特训06 期中解答压轴题（七大题型归纳，含全等三角形的四大模块应用）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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题型1：三角形的三边关系、内角和在全等三角形中的应用；
题型2：全等三角形；
题型3：一元一次不等式；
题型4：垂直平分线、角平分线的判定与性质在全等三角形中的应用；
题型5：等腰三角形的判定与性质在全等三角形中的应用；
题型6：勾股定理在全等三角形中的应用；
题型7：勾股定理的应用.
题型1：三角形的三边关系、内角和在全等三角形中的应用
1．已知点为的外角的平分线上一点．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，试比较与的大小关系；
(3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点P作,则,再证可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论；
（2）如图：延长至M，使得,连接，先证可得，再根据三角形的三边关系可得，即，最后根据即可解答；
（3）如图：在上截取，连接，先证可得，,即，进而说明；再证可得，最后根据线段的和差即可解答．
【解析】（1）解：如图：过点P作,则,

∵，
∴,
∴，
∵,,
∴．
（2）解：如图：延长至M，使得,连接，

∵为的角平分线，
∴,
∵,
∴，
∴
在中，，即，
∵,
∴．
（3）解：如图：在上截取，连接，

由（1）可得：
∵,
∴，
∴，,
∴，即
∵
∴，
∴,
∵,
∴,
∴，
∵．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
2．如图，在和中，为边上一点，平分，，．

(1)求证：；
(2)如图2，若，连接交于，为的边上一点，满足，连接交于点．
①求的度数；
②若平分，试说明：平分．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）①由证明，得出，在和中，由三角形内角和定理得出可；②由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，，得出，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵平分，
∴．
在和中，
∴（）．
（2）①解：在和中，
∴（），
∴．
在和中，
∵，
∴．
②证明：对图形标注、，点在的延长线上，如图所示．

由（）得：，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
3．（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 ；则中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即；
（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．
【解析】解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至，使，连接，

，，，
，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
题型2：全等三角形
4．在四边形中．

(1)如图1，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．
小林同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，他的结论是 ；
(2)如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)，见解析
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【解析】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长到点G，使，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在△AEF和△AEG中，
，
∴，
∴．
∴．
（3）结论：．
理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形．．
5．【基本模型】

如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：．
【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）；
（3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解．
【解析】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
故答案为：；
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
故答案为：；
（3）结论：．
理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则，
，，，，
又，
，
，
又，
，
、、三点共线，
在和中，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。
6．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．

(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证：
(3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)8
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：8；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，

∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点E，点M，点，三点共线时，最大值为12，最小值为6，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
7．如图，在四边形中，，，，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动，点、、同时出发，当其中一个点到达终点时，另外两个点也随之停止运动，设移动时间为．

(1)如图1，连接、，当时，的值为______；
(2)如图2，当以、、为顶点的三角形与全等时，求出相应和的值；
(3)如图3，连接、交于点，当且时，试证明：．
【答案】(1)
(2)，或，
(3)见解析
【分析】（1）当时，由，推出，列出方程即可解决问题；
（2）当时或当时，分别列出方程即可解决问题；
（3）如图连接交于只要证明，推出，可得，，推出，即．
【解析】（1）解：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
故答案为：；
（2），
当时，有，，即①，
②，
由①、②联立并解得：，
当时，有，，即③，
④，
由③、④联立并解得：，
综上所述，当，或，时，以、、为顶点的三角形与全等；
（3）且时，，而，
，
点在点、之间，
，，
，
如图3中，连接交于

，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，二元一次方程组的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．已知四边形中，，点E在边上，连接、，．

(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若E为中点，求证：平分；
(3)如图3，在(2)条件下，以E为顶点作，的两边与、分别交于图F、H，，，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）过点E作于G，则，进而判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
（2）过点E作于M，则，进而判断出，得出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（3）先判断出，设与的交点记点N，进而判断出，得出，，再判断出，得出，再判断出，进而判断出，即可求出答案．
【解析】（1）解：证明：如图1，过点E作于G，

则，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点E作于M，

则，
∵，，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：由（1）知，
由（2）知，平分，
∴，
即，
∴，
如图3，设与的交点记点N，

由（2）知，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
由（2）知，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，垂直的判断方法，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
9．（1）【初步探索】如图①，在四边形中，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论．他的结论应是_____．
（2）【灵活运用】如图②，在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）【延伸拓展】如图③，在四边形中，，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．

【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可证明和，即可得到；
（2）延长到点G，使，连接，也可证明和，即可得到；
（3）延长到点G，使，连接，也可证明和，根据得到即可解答．
【解析】解：（1）延长到点G，使，连接，

在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）仍成立，理由如下：
延长到点G，使，连接，
∵，，
∴，

在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
（3），证明如下：
延长到点G，使，连接，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
10．在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由；
(2)在（1）的条件下，当时，那么___________度；
(3)设，．
①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)90
(3)①，理由见解析；②图见解析，
【分析】（1）由题意易证，即可利用“”证明，即得出；
（2）由全等三角形的性质得出．再根据，即得出，即；
（3）①根据（1）同理可证，即得出．再根据，即得出，即；②根据题意补全图形，再同理可证，即得出．最后结合三角形外角的性质，即可求证出，即．
【解析】（1）解：，理由如下：
，
，即．
在和中，，
，
；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：90；
（3）①，理由如下：
由（1）同理可证，
．
，
，
；
②补全图形，如图所示，
同理可证，
．
∵，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
11．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；
(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．
【答案】(1)见解析，；
(2)见解析．
(3)或．
【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
（2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题；
（3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题．
【解析】（1）证明：如图1，∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：（2）如图2，过F点作于D点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴＝2，
∴＝，
∵
∴＝，
∴E点为中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3，
∵，，
∴，
由（1）（2）知：，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
当点E在线段BC上时，
∵，，
∴，
由（1）（2）知：，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴．
综上所述：或．
【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
12．已知，．
(1)如图1，当点在同一直线上时，连接，则和的位置关系是__________（填“”或“”）．
(2)把绕点旋转到如图2所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立？写出你的结论，并说明理由．
(3)在图1的基础上，将绕点旋转一定角度到如图3所示的，连接，，过点作于点，交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点，由得，由得，，从而得到；
（2）延长交于，设与交于点，由等量关系可知，从而证明，再根据三角形的内角和为，得出，得出结论仍然成立；
（3）过作于，过作交延长线于点，通过证明，得出，，得出，则，再通过证明，即可得出的值．
【解析】（1）解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图1，延长交于点，交于点，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
即；
（3）解：如图2，过作于，过作交延长线于点，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
同理可证，，
，
在与中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定以及性质，等腰直角三角形的性质，由三角形内角和等于，得出其中两个角的和为来证明垂直，此整法是比较常用的证垂直的作法，学生应该掌握．
13．中，，过点作．连接为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．求证：；
(3)如图3，连接，过点作于点，且满足，连接，过点作于点，若，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用相似三角形的性质可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点，点，点共线时，最大值为，最小值为，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
题型3：一元一次不等式
14．现对x，y定义一种新的运算：，(其中均不为0)，举例：．
(1)若；
①求的值．
②若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围．
(2)若对任意实数都成立，则应满足什么样的关系式？
【答案】(1)①；②；
(2)
【分析】（1）①由新定义运算的含义可得，再解方程组即可得到答案；②由结合不等式组可得，可得：，结合此时恰好有2个正整数解，可得，再解不等式组即可；
（2）由，可得，结合题意可得，从而可得答案.
【解析】（1）解：①∵，，
∴，即，
解得：，
②∵由① 得：，
∴，
，
∴即，
解得：，
∵此时恰好有2个正整数解，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意实数都成立，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，因式分解的应用，本题难度大，对学生要求高.
15．深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
【答案】(1)①7，3，4；②
(2)；
(3)，，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；
（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．
【解析】（1）解：①由题意可得：
，（为圆周率），
∵，
∴；
故答案为：7，3，4；
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有4个得，，
故；
（3）解：∵，为整数，
设，k为整数，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，1，2，3，
则，，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
16．清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检
(1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？
(2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？
(3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？
【答案】(1)当天开放的安检通道有25条．
(2)游客11：00才能随到随检．
(3)至少需要增加10条安检通道．
【分析】（1）设当天开放的安检通道有条，再建立方程，解方程即可；
（2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案；
（3）设至少需要增加条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可．
【解析】（1）解：∵（分钟），1分钟通过的人数为（人），
设当天开放的安检通道有条，
∴，
解得：，
答：当天开放的安检通道有25条．
（2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，则
，
解得：，
∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客11：00才能随到随检．
（3）设至少需要增加条安检通道，则，
，而，
解得：，
∴m的最小整数值为10．
∴至少需要增加10条安检通道．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键．
题型9：垂直平分线、角平分线的判定与性质在全等三角形中的应用
17．（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）（2）见解析（3），见解析
【分析】（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．
（2）延长到点G使，再连接, 证明，运用三角形三边关系定理计算即可．
（3）延长到点M使，连接，证明，构造半角模型证明即可．
【解析】（1）∵边上的中线，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）如图，延长到点G使，连接
∵边上的中线，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
连接，则，
在中，，
∴，
故．
（3）线段，，之间的数量关系是．证明如下：
如图，延长到点M使，连接
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了倍长中线全等模型，三角形三边关系的应用及全等三角形的判定与性质，熟练掌握模型，活用模型是解题的关键．
18．在中，平分交于点．

(1)如图1，若，则 ．（直接写出结果）
(2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数．
(3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）过点作于，作于，根据角平分线的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设，则，，据此知，结合可得答案；
（3）过点作于点，于点，，交延长线于点，证明得，从而得到平分，根据三角形外角的性质得，则，根据三角形外角的性质及平角的定义即可得到答案．
【解析】（1）解：过点作于，作于，
，
平分交于点，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：设，则，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：，
证明：如图3，过点作于点，于点，，交延长线于点，
，
平分，平分，
，
又，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
则
，
．
【点睛】本题主要三角形的内角和定理、外角的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形外角的性质．
19．如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．

(1)如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
(2)如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
(3)如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】先判断出，再用等式的性质判断出，进而判断出，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而得出，即，即可得出结论；
同的方法判断出，最后用面积建立方程求出的值，即可得出结论．
【解析】（1）证明：如图，连接，

，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
即；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，垂直平分线的性质，判断出是解本题的关键．
题型10：等腰三角形的判定与性质在全等三角形中的应用
20．已知，中，，过点A作，．

(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图2，点D是边上一动点（点D与点A、B不重合），连接、、，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作关于直线对称的，连接，若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)5
【分析】（1）根据，得，又因为，即可证是等边三角形；
（2）方法一：延长至点Q，使，连接，易得是等边三角形，则，因为，得，即，证明，即可；
方法二：过E依交延长线于点M，于点N，易得，则，因为，得，证明，即，再根据在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，得，即证；
（3）由（2）中全等知道，，结合，得是等边三角形，易知，即是等边三角形，即可证明，设，，得，即可作答．
【解析】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）证明：方法一：延长至点Q，使，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
方法二：
过E依交延长线于点M，于点N，

∴
∵易知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中．，，
∴，
∴，
所以；
（3）解：如图：

由（2）中全等知道，，
∵，
∴是等边三角形，
∵作关于直线对称的，
∴，
∴是等边三角形，
∴易证，
∴，
∴，，
∵，
∴设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．在中，，于点M，D，E分别是线段和上的动点，均不与端点重合；

(1)如图1，当时，求证：三角形是等腰三角形；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，求的值；
(3)如图3，在（2）条件下，连接，当，时，求证．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)见解析
【分析】（1）利用四边形内角和定理求出，从而可求出，再根据等腰三角形的判定即可证明；
（2）根据线段的和差求出，根据等腰三角形的判定与性质可得，从而得出，最后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）先利用三角形外角的性质和等角对等边证明，进而得出，利用等边对等角得出，结合三角形内角和定理可求，然后利用证明，得出，再利用等角对等边即可得出．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即三角形是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
22．【模型建立】（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，
①求的大小；
②，求的面积；
【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．

【答案】（1）见解析（2）；（3）6
【分析】（1）首先得到，然后证明出即可；
（2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可；
（3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为a，列方程求解即可．
【解析】证明：（1），
∴，
在和中

∴；
（2）①，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴
；
②作于点G，如图所示：

，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵点F为中点，
∴；
（3）连接，如图所示：

∵且，
∴
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
是公共部分，
∴，
设的长度为a，
则，
解得：，负值舍去，
故的长度为6．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
题型11：勾股定理在全等三角形中的应用
23．如图，等腰三角形和等腰三角形，，，连接、，点F为的中点，连接．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，过点B作的垂线，垂足为点G，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）延长至点H，使，证明得出，利用平行线的判定与性质并结合可得出，再证即可得证；
（2）延长至点H，使，则，由（1）知，则，进而可得出，然后利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：延长至点H，使，

∵点F为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：延长至点H，使，则，

由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等．
24．问题背景（1）如图1，已知是等边三角形，，过点作于点，过点作于点，求证：平分．
尝试应用（2）如图2，已知在等腰直角中，是中点，在内部作，且，连接，求和之间的数量关系．
拓展创新（3）如图3，已知中，延长至点，是的中点，过点作的垂线交的反向延长线于点，连接，请直接写出的长度．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）设与交于E，先证明得到，再由，即可证明平分；
（2）设与交于F，先证明，过点E作于N，交延长线于M，再证明得到，求出，进而求出，则在中，由勾股定理得：；
（3）如图所示，连接，过点E作于M，交延长线于N，由线段垂直平分线的性质得到，再证明，进而推出，证明，得到，利用三角形内角和定理求出，进一步求出，则，由此推出， 过点A作于T，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【解析】解：（1）设与交于点
是等边三角形
平分
（2）
设与交于点
过作于点，作于点
在中，

（3）如图所示，连接，过点E作于M，交延长线于N，
∵H是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点A作于T，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
25．我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长．
（1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出的长．
【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长．
【答案】【探索一】（1）见解析；（2）；【探索二】．
【分析】【探索—】（1）根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案；
【探索二】作，且使，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，过点作于点，则，得出，由勾股定理可得出答案．
【解析】解∶探索—（1）同意．
理由∶∵以为边向外作等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2） ∵，
∴，
∵以为边向外作等腰直角三角形，，，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴；
探索二 作，且使，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
题型12：勾股定理的应用
26．问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法．
(1)请你将的面积直接填写在横线上：______．
(2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积．
(3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积．
(4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)72
(2)S△ABC=3a2
(3)S△ABC=5mn
(4)当x为7.2时，函数y=x2+9+12−x2+4的最小值是13
【分析】（1）S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3计算即可．
（2）根据AB=5a=(2a)2+a2、BC=8a=(2a)2+(2a)2、AC=17a=a2+(4a)2，画图计算即可
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=m2+16n2=m2+(4n)2、BC=9m2+4n2=(3m)2+(2n)2、AC=2m2+n2=(2m)2+(2n)2，画图计算即可．
（4）求函数y=x2+9+12−x2+4有最小值，即y=x−02+0−32+12−x2+2−02的最小值，实际上就是求x轴上一点到0,−3以及12,2两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得
函数y=x2+9+12−x2+4的最小值是13．
【解析】（1）根据题意得：
S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3
=72．
故答案为：72．
（2）根据题意得：AB=5a=(2a)2+a2、BC=8a=(2a)2+(2a)2、AC=17a=a2+(4a)2，画图如下：
根据题意：
S△ABC=2a×4a−12×a×2a−12×2a×2a−12×a×4a
=8a2−5a2
=3a2．
（3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，AB=m2+16n2=m2+(4n)2、BC=9m2+4n2=(3m)2+(2n)2、AC=2m2+n2=(2m)2+(2n)2，
画图如下：
根据题意：
S△ABC=3m×4n−12×m×4n−12×2m×2n−12×3m×2n
=5mn．
（4）函数y=x2+9+12−x2+4有最小值，即y=x−02+0−32+12−x2+2−02的最小值，实际上就是求x轴上一点到0,−3以及12,2两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到0,−3以及12,2的距离即为所求，即122+3+22=13．
当x为7.2时，函数y=x2+9+12−x2+4的最小值是13．
【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
27．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ ，
S△EBC＝ ，
S四边形AECD＝ ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ ．
【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移）
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．
【解析】解：（小试牛刀）
由图形可得
化简可得
故答案为：，，，；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：
，则的最小值，即为的最小值
由三角形三边关系可得：，当三点共线时
∴的最小值为，米
故答案为米；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
故答案为
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
28．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB′，C′B=C′B′，
∴AC+CB=AC+ = ．
在△AC′B′中，
∵AB′＜AC′+C′B′
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
1.简单应用
（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．
2.拓展应用
如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米
【分析】1.简单应用
（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；
（2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
2.拓展应用
分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解析】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，
故答案为：C′B；AB′；
1.简单应用
（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，
EM+MC的最小值就是线段BE的长度，
BE=，
则EM+MC的最小值是，
故答案为：BE；；
（2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值，
∵∠DAB=130°，
∴∠A′+∠A″=50°，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，
故答案为：100；
2.拓展应用
如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，
由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°，
∴∠A′OB′=90°，
∴A′B′=，
答：货船行驶的水路最短路程为千米．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键．