四川省眉山市东坡区松江镇初级中学2022-2023九年级上12月月考数学试题

这是一份四川省眉山市东坡区松江镇初级中学2022-2023九年级上12月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了二次根式中x的取值范围是，下列计算正确的是，下列说法正确的是，把抛物线y＝等内容，欢迎下载使用。

A．x≥﹣2B．x≥2C．x≥0D．x＞﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．÷D．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≤1C．k＜1且k≠0D．k≤1且k≠0
4．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，a≥0”是不可能事件
6．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
7．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边的中点．连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7题 8题 9题
8．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
9．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
10．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
11．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10%B．15%C．20%D．25%
12.如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段
OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：
①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（每小题4分，共24分）
13.方程x2 =2x的解是
14．已知：a，b在数轴上的位置如图所示，
化简代数式：＝ ．
15．在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝（x﹣1）2﹣m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”号连接）．
16．已知k＝＝＝，则k的值为 ．
17．如图，在Rt△BAC中，延长斜边BC到点D，且DC：CB＝1：2，
连结AD，若tanB＝2，则tan∠DAC＝ ．
18．如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD＝3，AB＝7，则线段MN的取值范围是 ．
三．解答题（19题、20题每小题8分，21-25题各10分，26题12分）
19.计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0．
20．给出以下式子：（﹣）÷，先化简，然后从﹣1，2，4+2三个数中，选个合适的数代入求值．
21．△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出将△ABC向下平移两格，再向右平移一格后的△A2B2C2中的点A2、点B2的坐标；
（3）画出以点B为位似中心在异侧将△ABC放大到2倍的
△A3BC3．
22．某中学举行钢笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中相关信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是 度；
（2）请将条形统计图补全；
（3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学均来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级钢笔书法大赛，请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率．
23．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：
①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？
②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W为多少元？
24．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB（结果保留根号）
25．如图①，在锐角三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）证明：DM＝DA；
（2）点G在BE上（如图②），且∠BDG＝∠C，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B（如图3），若BG＝2，求EH的长？
26．将抛物线y＝（x-1）2向左平移1个单位，再向下平移4个单位长度得到新的抛物线y＝ax2+bx+c．
（1）求a，b，c的值；
（2）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D为此抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，若，求点D的坐标；
（3）如图3，点P为y轴上一点，过点P的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于点M，N，当∠MCN＝90°时，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x≥2C．x≥0D．x＞﹣2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知：x+2≥0，
∴x≥﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．÷D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；
B、3与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项正确；
D、原式＝3+4+4＝7+4，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≤1C．k＜1且k≠0D．k≤1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
4．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形中位线定理和三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴CE＝AE．
∴DE＝BC，
∵S△DEB＝1，
∴S△BCE＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，熟练掌握并运用三角形中位线定理是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，a≥0”是不可能事件
【分析】根据随机事件概率的定义，分别对选项进行判断即可．
【解答】解：A．投掷硬币是随机事件，每次正面的概率是，但不能保证一定有的正面向上，
故A不正确；
B．明天的降水概率为40%，只能说明明天有40%的机会降雨，
故B不正确；
C．篮球队员在罚球线上投篮是随机事件，
故C正确；
D．∵a是实数，
∴a可以是正数，负数、零，
∴a≥0是可能事件，
故D不正确；
故选：C．
【点评】本题考查概率的意义，熟练掌握随机事件概率的意义，能够准确判断所给事件的意义是解题的关键．
6．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
7．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边的中点．连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据正方形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△ABF∽△GDF，则＝2，进而求得AF＝4，AG＝6，再证明CG为△ABE的中位线即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DGF，∠ABF＝∠GDF，
∴△ABF∽△GDF，
∴，
∵G为CD边的中点，
∴，
∴＝2，
∵FG＝2，
∴AF＝2GF＝4，
∴AG＝AF+FG＝6，
∵，CG∥AB，
∴CG为△ABE的中位线，
∴AE＝2AG＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题关键．
8．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】由DE∥BC，EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理．利用排除法即可求得答案．
【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，∴＝，正确；
B、∵DE∥BC，EF∥AB，∴，正确；
C、∵DE∥BC，EF∥AB，∴，错误；
D、∵DE∥BC，EF∥AB，∴，正确；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键注意找到对应线段，注意数形结合思想的应用．
9．如图，正方形ABCD中，点E为BC的中点，CG⊥DE于点G，BG延长交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于点N．下列结论：①DE＝CN；②；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝60°；⑤GN+EG＝BG．其中正确结论的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】作BI⊥CN于点I，BJ⊥DE交DE的延长线于点J，设AB＝2m，由四边形ABCD是正方形，点E为BC的中点，得DC＝CB＝AD＝2m，BE＝CE＝m，∠DCE＝∠CBN＝90°，即可证明△DEC≌△CNB，得DE＝CN，可判断①正确；
由BN∥DC，证明△BNH∽△DCH，得＝＝＝，可判断②正确；
由CH＝2NH，得CN＝3NH，则＝，所以S△DEC＝S△CNB﹣3S△BNH，可判断③正确；
由EG∥BI，证明＝＝1，则CG＝IG，再证明△BEJ≌△CGE，得BJ＝CG＝IG，即可证明Rt△BGJ≌Rt△BGI，得∠BGN＝∠BGJ＝∠EGN＝45°，可判断④错误；
由∠CGE＝∠CBN＝90°，∠GCE＝∠BCN，证明△CGE∽△CBN，得＝，所以＝＝，则CG＝2EG，再证明△BIN≌△CEG，得BI＝CG＝2EG，NI＝EG，因为∠IBG＝∠IGB＝45°，所以GI＝BI＝2EG，则GN+EG＝4EG，由勾股定理得BG＝2EG，则BG＝4EG，于是得GN+EG＝BG，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：作BI⊥CN于点I，BJ⊥DE交DE的延长线于点J，设AB＝2m，
∵四边形ABCD是正方形，点E为BC的中点，
∴DC＝CB＝AD＝2m，BE＝CE＝m，∠DCE＝∠CBN＝90°，
∵CG⊥DE于点G，
∴∠CGD＝∠EGN＝90°，
∴∠CDE＝∠BCN＝90°﹣∠DCN，
∴△DEC≌△CNB（ASA），
∴DE＝CN，CE＝BN＝m，
故①正确；
∵BN∥DC，
∴△BNH∽△DCH，
∴＝＝＝＝，
故②正确；
∵CH＝2NH，
∴CN＝NH+2NH＝3NH，
∴＝＝，
∴S△DEC＝S△CNB﹣3S△BNH，
故③正确；
∵EG∥BI，
∴＝＝1，
∴CG＝IG，
∵∠J＝∠CGE＝90°，∠BEJ＝∠CEG，BE＝CE，
∴△BEJ≌△CGE（AAS），
∴BJ＝CG＝IG，
∵∠J＝∠BIG＝90°，BG＝BG，
∴Rt△BGJ≌Rt△BGI（HL），
∴∠BGJ＝∠BGN＝∠EGN＝45°，
∴∠BGN≠60°，
故④错误；
∵∠CGE＝∠CBN＝90°，∠GCE＝∠BCN，
∴△CGE∽△CBN，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴CG＝2EG，
∵∠BIN＝∠CGE＝90°，∠BNI＝∠CEG，BN＝CE，
∴△BIN≌△CEG（AAS），
∴BI＝CG＝2EG，NI＝EG，
∵∠IBG＝∠IGB＝45°，
∴GI＝BI＝2EG，
∴GN+EG＝GI+NI+EG＝4EG，
∵BG＝＝2EG，
∴BG＝×2EG＝4EG，
∴GN+EG＝BG，
故⑤正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】连接BC，由勾股定理得AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，则AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出△ABC是等腰直角三角形，则∠BAC＝45°，即可得出结果．
【解答】解：连接BC，如图3所示；
由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，
∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴sin∠BAC＝，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
11．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+1B．y＝（x+1）2﹣1
C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10%B．15%C．20%D．25%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：30（1﹣x）2＝24.3，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝（x﹣1）2﹣m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y3＜y1 ．（用“＜”号连接）．
【分析】先根据函数解析式确定出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的对称性和增减性得出结论
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣m，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是二次函数y＝（x﹣1）2﹣m图象上的三点，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（5，y1），
∵5＞2＞1，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
14．如图，在Rt△BAC中，延长斜边BC到点D，且DC：CB＝1：2，连结AD，若tanB＝2，则tan∠DAC＝ ．
【分析】过点C作CH⊥AD，交AD于点H，根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的三角函数解答即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，
∵∠ACH＝∠BAC＝90°，
∴AB∥CH，
∴△DCH∽△DBA，
∴＝，
∴＝＝，
设CH＝k，
∴AB＝3k，
∴AC＝6k，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴tan∠CAD的值为，
故答案为：．
【点评】此题考查解直角三角形，关键是根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的三角函数解答．
15．已知k＝＝＝，则k的值为 2或﹣1 ．
【分析】根据等比性质即可得出结论．
【解答】解：（1）当a+b+c≠0时，
∵k＝＝＝，
∴＝＝2，
∴k＝2．
（2）当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，
则k＝＝＝＝﹣1．
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查的是比例的性质，熟知比例性质是解答此题的关键．
16．如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD＝3，AB＝7，则线段MN的取值范围是 2≤MN≤5 ．
【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的判定解答，然后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大矩形分析解答即可．
【解答】解：∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM＝CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，
∴PN＝BD，PN∥BD，
∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
∵PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝PN＝BD，
∴MN＝BD，
∴点D在AB上时，BD最小，
∴BD＝AB﹣AD＝4，MN的最小值2；
点D在BA延长线上时，BD最大，
∴BD＝AB+AD＝10，MN的最大值为5，
∴线段MN的取值范围是2≤MN≤5．
故答案为：2≤MN≤5．
【点评】此题考查了旋转的性质，关键是根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定解答．
17．已知：a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式：＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的性质＝|a|开平方，再结合数轴确定a﹣1，a+b，1﹣b的正负性，然后去绝对值，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝|a﹣1|﹣|a+b|+|1﹣b|，
＝1﹣a﹣（﹣a﹣b）+（1﹣b），
＝1﹣a+a+b+1﹣b，
＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简和性质，关键是正确把握绝对值的性质．
三．解答题（共9小题）
18．给出以下式子：（﹣）÷，先化简，然后从﹣1，2，4+2三个数中，选个合适的数代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]×
＝[﹣]×
＝×
＝，
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴x＝4+2，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算、二次根式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、二次根式的乘除法法则是解题的关键．
19．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移1个单位得到新的抛物线y＝ax2+bx+c．
（1）求a，b，c的值；
（2）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D为此抛物线上一点，直线AD交y轴于点E，若，求点D的坐标；
（3）如图3，点P为y轴上一点，过点P的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于点M，N，当∠MCN＝90°时，求点P的坐标．
【分析】（1）由平移的性质，即可求解；
（2）证明，即可求解；
（3）证明tan∠MCG＝tan∠CNH，得到，即，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣2（x+1）﹣3＝x2﹣4；
（2）过点D作DH⊥x轴于点H，
令y＝x2﹣4＝0，则x＝±2，即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），
则AO＝BO＝2，
则，
∵，
∴
即AH＝5，则xD＝3，
则点D（3，5）；
（3）过点C作x轴的平行线交过点N和y轴的平行线于点H，交过点M和y轴的平行线于点G，
设点P的坐标为：（0，t），设直线MN的表达式为：y＝kx+t，
设点M、N的坐标分别为：（m，m2﹣4）、（n，n2﹣4），
联立y＝x2﹣4和y＝kx+t得：x2﹣4﹣kx﹣t＝0，
则mm＝﹣t﹣4，
∵∠MCN＝90°，则∠NCH+∠MCG＝90°，
∵∠NCH+∠CNH＝90°，
∴∠MCG＝∠CNH，
∴tan∠MCG＝tan∠CNH，
∴，即，
即mn＝﹣1＝﹣t﹣4，
则t＝﹣3，
即点P（0，﹣3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．
20．△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出将△ABC向下平移两格，再向右平移一格后的△A2B2C2中的点A2、点B2的坐标；
（3）画出以点B为位似中心将△ABC放大到2倍的△A3BC3．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于平移变换的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）延长AB到A3使BA3＝2BA，延长CB到C3使BC3＝2BC，则△A3BC3满足条件，利用同样方法在位似中心B的同侧得到△A′3BC′3．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（3，0），；点B2的坐标为（2，﹣2）；
（3）如图，△A3BC3（或△A′3BC′3）为所作．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了平移变换．
21．某中学举行钢笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中相关信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是 108 度；
（2）请将条形统计图补全；
（3）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学均来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级钢笔书法大赛，请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率．
【分析】（1）先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数，再用360°乘以三等奖人数所占比例即可得；
（2）根据各奖项的人数之和等于总人数求出一等奖的人数，从而补全图形；
（3）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为16÷40%＝40（人），
∴扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108；
（2）一等奖人数为40﹣（8+12+16）＝4（人），
补全图形如下：
（3）一等奖中七年级人数为4×＝1（人），九年级人数为4×＝1（人），则八年级的有2人，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的有4种结果，
所以所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：
①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？
②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W为多少元？
【分析】①根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式．
②根据①中的函数关系式求得利润最大值．
【解答】解：①设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，
（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，
解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，能使每天利润为640元．
②设利润为y：
则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
＝﹣20x2+560x﹣3200
＝﹣20（x﹣14）2+720，
∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
23．如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB（结果保留根号）
【分析】作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE＝DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．
【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，
则CF＝＝＝＝x，
在直角△ABE中，AB＝x+BF＝4+x（米），
在直角△ABF中，tan∠AEB＝，则BE＝＝＝（x+4）米．
∵CF﹣BE＝DE，即x﹣（x+4）＝3．
解得：x＝，
则AB＝+4＝（米）．
答：树高AB是米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
24．如图①，在锐角三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，F为AC上一点，且∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）证明：DM＝DA；
（2）点G在BE上（如图②），且∠BDG＝∠C，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B（如图3），若BG＝2，求EH的长？
【分析】（1）证明∠A＝∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，又∠A＝∠AFE，∠AFE＝∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC＝∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE＝EH•EC，又BE＝EC，所以EH＝BG＝2．
【解答】（1）证明：∵DM∥EF，
∴∠AMD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠A，
∴∠AMD＝∠A，
∴DM＝DA．
（2）证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，
∵∠AFE＝∠A，
∴∠BDE＝∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE＝∠C+∠FEC，
∵∠BDG＝∠C，
∴∠GDE＝∠FEC，
∴△DEG∽△ECF．
（3）如图3所示，
∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴，
∴BD2＝BG•BE，
∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠AFE﹣∠CFH＝∠EFH，
又∵∠FEH＝∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴，
∴EF2＝EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF＝DM＝DA＝BD，
∴BG•BE＝EH•EC，
∵BE＝EC，
∴EH＝BG＝2．
【点评】此题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用相似三角形的性质证明线段线段．
25．．
【分析】先准确化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：
＝+1﹣4×+4
＝5．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确化简各式是解题的关键．
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