浙江省宁波市奉化区实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省宁波市奉化区实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．2a+1＜2b+1D．m2a＞m2b
3．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．若a＝b，那么|a|＝|b|
4．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．50°B．65°C．80°D．100°
5．（3分）若不等式组的解集为x＜m，则m的取值范围为（ ）
A．m≤1B．m＝1C．m≥1D．m＜1
6．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，若则BE的长度是（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
7．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，若AB＝3，BC＝4，则△ABD的面积为（ ）
（ ）
A．1B．C．D．
8．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7B．6≤m＜7C．6≤m≤7D．6＜m≤7
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，当AM＝AB时（ ）
A．3B．2C．2+2D．3+3
10．（3分）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，其中EC与BD共线．若BD＝6，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．7
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）请用不等式表示“x的4倍与3的和不大于2”： ．
12．（4分）直角三角形两直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的中线长为 ．
13．（4分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，若∠BAC＝100°，则∠EAD＝ °．
15．（4分）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，连接CD，AC落在CE处，交AB于F，AD＝7，则EF＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
18．（6分）如图，在5×5的方格纸ABCD中，已知格点P（顶点均在小方格的顶点上）．
（1）在图1中画一个Rt△PQR，使点Q在AD上，点R在BC上；
（2）在图2中画一个等腰三角形PEF，使点E在AD上，点F在CD上．
19．（6分）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，连结AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，AC上，连结CD，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系
22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元
（3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低
23．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，若动点P从点B开始，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求CP的长．
（2）出发几秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长．
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
24．（12分）在四边形ABCD中，△OAB和△OCD有公共顶点O，且△OAB≌△OCD．
（1）如图1，O是边BC上的一点．若AD∥BC．求证：AO＝DO．
（2）如图1，O是边BC上的一点．若∠AOD＝80°，连接AC、BD，求∠DEC的度数．
（3）如图2，B、O、C三点不在一条线上，且∠AOB＝90°2+BC2＝50，AO＝3，求△OAB的面积．
2023-2024学年浙江省宁波市奉化实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．（3分）已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．2a+1＜2b+1D．m2a＞m2b
【答案】D
【解答】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，故A成立；
B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，故B成立；
C、∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴5a+1＜2b+6；故C成立；
D、∵a＜b，m2≥0，
∴m7a≤m2b，故D不成立；
故选：D．
3．（3分）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．若a＝b，那么|a|＝|b|
【答案】A
【解答】解：A、两直线平行，两直线平行，符合题意；
B、若a＝b2＝b2的逆命题是若a8＝b2，那么a＝b，是假命题；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，不符合题意；
D、若a＝b，那么a＝b，不符合题意；
故选：A．
4．（3分）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．50°B．65°C．80°D．100°
【答案】C
【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，
故选：C．
5．（3分）若不等式组的解集为x＜m，则m的取值范围为（ ）
A．m≤1B．m＝1C．m≥1D．m＜1
【答案】A
【解答】解：，
∵不等式组的解集为x＜m，
∴m≤1．
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8若则BE的长度是（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
【答案】C
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝10，
∵AE＝7，
∴由勾股定理得：BE＝＝5，
故选：C．
7．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，若AB＝3，BC＝4，则△ABD的面积为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解答】解：延长BD交AC于点E，
在 Rt△ABC中，AB＝3，
∴，
∵CD平分∠ACB，且BD⊥CD，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴BC＝CE＝4，AE＝8﹣4＝1，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7B．6≤m＜7C．6≤m≤7D．6＜m≤7
【答案】D
【解答】解：由7﹣2x≤3得，x≥3，
∵x＜m，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式组的正整数解有5个，
∴其整数解应为：3、4、7、6，
∴m的取值范围是6＜m≤2．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，当AM＝AB时（ ）
A．3B．2C．2+2D．3+3
【答案】B
【解答】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，
∴PB+PM＝B'P+PM≥B'M，
∴PB+PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB于H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝5，
在Rt△BB'H中，B'H＝B'B•sin60°＝6×，
HB＝B'B•cs60°＝6×＝3，
∴AH＝2，
∵AM＝AB，
∴AM＝8，
∴MH＝1，
在Rt△MHB'中，B'M＝＝，
∴PB+PM的最小值为2，
故选：B．
10．（3分）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，其中EC与BD共线．若BD＝6，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．7
【答案】B
【解答】解：如图，设∠B为∠1，∠CDE为∠3，
∵△ABC为等腰三角形，BD＝3，
∴∠1＝∠2，CD＝6，
∵∠2+∠3＝∠8+∠4＝90°，
∴∠3＝∠5，
结合两图，可得AB＝AD+，
设AB为x，
根据勾股定理得＝，
∴，
解得：x＝，
∴AB＝，
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）请用不等式表示“x的4倍与3的和不大于2”： 4x+3≤2 ．
【答案】4x+3≤2．
【解答】解：根据题意得：4x+3≤5．
故答案为：4x+3≤8．
12．（4分）直角三角形两直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的中线长为 2.5cm ．
【答案】2.5cm．
【解答】解：由勾股定理得，斜边长为：，
则斜边上的中线长为：×5＝2.7（cm），
故答案为：2.5cm．
13．（4分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 26 本．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，
由题意得：，
解得：5＜x≤6.2，
∵x为非负整数，
∴x＝6．
∴这些书共有：3×6+8＝26（本）．
故答案为：26．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，若∠BAC＝100°，则∠EAD＝ 20 °．
【答案】20．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝80°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20．
15．（4分）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为 4﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝4，
∴BC＝＝＝2，
∵AB＝6，AC＝4，
∴AC3+BC2＝44+（2）2＝16+20＝36＝62＝AB5，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×6×2﹣﹣3．
故答案为：4﹣7．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，连接CD，AC落在CE处，交AB于F，AD＝7，则EF＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：延长AD，交BC于点G，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠B＝∠ACB，AG⊥BC，
∵BC＝10，
∴，
∵CE⊥AB，
∴∠BFC＝90°，
∴∠B+∠BCF＝90°，
∵∠B＝∠C＝∠BCF+∠ACD+∠ECD，
∴2∠BCF+∠ACD+∠ECD＝90°，
由折叠的性质可知∠ACD＝∠ECD，AC＝EC，
∴∠BCF+∠ECD＝45°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴AG＝AD+DG＝7+3＝12，
在Rt△ACG中，＝13，
∴CE＝AB＝AC＝13，
∵S△ABC＝，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
18．（6分）如图，在5×5的方格纸ABCD中，已知格点P（顶点均在小方格的顶点上）．
（1）在图1中画一个Rt△PQR，使点Q在AD上，点R在BC上；
（2）在图2中画一个等腰三角形PEF，使点E在AD上，点F在CD上．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【解答】解：（1）如图1中，△PQR即为所求；
（2）如图2中，△PEF即为所求（答案不唯一）．
19．（6分）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．
（1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°
【答案】（1）4cm；
（2）5°．
【解答】解：（1）∵AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，
∴BC＝12×6÷3＝8（cm），
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BC＝4cm；
（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝45°，
∠ADE是△ABD的一个外角，
∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+45°＝85°，
在直角三角形ADE中∠DAE＝90°﹣85°＝7°．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，连结AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）AD的长是2．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB＝AC，DC＝EC，
∴∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
（2）解：∵△BCD≌△ACE，AE＝1，
∴BD＝AE＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣1＝2，
∴AD的长是3．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，AC上，连结CD，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系
【答案】（1）20°；
（2）2α＝β．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝80°．
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．
（2）设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣4（α+x）°．
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝7α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β．
22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元
（3）在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低
【答案】（1）A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元．
（2）有三种采购方案：
方案一：采购10台A型空调，20台B型空调；
方案二：采购11台A型空调，19台B型空调；
方案三：采购12台A型空调，18台B型空调；
（3）费用最低的方案是采购10台A型空调，20台B型空调；最低费用是110000元．
【解答】解：（1）设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元．
由题意可列：，
解得 ．
答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元．
（2）设采购A型空调m台，则采购B型空调（30﹣m）．
由题意可列：，
解得：10≤m≤．
∵m为正整数，
∴m＝10，11．
∴有三种采购方案：
方案一：采购10台A型空调，20台B型空调；
方案二：采购11台A型空调，19台B型空调；
方案三：采购12台A型空调，18台B型空调；
（3）设总费用为w元，
w＝5000m+3000（30﹣m）＝2000m+90000，
∴当m＝10时，w＝110000，
当m＝11时，w＝112000，
当m＝12时，w＝114000，
∴费用最低的方案是采购10台A型空调，20台B型空调．
23．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，若动点P从点B开始，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求CP的长．
（2）出发几秒钟后，CP恰好平分△ABC的周长．
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【答案】（1）2；
（2）3；
（3）3或6或6.5或5.4．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，
∴AC＝＝＝6，
∵P从点B开始，按B→A→C→B，
∴出发2秒后，BP＝4，
由勾股定理得：PC＝＝＝4；
（2）设t秒后，CP恰好平分△ABC的周长，
此时，BP＝2t，
由题意可知，P点不可能位于线段BC和AC上，
则6+4t＝10+8﹣2t，
解得：t＝4；
（3）①当P在AB上、BP＝BC＝6时，
解得：t＝3；
②当P在AC上、CP＝CB＝6时，
则2t＝8+6，
解得：t＝6；
③当P在AB上，PC＝PB时，
如图1，过点P作PH∥AB交BC于H，
∵PC＝PB，PH⊥BC，
∴CH＝HB，
∵PH∥AB，
∴CP＝AP＝AC＝5，
∴2t＝8+5，
解得：t＝3.5；
④当P在AC上，BP＝BC时，
如图2，过点B作BE⊥AC于E，
∵S△ABC＝BC•AB＝，
∴×7×8＝，
解得：BR＝4.8，
∴CE＝＝3.3，
∴2t＝8+10﹣4.2，
解得：t＝5.4，
综上可得：t＝3或6或6.5或5.6时，△BCP为等腰三角形．
24．（12分）在四边形ABCD中，△OAB和△OCD有公共顶点O，且△OAB≌△OCD．
（1）如图1，O是边BC上的一点．若AD∥BC．求证：AO＝DO．
（2）如图1，O是边BC上的一点．若∠AOD＝80°，连接AC、BD，求∠DEC的度数．
（3）如图2，B、O、C三点不在一条线上，且∠AOB＝90°2+BC2＝50，AO＝3，求△OAB的面积．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）50°；
（3）6．
【解答】（1）证明：∵△OAB≌△OCD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠AOB，∠ADO＝∠COD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO；
（2）解：如图1，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠AOB＝∠COD＝＝50°，OA＝OC，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°，
∴∠ACO＝∠OAC＝＝25°，
同理可得：∠BDO＝25°，
∴∠BDO＝∠ACO，
∴∠DEC＝∠COD＝50°；
（3）解：如图2，
作DE⊥OA，交OA的延长线于E，交CO的延长线于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOF+∠AOF＝90°，∠DOF＝90°，
∴∠AOD+∠AOF＝90°，
∴∠AOD＝∠BOF，
∵OB＝OD，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴DE＝BF，OF＝OE，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
BF6+CF2＝BC2，
∴BF6+（3+OF）2＝BC3①，
同理可得，
AE2+DE2＝AD6，
∴（OE﹣OA）2+BF2＝AD8，
∴（OF﹣3）2+BF7＝AD2②，
①+②得，
2OF6+2BF2+18＝AD3+BC2＝50，
∴OF2+BF8＝16，
∴OB2＝16，
∴OB＝4，
∴S△OAB＝．