特训09 一次函数 压轴题（浙江历年期末考题精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、解答题
1．（2022上·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴正半轴上，把沿折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处．直线交直线于点．点是轴正半轴上的一动点，点是直线上的一动点．
(1)填空：点，，坐标分别为___________；___________；___________．
(2)求的面积．
(3)连结．与全等（点与点不重合），直接写出所有满足条件的点坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】（1）利用一次函数的解析式分别代入求出点的坐标，再利用勾股定理求出的值，设利用翻折的性质结合勾股定理列方程求解即可；
（2）利用待定系数法，设，代入点的坐标求解直线的解析式，并与直线解析式联立求出点的坐标，然后求解面积即可；
（3）分类讨论：当在的延长线时或在线段上，根据，分类讨论①当时，②当时，③当时，利用全等三角形的性质通过添加辅助线计算出点的横坐标，再代入解析式中求解即可．
【解析】（1）解：由题意得：
设，得，
；
设，得，
；
在中，，
设，则，
由折叠可知，
，
在中，，
∴，
解得，
．
（2）设直线表达式为，
把代入得，
解得
∴直线表达式为
联立方程组，
解得，
．
．
（3）解：∵，
∵
∴
∵与全等；
当在的延长线时
①当时，过点作轴，过点作轴
∵
把代入时，
解得
∴
②当时，过点作轴
由题意得：
∴把代入，
解得：
∴
当点在上时，
∵点与点不重合
∴不存在
③当时，
∴把代入，
解得：
∴
【点睛】本题主要考查一次函数与三角形综合，熟练运用分类讨论，勾股定理以及全等的性质，并能够将线段长度转化为坐标计算是解决本题的关键．
2．（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C．
①求证：；
②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②存在，的值为或或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①连接，根据等腰直角三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等腰直角三角形的性质和等量代换，得出，进而得出，再根据勾股定理和等量代换，即可得出结论；②根据点的坐标，得出，再根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出是等腰直角三角形，然后分三种情况进行分类讨论：当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合；当时；当时，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可．
【解析】（1）解：设直线的解析式为，
由题意得，
解得，
∴直线的函数表达式是；
（2）解：①如图，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②存在，理由如下：
∵、，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合，
∴，
∴为等腰三角形，
∴此时；
如图，当时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
如图，当时，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
综上所述，的值为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和分类讨论思想．
3．（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．
(1)求点C的坐标和b的值；
(2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．
①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；
②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．
【答案】(1)C点坐标为，，
(2)①； ②右侧， ；左侧，
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入，即可求出b的值；
（2）①先证明，得出P为的中点，再分别求出点B和点D的坐标，根据中点坐标公式，即可得出答案；
②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，求出，，分两种情况进行讨论，E在H右侧时和E在H右侧时，分别求出点E的坐标和的面积即可．
【解析】（1）解：令，则，
∴C点坐标为，
把代入得：，解得：；
（2）解：①由轴对称性质可知：，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴P为的中点，
对于，令，则，
∴，
对于，令，则，
∴，
∴，即 ；
②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，
∵，，
∴在中，由勾股定理得，
故，
∵，
∴，，
∴根据勾股定理可得：；
(Ⅰ)当E在H右侧时，，如图所示：
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得：，
∴；
(Ⅱ) 当E在H左侧时，，此时点P在原点O，如图所示：
∴．
综上， ，或，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，数形结合，并注意分类讨论．
4．（2020上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，已知点坐标，点在直线上，横坐标为3，点是轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且．
(1)求直线的解析式以及C点坐标；
(2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
(3)如图2，连接，，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标．
【答案】(1)，C（3，4）
(2)
(3)
【分析】（1）把代入中，得，解得：，即可求解；
（2）证明，则，，，则；
（3）过点作直线的对称点，连接交直线于点，则点为所求点，即可求解．
【解析】（1）把代入中，
得，解得：，
，
把代入，得，
；
（2）作轴于点，轴于点，
是等腰直角三角形，
，，
，且，
，，
，
；
（3）点，
设，，
则，
故点在直线上，
设：直线交轴于点，
过点作直线的对称点，
直线的倾斜角为，则轴，则点，
连接交直线于点，则点为所求点，
是常数，
周长为最小，
由点、的坐标得，直线的表达式为：
联立，
解得：，
故：．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．
5．（2023上·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；
(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；
②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在等腰三角形，点P的坐标为或或．
【分析】（1）求出，用待定系数法可得直线的函数解析式为；
（2）①当，即在上时，；当，即在上时，；②，，知在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，分三种情况：若时，，当时，，当时，，分别解方程可得答案．
【解析】（1）解：，，四边形是长方形，
，
当点与点重合时，设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：①当，即在上时，如图：
；
当，即在上时，如图：
，
；
②存在等腰三角形，理由如下：
如图：
，，
，
在上时，不可能是等腰三角形，
当在上时，，
，，
若时，，
解得（舍去）或，
；
当时，，
解得或（舍去），
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
6．（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且．
①求点E的坐标；
②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②点M的坐标为或
【分析】（1）根据两条直线的关系式求出交点坐标即可；
（2）①设点E的坐标为，则点F的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程，即可得出答案；
②分，，三种情况分别求出点M的坐标即可．
【解析】（1）解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为；
（2）解：①设点E的坐标为，则点F的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为；
②当时，
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴点P与点O重合，点B与点M重合，
∴点M坐标为；
当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示：
设点M的坐标为，则，
∵点D的横坐标为4，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴点P的横坐标为：，纵坐标为：，
即，
把代入得：
，
解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，过点M作直线轴，交直线于点K，过点P作直线轴，交直线l于点Q，如图所示：
则四边形是矩形，
同理可证，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴点P的纵坐标为，横坐标为，
即，
把点代入得：
，
解得：，
符合题意，
∴，
∴点M的坐标为：；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论．
7．（2023上·浙江温州·八年级统考期末）探究通过维修路段的最短时长，素材1：如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为，，，它的路程y（m）与时间t（s）的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是．
素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．
【任务1】求段的总路程和甲车经过段的速度．
【任务2】在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y（m）与时间t（s）之间的函数图像．
【任务3】丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？
【答案】任务1：总路程：千米，速度：；任务2：见解析；任务3：47秒
【分析】（1）根据函数图象（图2）中的数据，即可作答；
（2）根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图；
（3）设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，则，根据一次函数的增减性即可作答．
【解析】任务1：由图2可知：总的路程为：千米；
段的路程为：（千米），
甲车经过段的时间为：（秒），
则甲车经过段的速度为：，
故答案为：千米，；
任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、，
根据图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间为：，
乙车经过段的时间为：，
甲车经过段的速度为：，
则乙车经过段的速度为，
即乙车经过段的时间为：，
∴乙车经过段的时间为：，
即补全函数图象如图．
任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，
记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，
则，
∵随x的增大而减小，，
∴当时，y取得最小值，最小值为秒，
即丙车在段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键．
8．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点为1宝点，理由如下：在x轴上取点，以为斜边作等腰直角三角形，可以算得一个点，它是在y轴上的，因此点为1宝点．
(1)如图①，在点，，，中，2宝点是点___________．（填“A”“B”“C”或“D”）
(2)如图①，点，，若N为4宝点，求点N的坐标．
(3)如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标．
(4)若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．
【答案】(1)D
(2)或
(3)或
(4)或
【分析】（1）在x轴上取点，由宝点的定义可知，y轴上存在点，此时点D为2宝点；
（2）连接，根据宝点的定义作图，可得点N的坐标；
（3）设2宝点为点，当在x轴上方时，过作轴于F，可证，进而得2宝点的坐标，当在x轴下方时，过作轴于H，可证明，进而得另一个符合套件的2宝点的坐标；
（4）如图，由题意可得，分别求得当点N在第一象限时，点N在第二象限时的坐标，可得答案．
【解析】（1）解：在x轴上取点，由宝点的定义可知，
点D符合，如图，此时y轴上存在点，符合题意，
故答案为D；
（2）解：如图，连接，将线段绕点T分别逆时针和顺时针旋转，可得点N的坐标，由图可得，点N的坐标为或；
（3）解：设2宝点为点
①当在x轴上方时，过作轴于F，如图所示：
∵是2的宝点，
∴
∴
∵
∴
∴，
设，则
∴
将代入得：
，解得，∴
②当在x轴下方时，过作轴于H，如图所示：
同①可证明，
∴，
设，则
∴，
将代入得：
，解得
∴
综上所述，点的坐标为（2，4）或（0，-2）
（4）解：如图，由题意可得，
①如左图，当点N在第一象限时，设点，则点，
所以符合条件的一次函数解析式为；
②如右图，当点N在第二象限时，设点，则点，
所以符合条件的一次函数解析式为．
【点睛】本题考查新定义题，准确掌握图形的特点及平面直角坐标系的相关知识是解题的关键．
9．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点与x轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)填空：___________，___________，___________．
(2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．
①当点E落在y轴上时，求点E的坐标．
②若为直角三角形，求点D的坐标．
【答案】(1)，，
(2)①，②（2，0）或）
【分析】（1）把代入，求出，得直线，再把代入，求出，得点A的坐标，最后把代入，求出；
（2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，求出，再求出，可得，即可得答案；
②分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标．
【解析】（1）解：把代入，
∵
∴，
∴直线
把代入
∴
把代入
∵
∴，
故答案为，，
（2）①∵直线
∴点C的坐标为，
如图，过点A作轴于点H，作轴于点G，
则，
∴
∴
∴点E的坐标为
②如图，
当时，由翻折得
∴，
∵，
∴，
∴
∴点D的坐标为
如图，
当时，
设，则
在中由勾股定理得：
解得：
∴
∴点D的坐标为
综上，点D的坐标为或）
【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．
10．（2021上·浙江温州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，点A在线段上，点B在x轴的正半轴上，且，点B关于点的对称点为点C，连接，设点A的横坐标为t．
(1)求k的值，并写出当时x的取值范围．
(2)当点A在线段上运动时，设的长为S．
①求S关于t的函数表达式．
②当时，求的长．
(3)当为直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)，
(2)①②
(3)的值为或3或
【分析】（1）把Q坐标代入正比例函数解析式求出k的值，根据y的范围求出x的范围即可；
（2）①把A横坐标代入正比例解析式表示出纵坐标，利用勾股定理表示出，根据表示出，即为S与t的关系式，并求出t的范围即可；
②把代入求出t的值，确定出，以及P的坐标，利用两点间的距离公式求出的长即可；
（3）当为直角三角形时，分三种情况：①如图1，当时；②如图2，当时；③如图3，当时分别进行求解．
【解析】（1）解：由题意可得，，
∴．
当时，．
（2）解：过点A作轴于点Q，
①由题意可得，，则．
∵，
∴．
②当时，．
解得．
∴，，．
∴由勾股定理可得，．
（3）解：①如图1，当时，，
∴．解得．
②如图2，当时，，
∵点B关于点P的对称点为点C，
∴．
∴，解得．
③如图3，当时，，，
∴．
∵在中，点P是BC中点，
∴．
∵在中，，
∴．
解得．
∴综上所述，当是直角三角形时，的值为或3或．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求正比例函数解析式，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，对称的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．（2022上·浙江金华·八年级校考期末）如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．
(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；
(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；
(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点D的坐标为（2，6），直线OP的解析式为y=x；
(2)S=；a=3或a=13；
(3)在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．
【分析】（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；
（2）由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（a，-a+8），由△AEN的面积公式，可得出S和a之间的函数关系式，代入数值即可得出结论；
（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况考虑：①当∠FGQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标．综上，此题得解．
【解析】（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6），
∴点A的坐标为（8，0），BCx轴．
∵直线y=-x+b经过点A，
∴0=-8+b，
∴b=8，
∴直线AD的解析式为y=-x+8．
当y=6时，有-x+8=6，
解得：x=2，
∴点D的坐标为（2，6）．
∵点P是AD的中点，
∴点P的坐标为（，），即（5，3），
设直线OP的解析式为y=kx，
∴3=5k，
解得k=，
∴直线OP的解析式为y=x；
（2）解：当x=8时，y=x=，
∴点E的坐标为（8，）．
设点N的坐标为（a，-a+8）．
∴S=××|8-a|=|8-a|，
当a8时，S=|8-a|=；
∴S=；
当S=12时，|8-a|=12，
解得：a=3或a=13；
（3）解：∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），
∴点F的坐标为（t，t），点G的坐标为（t，-t+8）．
分三种情况考虑：
①当∠FGQ=90°时，如图1所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，
解得：t=，
此时点Q的坐标为（8，）；
②当∠GFQ=90°时，如图2所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，
解得：t=，
此时点Q的坐标为（8，）；
③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），
解得：t=，
此时点F的坐标为（，4），点G的坐标为（，），
此时点Q的坐标为（8，），即（8，）．
综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求解；（3）分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况求出t值．
12．（2022上·浙江宁波·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”．
(1)已知线段AB，其中点A（1，0），点B（3，0）；
①已知直线l：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴所夹的锐角为_____，点A到直线l的距离为______，点B到直线l的距离为______；
②若线段AB与直线l：y＝﹣x﹣1“k关联”，则k的值不能是______．
A.3 B. C. D.1
③已知直线．若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围；
(2)如图2，已知边长为2的等边△PMN的顶点P（a，0）在x轴上运动，且MN⊥x轴，若该等边三角形与直线y＝x+1“2关联”，求点P横坐标a的取值范围．
【答案】(1)【答题空1-1】；【答题空1-2】；【答题空1-3】 ；
②A；③；
(2)或，．
【分析】（1）①求出E，F的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；
②根据点A到直线的距离为，点B到直线l的距离为2，即可得到结论；
③如图2中，当直线在点B的上方，且点B到直线的距离为时，，再结合①中结论，可得结论；
（2）求出两种特殊位置点P的坐标即可．设直线交y轴于，交x轴于 ．当等边在y轴的右侧时，过点P作于Q，求出此时点P的坐标，当等边在y轴的左侧，且点C到直线MN的距离为2时，同法可得P坐标，利用图象法判断即可．
【解析】（1）解：①对于直线，
令x=0，得到y=-1，令y=0，得到x=-1，
∴直线交y轴于E（0，-1），交x轴于F（-1，0），
∴OE=OF=1，
如图1中，连接AE．
∵A（1，0），
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴点A到直线l：的距离为，
过点A作直线l：的垂线AG，
同理可得：，．
∵A（1，0），点B（3，0），，
∴，
∴，
∴，
∴点B到直线l：的距离为2．
故答案为：，，2；
②∵点A到直线l：的距离为，点B到直线l：的距离为2，
线段AB与直线l： “k关联”，
∴k的值为：≤2，
∴k的值不能是3．
故选：A；
③如图2中，
由①得，当直线在AB的下方时，点A到直线的距离为时，，
当直线在点AB的上方时，且点B到直线的距离为时，过点B作于H，
∵直线平行于直线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
观察图象可知，满足条件的b的值为；
（2）解：设直线交y轴于C（0，1），交x轴于，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当等边在y轴的右侧时，过点P作于Q，如图3，
当PQ=2时，，
∴，
∴ ，
当等边在y轴的左侧，且点N到直线CD的距离为2时，过点P作于 Q，如图4，
当PQ=2时，，
∴，
∴ ．
综上所述，点或，
观察图象可知，满足条件的点P横坐标a的取值范围为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点到直线的距离，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
13．（2022上·浙江金华·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行于x轴的直线与分段函数相交于点A，B两点（点B在点A的右边），点C在AB的延长线上，当点B的纵坐标为3．
(1)求AB的长．
(2)过点B，C的分段函数图象相交于点M．
①若，求a和k的值．
②如图2，若改为，其它条件不变，经过点B的直线与OA，ME分别交于点D，E，当DB＝BE时，求n的值．
【答案】(1)6
(2)①，2；②17
【分析】（1）A、B两点是分段函数与直线的交点，且已知点B的纵坐标，即可得到点A的纵坐标，代入函数可得A、B两点的坐标，用横坐标相减即可得到AB的长．
（2）①，即可得知点C的坐标，将B、C两点的坐标代入，即可算出a和k的值．②可通过求出点D的坐标，再利用DB＝BE，求出点E的坐标，将B、E的坐标代入可以求出分段函数的a和k的值从而得到完整的函数，再将点C的纵坐标代入函数即可求出点C的坐标，最后算出BC之间的距离除以AB即可得到答案．
【解析】（1）∵A、B两点是分段函数与直线的交点，且B的纵坐标为3．
∴A（-3,3），B（3,3）
∴AB=3-（-3）=6．
（2）①∵AB=6，且
∴
∴C（6,3）
将B（3,3）与C（6,3）代入得：

解得：；
②∵与相交于点D,
∴，
∴解得，
∴
设点E的坐标为
∵DB＝BE，且B（3,3）
∴
解得
∴
将B（3,3）与代入可得
，
解得，
∴分段函数为
将C 的纵坐标3代入可得
解得，
∴
∵，且AB=6
∴
∵
∴n=17，故答案为17．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数交点坐标，分段函数的方向判断，方程组及函数的基础运算及灵活运用是本题的关键．
14．（2021上·浙江衢州·八年级统考期末）已知，如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点是点关于轴对称的点，过点作//轴，交直线于点．
(1)求点，点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处，求的值；
(3)根据第（2）的结果，连接，以为斜边作等腰Rt△MDF，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)满足条件的点的坐标为或
【分析】（1）分别令，，求出y，x的值，可得结论；
（2）如图2中，过点E作EH⊥AD于H．利用面积法证明，可得结论；
（3）如图2−1中，利用旋转法构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解即可；
【解析】（1）解：对于直线，
令，得到，，
，
令，，
解得，
；
（2）如图，过点作于，
，A，关于轴对称，
，
当 时，，
，
，
，
由翻折变换的性质可知，，
，，
，
，
；
（3）如图中，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得到，则，
取的中点，连接，则是等腰直角三角形，
，
将线段绕点逆时针旋转得到，则，
取的中点，连接，则△是等腰直角三角形，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用面积法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．（2022上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
(1)求点C的坐标及直线BC的表达式；
(2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
(3)设点E的坐标为（0，）；
①用表示点F的坐标；
②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】(1)（8，0）；y=-x+8
(2)（0，5）或（0，-3）
(3)①（m-4，m-3）；②3≤m≤
【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；
（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；
②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．
【解析】（1）令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则x=-6，
∴A（-6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（-3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴×8×AC=56，
∴AC=14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=-x+8；
（2）设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∵△DEF的面积为5，
∴DE2=5，
∴DE=，
∴，
∴y=3或y=5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
（3）①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，
∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°，
∴∠GDE=∠HEF，
∵DE=EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE=HF，GD=EH，
∴HF=3，DG=m-4=EH，
∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4，
∴F（m-4，m-3）；
②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，
此时m-3=0，
∴m=3；
当F在直线BC上时，
此时m-3=-（m-4）+8，
∴m=；
∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．
【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键．
16．（2022上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）C(4，3) （2）①PD=||，②m=或m=；（3）存在最小值，最小值是，理由见解析．
【分析】(1)由方程组，解得：，即可求解；
(2)①点P的横坐标为m，由PDy轴，得点P、D三点横坐标都为m，点D坐标为(m，)，得PD=||；②先表示出P，D，E三点坐标，分三种情况，第一种情形：点D是PE的中点时，第二种情形：点P是DE的中点时，第三种情形：点E是PD的中点时，根据中点坐标公式即可求解；综上，m=或m=；
(3)在OA上取点H，使得OH=BC，连接NH，先证△BCM≌△HON(SAS)，，BM=NH，BM+BN=NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，即可求解．
【解析】解：(1)∵直线与直线交于点C，
∴得方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为(4，3)；
(2)①点P的横坐标为m，
∵PDy轴，
∴点P、D三点横坐标都为m，
当x=m时，，
∴点D坐标为(m，)，
∴PD=∣∣；
②当x=m时，
∴点E坐标为(m，)，
而点P坐标为(m，0)，
第一种情形：点D是PE的中点时，
解得：m=；
第二种情形：点P是DE的中点时，
，
此方程无解，故不成立；
第三种情形：点E是PD的中点时，
解得：m=
综上，m=或m=；
(3)BM+BN存在最小值，在OA上取点H，使得OH=BC，连接NH，
∵C(4，3)，A(8，0)，B(0，6)，∠AOB=90°
∵AB=10，
∴CF⊥BO，
∴点F坐标为(0，3)，
∴CF垂直平分BO，
∴CB=OC=AC=5，∠BCF=∠OCF，
∴CFAO，
∴∠FCO=∠AOC，
∴∠BCM=∠HON，
∵MC=NO，CB=OH，
∴△BCM≌△HON(SAS)，
∴BM=NH，
∴BM+BN=NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，此时最小值=．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把BM+BN的值转化为NH+BN的值．