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知i是虚数单位,复数,则是( )
A.B.C.D.
2、已知一个圆锥的母线长为2,其侧面积为,则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
3、为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A.5人B.6人C.7人D.8人
4、用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,边AB平行于y轴,BC,AD平行于轴,已知四边形ABCD的面积为,则原四边形的面积为( ).
A.12B.C.D.3
5、在中,,,,则最长边( )
A.6B.12C.6或12D.
6、要得到函数的图象，只需( )
A.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C.将函数图象上所有点向左平移个单位长度
D.将函数图象上所有点向左平移个单位长度
7、如图,中,,,D为BC中点,E为AD中点,用和表示为,则( )
A.3B.C.D.
8、一个质地均匀正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体两次,并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”,事件为“两次记录的数字和大于4”,事件C为“第一次记录的数字为奇数”,事件D为“第二次记录的数字为偶数”,则( )
A.A与D互斥B.C与对立C.A与B相互独立D.A与C相互独立
二、多项选择题
9、下列有关复数说法正确的是( )
A.若复数,则B.若,则是纯虚数
C.若是复数,则一定有D.若,,则
10、已知向量,,,则下列说法正确的是( )
A.的相反向量是B.若,则
C.在上的投影向量为D.若,则
11、函数(A,,是常数,,,)的部分图象如图所示,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.在区间上单调递增
D.将的图象向左平移个单位,所得到的函数是偶函数
12、如图,四棱锥的底面ABCD为正方形,底面ABCD,则下列结论中正确的有( )
A.
B.平面SCD
C.与平面ABCD所成角是
D.AB与BC所成角等于DC与SC所成的角
三、填空题
13、在我市今年高三年级期中联合考试中,某校数学单科前10名的学生成绩依次是:
143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,
这10名同学数学成绩的60%分位数是___________.
14、在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则___________.
15、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_____.
16、已知正四面体ABCD的棱长为,且A,B,C,D四点都在球O的球面上,则球O的体积为________.
四、解答题
17、已知函数()的最小正周期为.
（1）求的值;
（2）求函数的单调递减区间.
18、已知复数(是虚数单位,),且为纯虚数(是的共轭复数)
（1）求实数m及;
（2）设复数,且复数对应的点在第二象限,求实数的取值范围.
19、新课标设置后,特别强调了要增加对数学文化的考查,某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷,试卷满分150分,并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩,按照成绩为,,…,分成了6组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分).
（1）求频率分布直方图中的x的值,并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会,试求这组中至少有1人被抽到的概率.
20、已知向量,.
（1）求的坐标以及与之间的夹角;
（2）当时,求的取值范围.
21、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A的大小;
（2）若A角平分线交BC于D,且,求面积的最小值.
22、如图,在三棱锥中,,底面ABC
（1）证明:平面平面PAC
（2）若,M是PB中点,求AM与平面PBC所成角的正切值
参考答案
1、答案：A
解析：.
故选:A.
2、答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为,
由,则,
则圆锥的体积为.
故选:A
3、答案：C
解析：依题意得：
某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，
欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，
则应抽取高三的人数为：
.
故选：C.
4、答案：B
解析：设斜二测画法中梯形的上底为长度,下底长度为b,,
则梯形的面积为:,则,
原平面图形是一个梯形,且上底为长度,下底长度为b,高为,
其面积.
故选:B
5、答案：B
解析：在中,,,,
由余弦定理得,,
化简得,解得或,
因为c是最长的边,所以,
故选:B
6、答案：D
解析：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故A错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，故B错误；
将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C错误；
将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，故D正确.故选D.
7、答案：D
解析：因为D为BC中点,E为AD中点,
所以
,
所以,则.
故选:D
8、答案：D
解析：连续抛掷这个正四面体两次,基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,.
其中事件A包括:,,,,,,,.
事件B包括:,,,,,,,,,.
事件C包括:,,,,,,,.
事件D包括:,,,,,,,.
对于A:因为事件A与D有相同的基本事件,,,,,故A与D互斥不成立.故A错误;
对于B:因为事件C与D有相同的基本事件,,,,,故C与对立不成立.故B错误;
对于C:因为,,而.因为,所以A与B不是相互独立.故C错误;
对于D:因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响,且,所以A与C相互独立.故D正确.
故选:D
9、答案：AD
解析：A:令,则,若,即有,故,正确;
B:当时,,而不是纯虚数,错误;
C:当,则,而,显然不成立,错误;
D:令,,则,故,
又,,则,
所以,正确.
故选:AD
10、答案：AC
解析：对于A:由相反向量的定义,即可得到的相反向量是;
对于B:因为,,所以.
又,且,所以,解得:.
故B错误;
对于C:因为,,所以,所以在上的投影为,
所以在上的投影向量为.
故C正确;
对于D:因为,,所以.
又,且,所以,解得:.
故D错误.
故选:AC
11、答案：AC
解析：由函数图象得:,,
所以,,,
又因为函数图象过点,
所以,即,
解得,即,,
因为,所以,
所以,
A.,故正确;
B.,故错误;
C.因为,所以,故正确;
D.将的图象向左平移个单位,所得到的函数是,非奇非偶函数,故错误;
故选:AC.
12、答案：ABC
解析：对于A选项,因为四边形ABCD为正方形,则,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,,
因为,SD,平面SBD,所以,平面SBD,
因为平面SBD,所以,,A对;
对于B选项,因为四边形ABCD为正方形,则,
又因为平面SCD,平面SCD,所以,平面SCD,B对;
对于C选项,因为平面ABCD,所以,与平面ABCD所成角是,C对;
对于D选项,因为,平面,平面ABCD,
所以,,所以,为锐角,
所以,AB与BC所成的角为直角,DC与SC所成的角为锐角,
故AB与BC所成的角不等于DC与SC所成的角,D错.
故选:ABC.
13、答案：146
解析：对10名同学的成绩从小到大进行排列:
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据,故取第6项和第7项的数据分别为:145,147;
10名同学数学成绩的60%分位数为:.
故答案为:146
14、答案：10
解析：在中,因为,,所以.
由正弦定理得:,
即,解得:.
故答案为:10
15、答案：
解析：根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有,,,共4个.
出现向上的点数和为5的概率为.
故答案:.
16、答案：
解析：正四面体ABCD的棱长为,由于正四面体ABCD的相对棱互相垂直且相等,
于是正四面体ABCD可以放置于棱长为1的正方体中,如图,
正四面体ABCD与该正方体有相同的外接球,球半径为正方体的对角线长的一半,
因此正四面体ABCD的外接球O半径,
所以球O的体积.
故答案为:
17、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由最小正周期公式得:,故,
所以,所以
（2）令,,
解得:,,
故函数的单调递减区间.是,
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
,
为纯虚数,
,解得,
故,则
（2）,
,
复数所对应的点在第二象限,
,解得,
故实数的取值范围为.
19、答案：（1）116.5
（2）
解析：（1）由频率分布直方图,,,
平均分为;
（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为,
抽取的6人中成绩位于上的有4人,编号为1,2,3,4,位于上的有2人,编号为a,b,
从这6人中任取2人基本事件有:12,13,14,1a,1b,23,24.2a,2b,34,3a,3b,4a,4b.ab共15个,其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有la,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab共9个,所以所求概率为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以,
设与之间的夹角为,
则,
因为,所以与之间的夹角为.
（2）,
因为,所以,
故的取值范围是.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理,得,
得,
得,
因为A,,,所以,即.
（2）因为,
所以.
因为,即(当且仅当时,等号成立),
所以.故面积的最小值为.
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,
所以,又底面ABC,
所以,又,
所以平面PAC,
因为平面PBC,
所以平面平面PAC;
（2）如图所示:
作,连接OM,
因为平面平面PAC,平面平面,
所以平面PBC,
则即为AM与平面PBC所成的角,
设,则,,
所以,又,
所以,
所以AM与平面PBC所成角的正切值为.