湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、若,则的共轭复数为( )
A.B.C.D.
3、设,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、已知函数是R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5、已知,且,,则( )
A.B.C.D.
6、已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆,且该圆锥的体积为,则( )
A.B.C.D.3
7、在中,,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
8、已知,,,则的最小值为( )
A.7B.C.D.
二、多项选择题
9、某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查,得出如下统计图例,则以下四个选项正确的是( )
A.周岁人群参保总费用最少
B.30周岁以上的参保人群约占参保总人群的
C.54周岁以上的参保人数最少
D.丁险种更受参保人青睐
10、如图,在棱长为2的正方体中,E,F,G分别为棱,,CD的中点,则( )
A.B.平面BEF
C.直线AB交平面EFC于点P,则D.点到平面BEF的距离为
11、下列各式中,值为的是( )
A.B.
C.D.
12、若函数满足:①,恒有,
②,恒有,
③时,,则下列结论正确是( )
A.
B.,,的最大值为4
C.的单调递增区间为,
D.若曲线与的图象有6个不同的交点,则实数k的取值范围为
三、填空题
13、已知,则值为________.
14、如图,在矩形ABCD中,,AC与BD交点为M,N为边AB上任意点（包含端点）,则的最大值为________.
15、甲､乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时该队获胜,比赛结束),根据以往比赛成绩,甲队主客场安排依次为“主主客客主客主”,设甲队主场取胜的概率为0.8,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是__________.
16、已知的边,且,则的面积的最大值为___________.
四、解答题
17、已知函数.
（1）若,求在的单调区间;
（2）若在上的最小值为,求实数m的取值范围.
18、如图,在直三棱柱中,,D是AC的中点,.
（1）求证:平面;
（2）若异面直线AC和所成角的余弦值为,求四棱锥的体积.
19、某校举行了一次高一年级数学竞赛,笔试成绩在分以上(包括分,满分分)共有100人,分成,,,,五组,得到如图所示频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数(中位数精确到0.1);
（2）为进一步了解学困生的学习情况,从数学成绩低于70分的学生中,通过分层随机抽样的方法抽取6人,再从这6人中任取人,求此3人分数都在的概率.
20、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,,已知,.
（1）求的面积;
（2）若,求c.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面QAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是QD的中点.
（1）求证:平面QCD;
（2）在棱BQ上是否存在点N使平面平面ACM成立?如果存在,求出;如果不存在,说明理由.
22、已知函数的图象经过点和点,.
（1）求函数的解析式;
（2）设,若对于任意,都有,求m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：解不等式,得或,即,
由有意义得,解得,即,
所以.
故选:C
2、答案：B
解析：,故,
故选:B.
3、答案：A
解析：当时,由可得;
当时,由可得;
故充分性满足;
当时,由可得;
当时,由,x＞0,不可得,如,但,
故必要性不满足;
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
4、答案：B
解析：二次函数的对称轴为,且开口向下,
因为是R上的增函数,
所以有,
故选:B
5、答案：A
解析：由,得,又,则,
而,,则,
所以
.
故选:A
6、答案：C
解析：令圆锥底面圆半径为,则,解得,
从而圆锥的高,
因此圆锥的体积,解得.
故选:C
7、答案：D
解析：由余弦定理可得:,,
代入中,
得,
等式两边同乘2ab得:
,
移项合并得:,
整理得:,
即,
可得或,
则三角形为等腰三角形或直角三角形,
故选:D.
8、答案：A
解析：,,,
,
当且仅当,即时取得等号.
故选:A
9、答案：ACD
解析：对于A:由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少,占比为,
其余年龄段的参保人数均比周岁人群参保人数多.
由第二个图可得,因为,所以周岁人群参保总费用最少,故A对.
对于B:由第一个图可得,30周岁以上的参保人群约占参保总人群的80%,故B错.
对于C:由第一个图可得,54周岁及以上的参保人数占参保总人数的,所以C对.
对于D:由第三个图可得,丁险种参保人群约占参保总人群的55%,所以最受青睐,所以D对.
故选:ACD.
10、答案：BCD
解析：如图,以为原点,DA,DC,所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则
,,,,,,,,
因为E,F,G分别为棱,,CD的中点,
所以,,,
对于A,因为,,所以,所以A错误,
对于B,因为,,,
所以,,
所以,,即,,
因为,BE,平面BEF,所以平面BEF,所以B正确,
对于C,延长EF,DA交于点M,连接MC交AB于点P,因为F为棱的中点,
所以,因为,,所以,
所以,
因为,所以,所以,
因为,所以,所以,所以C正确,
对于D,设平面BEF的法向量为,则
,令,则,
因为,所以点到平面BEF的距离为
,所以D正确,
故选:BCD
11、答案：BD
解析：A项,,错误;
B项,
,正确;
C项,,错误;
D项,
,正确.
故选:BD.
12、答案：BCD
解析：由,得,则函数是以4为周期的周期函数,
由,得的图象关于直线对称,又当时,,
所以,A错误;
函数在上单调递增,则当时,,,
由对称性和周期性知,,,,
所以,,,B正确;
由于函数在上单调递增,而的周期为4,
所以的单调递增区间为,,C正确;
因为曲线恒过定点,且关于对称,
在同一坐标系内作出函数与的图象,如图,
观察图象知,曲线与的图象有6个不同的交点,
当且仅当,解得,D正确.
故选:BCD
13、答案：或
解析：因为,所以
＝＋.
故答案为:.
14、答案：或
解析：以点A为坐标原点,,的方向为x轴,y轴正方向,建立平面直角坐标系,
则,,,设,
所以,,则,
因为,所以,即的最大值为.
故答案为:.
15、答案：或
解析：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”
设甲队主场取胜的概率为0.8,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,
甲队以4:1获胜包含的情况有:
①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:,
②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:,
③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:,
④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:,
则甲队以4:1获胜的概率为:
.
故答案为:0.32
16、答案：
解析：由题意,设中角A,B,C所对应的边长度分别为a,b,c,则有,
由可得,整理得,
,
,,,
由正弦定理可得,
,则有.
故的面积
.
,,当时,的面积取得最大值.
故答案为:
17、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
令,解得,
在R上递增区间为,
当时,得到,当时,得到,
故函数在上的递增区间为和,递减区间为.
（2）由,得,
在上的最小值为,
的最小值为,
故,解得.
18、答案：（1）见解析
（2）4
解析：（1）在直三棱柱中,连接,交于点E,连接DE,
四边形为平行四边形,则E为的中点,
又D为AC的中点,于是,又平面,平面,
所以平面.
（2）在直三棱柱中,由,知为锐角,
显然,则为异面直线AC和所成的角,即,
由,得,,
,直三棱柱的体积
,
,
所以.
19、答案：（1）75.7
（2）
解析：（1）由,解得,
这次数学竞赛成绩的平均数为,
前组的频率和为,前3组的频率和为,
所以中位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中,数学成绩位于的有人,记为a,b.
数学成绩位于的有人,记为A,B,C,D,
从6人中任取3人,基本事件有:abA,abB,abC,abD,aAB,aAC,aAD,
aBC,aBD,aCD,bAB,bAC,bAD,bBC,bBD,bCD,ABC,ABD,
ACD,BCD,共20种,
其中3人分数都在的有ABC,ABD,ACD,BCD,共4种,
所以从6人中任取3人,分数都在的概率为.
20、答案：（1）1
（2）
解析：（1）依题意,,,,
则,即,
由余弦定理得,即,有,又,
则,,
所以的面积.
（2）由正弦定理得,因此,
而,解得,所以.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由侧面QAD是正三角形,M是QD的中点,得,
由正方形ABCD,得,而平面平面ABCD,平面平面,
且平面ABCD,则平面QAD,又平面QAD,于是,
而,CD,平面QCD,
所以平面QCD.
（2）取AD的中点E,AB的中点P,连接,连接PQ,连接,连接OG,
于是,由正方形ABCD,得,则,令,
显然G是正AQD的中心,,,
又平面平面ABCD,平面平面,则平面ABCD,
AC,平面ABCD,即有,,而,QE,平面PQE,
则平面PQE,平面PQE,在平面PQE内过O作交PQ于H,
显然,而,AC,平面ACM,因此平面ACM,
连接AH并延长交QB于N,连接CN,于是平面平面ACM,
过H作,则有,,,
,,则,又,,
从而点F是线段PO的中点,,过P作交QB于T,
于是,即,显然,因此,
所以在棱BQ上存在点N使平面平面ACM成立,.
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）依题意可,解得,
所以.
（2）因为且,所以且,
因为,
所以在的最大值可能是或,
因为
,
所以,
只需,即,
设,,
因为在上单调递增,在上单调递增,
所以在上单调递增,
又,,即,所以.
所以m的取值范围是.