特训16 期末解答题汇编（历年经典考题50道）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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一、解答题
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）解下面的不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了不等式组的解法，正确求解是解题的关键．
(1)根据解不等式组的基本步骤是解题的关键．
(2)根据解不等式组的基本步骤是解题的关键．
【解析】（1）∵，
∴解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为．
（2）∵，
∴解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为．
2．（2022下·辽宁盘锦·七年级校考期末）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【答案】，
【分析】分别解两个一元一次不等式，得到一元一次不等式组的解集，再根据解集得到它的非负整数解即可解答．
【解析】解：，
解①得：，
解②得：，
故原不等式组的解集为，
它的所有非负整数解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知非负整数的意义即为正整数和0，是解题的关键．
3．（2022下·辽宁盘锦·七年级校考期末）已知方程组，且，求的取值范围．
【答案】
【分析】由题意知方程组两方程相加表示出，根据大于确定出的范围即可．
【解析】解：，
得：，即，
由，得到，
解得：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022上·浙江杭州·八年级校考期中）已知点．
(1)若点位于第四象限，它到轴的距离是4 ， 试求出的值：
(2)若点位于第三象限且横、纵坐标都是整数， 试求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据点位于第四象限，它到轴的距离是4 ，可得，求解即可；
（2）根据点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，得出的值，进而得出答案．
【解析】（1）解：∵点位于第四象限，它到轴的距离是4 ，
∴，
解得：；
（2）∵点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，
∴，
解得：，
∴时，点的坐标为，
当时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标特征是解本题的关键．
5．（2017下·河南周口·七年级统考期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大；
(3)点在过点且与轴平行的直线上．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用轴上点的坐标特点为纵坐标为零，进而得出答案；
（2）利用点的纵坐标比横坐标大3，进而得出答案；
（3）利用经过且平行于轴，则其横坐标为，进而得出答案．
【解析】（1）解：点，点在轴上，
，
解得：，
则，
故；
（2）解：点的纵坐标比横坐标大，
，
解得：，
故；
（3）解：点在过点且与轴平行的直线上，
，
解得：，
，
故 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，正确分析各点坐标特点是解题关键．
6．（2023上·广东广州·八年级期末）如图，点在同一条直线上，，，．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，先利用平行线的性质得出，利用等式的性质得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证．
【解析】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
7．（2022上·陕西西安·八年级统考期末）如图，点B在上，，，，求的长为多少？

【答案】
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解析】解：∵，，，
∴，
即，
得，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8．（2018下·新疆·八年级统考期末）如图，一块四边形空地，经测量，，，，，求空地的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可得出结果．
【解析】如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得，，即，
在中，∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积：（）．
9．（2023上·广西·八年级期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3．
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，利用已知条件找出全等的条件即可求证．
（2）本题主要考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等以及已知条件表示出边长即可求解．
【解析】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
又∵,
∴（两直线平行内错角相等），
在和中，
∴（）．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
∴．
10．（2022上·江苏泰州·八年级校考期末）已知与成正比例，且时．
(1)试求与之间的函数表达式；
(2)若点在这个函数图象上，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由题意可设，把条件代入可求得与的函数关系式；
（2）把代入函数解析式可求得答案．
【解析】（1）与成正比例，
可设，
当时，，
，解得，
，
与的函数关系式为；
（2）当时，代入函数解析式可得，
解得．
．
【点睛】本题主要考查待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键
11．（2023下·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）已知直线经过点，且平行于直线．
(1)求该直线的函数关系式；
(2)如果这条直线经过点，求m的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用平行直线的解析式一次项系数相等得到的值，再代入计算得的值；
（2）将代入（1）中求出的解析式，计算求解m的值即可．
【解析】（1）直线平行于直线，
代入得，
解得，
直线的函数关系式为；
（2）将代入得：，
解得．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质中两直线平行的性质：两直线平行则它们的解析式中一次项数相等，考查直线上点与解析式的关系，正确的计算是解题的关键．
12．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．

(1)求k、b和m的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出的坐标，利用三角形面积公式求解即可.
【解析】（1）∵直线与轴交于点，且经过定点,
∴,
∴,
∴直线
∵直线经过点,
∴,
∴,
把代入,
得到
（2）对于直线 令, 得到,
∴,
∴,
对于直线,令,得到,
∴,
∴,
∵,

【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，待定系数法，正确地求出函数解析式是解题的关键.
13．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）已知一次函数：，其中．
(1)若一次函数：的图象过点，求当时，的取值范围；
(2)若对于一次函数：，其中，若对任意实数，总有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与不等式（组）的综合应用：
（1）根据一次函数过，即可求出m的值，得到一次函数解析式，即可求解；
（2）根据题意可知，且在下方，即可求出n的取值范围；
熟练掌握基础知识是解题的关键．
【解析】（1）解：把代入得：
，
，
，
当时，，
解得：，
直线与轴交点坐标，
当时，．
（2）解：由题意得：直线与平行，且在的下方，
，，
．
14．（2023上·江苏·八年级期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点．
(1)求m的值与求直线的解析式；
(2)根据图象，写出关于x的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合， 一次函数与不等式之间的关系，正确根据待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点C坐标代入中求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（3）得出点B、D的坐标，进而根据四边形的面积解答即可．
【解析】（1）解：∵直线与直线相交于点．
∴，
解得；
∴，
把点，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，解得，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
15．（2022下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人/辆，乙种客车的载客量为30人/辆，某学校组织300名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共8辆，一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲车多少辆？
【答案】至少需要甲车4辆
【分析】设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8－x)辆，根据8辆客车的总载客量不少于300人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】解：设需要甲车辆，则乙车辆，由题意可得
，
解得：，
答：至少需要甲车4辆．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16．（2021下·山东临沂·七年级统考期末）一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了，从地匀速返回地用了不到，这段江水的流速为，轮船在静水中的往返速度不变，且为正整数．试求轮船在静水中速度的最小值是多少？
【答案】
【分析】设出轮船在静水中速度，根据题目中的不等关系列出不等式求解即可．
【解析】解：设轮船静水中速度为，根据题意列不等式得
解得
因为为正整数
所以的最小值为．
答：轮船静水中速度的最小值为．
【点睛】此题考查了不等式应用题，解题的关键是找到题目中的不等关系．
17．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，甲种书柜每个的价格是元，乙种书柜每个的价格是元．若我校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元，最少购买几个甲种书柜？
【答案】个
【分析】设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出答案．
【解析】解：设计划购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，依题意得：
，
解得：，
即最少购买个甲种书柜．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
18．（2023下·甘肃陇南·七年级统考期末）为丰富学生课余生活，学校准备购买象棋和围棋共副，已知象棋的单价为每副25元，围棋的单价为每副30元，其中购买围棋的数量不少于象棋数量的2倍，且总费用不超过元．设购买围棋m副，列出关于m的不等式组并求出m的取值范围．
【答案】，m的取值范围为
【分析】设购买围棋的数量为m副，则设购买象棋的数量为副，根据“购买围棋的数量不少于象棋数量的2倍，总费用不超过元”列出不等式组，解不等式组即可．
【解析】解：设购买围棋的数量为m副，则设购买象棋的数量为，根据题意得，，
解得，
答：m的取值范围为．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组是解题的关键．
19．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）某学校为提高学生的阅读能力，准备购买甲、乙两种图书共本．已知购买2本甲和1本乙共需元；购买6本甲与购买7本乙的价格相同．
(1)求这两种图书的单价；
(2)若购买甲的数量不少于本，且购买两种图书的总价不超过元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元
(2)共有3种购买方案：①购买甲本、乙本；②购买甲本、乙本；③购买甲本、乙本；购买甲本、乙本的方案费用最低，最低费用是元；
【分析】（1）设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，根据费用列方程组求解即可得到答案；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书为本，根据费用及甲的数量不少于本列不等式组求解即可得到答案；
【解析】（1）解：设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，由题意得：
，
解得，
答：甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元；
（2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书为本，
根据题意得≤1600．
解得：，
∵，
∴可以取、、．
所以，共有3种购买方案．
方案一：购买甲本、乙本，费用为：（元；
方案二：购买甲本、乙本，费用为：（元；
方案三：购买甲本、乙本，费用为：（元；
所以购买甲本、乙本的方案费用最低，最低费用是元；
【点睛】本题考查二元一次方程组及不等式组解决实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式．
20．（2023下·广东河源·八年级校考阶段练习）某种商品的进价为元，出售时标价是元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于，那么该店最多降价多少元出售该商品？
【答案】该店最多降价元出售该商品
【分析】根据，设降价元，则现在售价为，即可求解．
【解析】解：设降价元，则现在售价为，
∴，解得，，
∴该店最多降价元出售该商品．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，找出数量关系，列出不等式是解题的关键．
21．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何?大意是：在点C处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点A处折断，其竹梢点B恰好抵地，尺，求竹子折断后，留在原处的竹子的长为多少尺?（1丈尺）．

【答案】尺
【分析】由题意可得：丈=10尺，；即在中，，，然后运用勾股定理列方程求得即可．
【解析】解：由题意可得：丈=10尺，，
∴．
在中，，，
由勾股定理，得，
∴，
解得．
∴留在原处的竹子的长为尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意、发现直角三角形是解答本题的关键．
22．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端B到墙底C的距离为．

(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度．
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移吗？通过计算说明你的结论．
【答案】(1)此时梯子的顶端A距地面的高度为
(2)梯子底端B外移距离不是，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理直接求得的值；
（2）先求出的值，再利用勾股定理求出的值与比较即可．
【解析】（1）解：，，，
此时梯子的顶端A距地面的高度为；
（2）由图可知梯子的顶端A沿墙下滑后，
，，
，
，
因此梯子底端B外移距离不是．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解勾股定理的意义及区分直角边、斜边是关键．
23．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

【答案】
【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．
【解析】解：将曲面沿展开，如图所示，过作于，

在中，，，，
由勾股定理，得．
答：蜘蛛所走的最短路线是．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式解出．
24．（2019上·四川遂宁·八年级统考期末）2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为600米，假设宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）村庄能听到宣传，理由见解析；（2）村庄总共能听到8分钟的宣传．
【分析】（1）直接比较村庄到公路的距离和广播宣传距离即可；
（2）过点作于点，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．
【解析】解：（1）村庄能听到宣传，
理由：∵村庄到公路的距离为600米1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：过点作于点，
假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，
则米，米，
∴（米），
∴米，
∴影响村庄的时间为：（分钟），
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．
25．（2023上·河南周口·八年级校考期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．

(1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
(2)当，时，求图2中空白部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证；
（2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可．
【解析】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，
即，
∴，即．
（2）解：当时，，
由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，
即：空白部分面积为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法．
26．（2022上·浙江杭州·八年级期末）已知点在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)写出点的坐标；
(2)求点关于轴的对称点的坐标；
(3)求点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A在坐标系中的位置进行求解即可；
（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可；
（3）根据点平移的特点进行求解即可．
【解析】（1）解：由题意得，点A的坐标为；
（2）解：∵点B与点A关于x轴对称，点A的坐标为，
∴点B的坐标为；
（3）解：∵点C是点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的，
∴点C的坐标为，即．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和轴对称，写出坐标系中点的坐标，熟知相关知识是解题的关键．
27．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）设一次函数（k，b是常数，且）．
(1)若，此函数的图象过下列哪个点______．
A B C D
(2)若点在该一次函数的图象上，把点P先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到点，也在该函数图象上，求k的值；
(3)若，点（）在该一次函数图象上，求k的取值范围．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）把代入得，即可判断此函数的图象过点；
（2）求得点，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（3）由点（）在该一次函数图象上得到，即，根据可知，即可求得．
【解析】（1）解：若，此函数的图象过点，
故答案为：B；
（2）点，把点P先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到点，
∵和点都在（k，b是常数，且）的图象上．
∴，
解得．
（3）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能够明确题意，利用一次函数的性质是解题的关键．
28．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）甲、乙两车分别从A、B两地相向匀速行驶，甲车先出发两小时，甲车到达B地后立即调头，并保持原速度与乙车同向行驶，乙车到达A地后，继续保持原速向远离B地的方向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，设两车之间的距离为y（千米），甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的函数图像如图所示．

(1)求甲、乙两车的速度；
(2)当甲车重返A地时，乙车距离C地多少千米？
【答案】(1)甲车的速度，乙车的速度
(2)
【分析】（1）由题意结合图象可知，甲出发2小时后距离B地还有，而甲再用5个小时到达B地，由此可得甲的速度，继而由甲用7个小时到达B地，可得两地之间的距离；再由甲乙两人经过3小时相遇，即两人3小时走，可求出乙的速度；
（2）结合（1）可求出乙已走的路程和乙距离A地的距离；再利用甲从B地返回到C地追上乙，求出甲从B地到C所用的时间，继而求出两地之间的距离，然后可求出甲车重返A地时，乙车距离C地的距离．
【解析】（1）解：由题意结合图象可知甲出发2小时后距离B地还有，且用7个小时到达B地，即从第2个小时到第7个小时甲走了，
∴甲的速度为：，
∴之间的距离为．
又∵甲、乙两人经过3个小时相遇，
∴乙的速度是；
（2）解：当甲到达B地时，乙行驶的路程为，
∴乙距离A地还有，
∴甲从B地到达C地的时间为，
∴之间的距离为，
∴当甲车重返A地时，乙车距离C地的距离是．
【点睛】本题考查由函数图像获取信息，有理数混合运算的实际应用．读懂题意，看懂图像，由函数图像获取必要的信息和数据是解题关键．
29．（2021上·浙江杭州·八年级统考期末）从某地运送180箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
(1)这18辆车中大、小货车各多少辆？
(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【答案】(1)大货车9辆，小货车9辆
(2)
(3)7辆大货车、3辆小货车前往村；2辆大货车、6辆小货车前往村可使总费用最少．最少费用为11300元
【分析】（1）设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共18辆，运输180箱鱼苗，列方程组求解；
（2）设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆，根据表格所给运费，求出与的函数关系式；
（3）结合已知条件，求的取值范围，由（2）的函数关系式求使总费用最少的货车调配方案．
【解析】（1）解：设大货车辆，小货车辆，
根据题意得：，
解得：，
大货车用9辆，小货车用9辆；
（2）解：设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆，
根据题意得：，
与的函数解析式为，，且为整数；
（3）解：由题意得：，
解得：，
又，
且x为整数，
，
，随的增大而增大，
当时，最小，最小值为，
答：使总费用最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往村；2辆大货车、6辆小货车前往村．最少费用为11300元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系．
30．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）晚饭后，小明和爸爸外出休闲锻炼．他们从家出发到绿道后再返回，爸爸全程以每小时的速度匀速快走，小明匀速慢跑出发，返程时匀速步行回家．上图反映了这个过程中他们离家的路程y（千米）与时间x（小时）的对应关系．
(1)小明慢跑的速度为________千米/小时，爸爸到家时用了_______小时；
(2)爸爸到家后，小明离家还有多远的路程？
(3)出发多久后，途中爸爸与小明相遇．
【答案】(1)，
(2)小明离家还有千米
(3)出发或小时，途中爸爸与小明相遇
【分析】（1）仔细观察图象，结合题意即可得出答案；
（2）先设一次函数的解析式，然后将两点坐标代入解析式即可得出线段所表示的函数关系式；
（3）分情况讨论: ①小明往回返，爸爸还没有到达；②小明往回返，爸爸往回返相遇，进行计算即可得．
【解析】（1）解：仔细观察图象可知：小明小时跑了5千米，
∴小明慢跑的速度为（千米/小时），
∵爸爸全程以每小时的速度匀速快走，
爸爸到家时用的时间为（小时），
故答案为：，；
（2）解：设线段所表示的函数关系式为，
∵，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴小明离家还有千米．
（3）解：①小明往回返，爸爸还没有到达，
根据题意可得，直线的解析式为，
，
解得，
∴出发小时，途中爸爸与小明相遇．
②小明往回返，爸爸往回返相遇，
设线段所表示的函数关系式为，
∵，
∴，
解得，
∴，
，
解得，
∴出发小时，途中爸爸与小明相遇．
综上所述，出发或小时，途中爸爸与小明相遇．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
31．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）提升高架桥的车辆通行能力可以改善城市的交通状况．已知某高架桥上车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数关系如图所示．当时，；当时，V是x的一次函数．

(1)当时，求V关于x的函数解析式；
(2)在某一交通时段，为使该高架桥上的车流密度不小于68辆/千米，高架桥上的车流速度至多是多少？
(3)某天晚高峰经交警部门控制管理，该高架桥上的车流速度始终保持70千米/小时，这天晚高峰期间该高架桥分流了多少辆车？
【答案】(1)
(2)高架桥上的车流速度至多是60千米/时
(3)这天晚高峰期间该高架桥分流了辆车
【分析】（1）先确定点和点，再利用待定系数法即可求解；
（2）根据，可得，结合，可得，即可作答；
（3）先求出车流速度始终保持70千米/小时的时候的车流密度x，再根据车流速度V车流密度x单位小时的车流量，即可作答．
【解析】（1）设V关于x的函数解析式为，
代入点和点，可得：，
解得：，
即V关于x的函数解析式为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：高架桥上的车流速度至多是60千米/时；
（3）∵，
当时，，
解得：，
∵车流速度V车流密度x单位小时的车流量，
∴（辆），
即这天晚高峰期间该高架桥分流了辆车．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，求解一次函数解析式等知识，掌握车流速度V车流密度x单位小时的车流量，是解答本题的关键．
32．（2023下·浙江台州·八年级统考期末）如图1，有甲、乙两个圆柱体容器，高度均为，底面积分别为和．现以的速度同时往两容器中注水（注水前两容器是空的）．在整个注水过程中，设注水时间为（单位：），记甲的水位高度为（单位：），乙的水位高度为（单位：），设．

(1)当注水时，求的值．
(2)注水后，乙容器的注水速度保持不变；甲容器的注水速度先增加（单位：），注水后，再增加．直到有一个容器注满水时，停止向两容器注水．已知关于的部分函数图像如图2所示，其中平行于轴，点在轴上．
①求的值；
②求线段所在直线的解析式．
(3)当为何值时，两个容器中的水面高度相差？
【答案】(1)的值为
(2)①；②线段所在直线的解析式为
(3)当或时，两个容器中的水面高度相差
【分析】（1）根据题意可算出的注水量，根据底面积乘以高可算出甲、乙注水高度，由此即可求解；
（2）①根据函数图像可知当时，的值不变，可算出乙容器的注水高度，由此可求出甲容器的注水量及高度，根据即可求解；②根据甲的注水量及不变的情况可求点的坐标，在根据甲容器、乙容器注水的情况可求出点的坐标，设一次函数解析式为，由此即可求解；
（3）分类讨论，当时，分别算出，；当时，把代入解析式；由此即可求解．
【解析】（1）解：以的速度同时往两容器中注水，注水，
∴注水量为，
∵甲容器的底面积为，乙容器的底面积为，
∴甲容器：，解得，，乙容器：，解得，，
∴，
∴的值为．
（2）解：①由（1）可知，，从图像可知，当时，的值不变，注水后，乙容器的注水速度保持不变，注水时间为，
∴乙容器的水量为，，
∴，解得，，
∴，即，解得，；
②当时间为时，甲容器的注水量为，即，乙容器的注水量为，
∴甲容器还需要注水，乙容器还需要注水，
∴乙容器所需时间为，
∵注水后，甲容器的注水速度再增加，
∴甲容器的注水度数为，
∴甲容器所需时间为，
∴点的横坐标为，即，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴线段所在直线的解析式为．
（3）解：当时，，，
∴，解得，；
当时，，
∴，解得，；
综上所述，当或时，两个容器中的水面高度相差．
【点睛】本题主要考查函数与时间问题的综合，理解题设中的数量关系，函数图像的意义，掌握函数图像中横、纵坐标表示的函数，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
二、作图题
33．（2022上·浙江湖州·七年级统考期末）如图，根据下列要求画图：
(1)画线段的中点D，并连结；
(2)过点A画的垂线段，垂足为E；
(3)画的平分线，交于点F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图所示，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧线，交于、两点，连接交于，连接，即为所求；
（2）以点为圆心，长为半径，画弧，交于点，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点，连接交于点，即为所求；
（3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边与两点，分别以这两点为圆心，以大于两点所连线段的长为半径，画弧交于一点，连接交于点，即为所求．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，即为所求；
【点睛】本题考查作图—基本作图．熟练掌握垂线和角平分线的作图方法，是解题的关键．
34．（2022上·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，．

(1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）；
(2)连接，若，求的周长
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧即可完成作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【解析】（1）解：如图所示：直线即为所求；

（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长:，
∵，
∴的周长为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．熟记垂平分线的性质是解题关键．
35．（2023上·浙江湖州·七年级统考期末）如图，已知平面上有、、、四点，按要求进行作图（保留作图痕迹不必写作法）
(1)作过，两点的直线；
(2)过点作直线的垂线段；
(3)画一点，使得的和最小，标出点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据直线向两方无限延伸画图即可；
（2）过点B作的垂线，与交于E即可；
（3）连接、，两线的交点就是P．
【解析】（1）解：如图，直线l即为所求；
（2）如图，线段即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图，解题的关键是掌握两点之间，线段最短，以及掌握过一点作已知直线的垂线的作法．
36．（2021上·浙江·八年级期末）如图，已知，请按下列要求作图：
（1）作边上的中线．
（2）用直尺和圆规作的角平分线．
（3）用直尺和圆规作，使（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线，交BC于D，连接AD即可；
（2）利用基本作图（作已知角的平分线）作∠ACB的平分线CG；
（3）先作线段EF=BC，然后分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧交于点D，则△DEF与△ABC全等．
【解析】解：（1）如图，AD即为所作；
（2）如图，CG即为所作；
（3）如图，△DEF为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
37．（2023上·陕西渭南·八年级统考期中）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城的平面示意图安排游玩顺序，已知每个小正方格的边长均为1，表示入口处的位置，表示高空缆车的位置．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系，并标出原点O；
(2)根据（1）中建立的坐标系，攀岩的位置如何表示？表示哪个地点？
(3)求天文馆离入口处的直线距离（1格米）．
【答案】(1)见详解
(2)攀岩的位置应表示为表示激光战车
(3)米
【分析】本题考查的是平面直角坐标系，确定坐标系内点的坐标，根据点的坐标确定位置，勾股定理的应用，熟练的建立符合要求的坐标系是解本题的关键；
（1）由表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，确定坐标原点，轴与轴即可；
（2）根据攀岩在坐标系内的位置可得其坐标，再描出即可得到答案；
（3）再利用勾股定理可得天文馆离入口处的距离．
【解析】（1）解：平面直角坐标系如图所示：
（2）攀岩的位置应表示为表示激光战车．
（3）由题意可得入口处的坐标为，天文馆的坐标为，
所以天文馆离入口处的距离为米．
38．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个三角形，点的坐标是，现将三角形平移，使点A变换为点，点，分别是点B，C的对应点．

(1)请画出平移后的三角形（不写画法），并直接写出点，的坐标；
(2)若三角形内部有一点P，其平移后的对应点为，则点P的坐标是___________．
【答案】(1)图形见解析，，
(2)
【分析】（1）根据点和点的坐标，确定平移的方式，进而得到点，的坐标，再依次连接点、、，即可得到三角形；
（1）根据三角形的平移方式，即可求出点P的坐标．
【解析】（1）解：由直角坐标系可知，、，
三角形向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到平移后的三角形，
、，
，，
三角形即为所求；

（2）解：由（1）可知，三角形向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到平移后的三角形，
点P在三角形内部，其平移后的对应点为，
点P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形变化——平移，解题关键是掌握坐标平移的变化规律：左减右加，上加下减．
三、证明题
39．（2020上·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形．
【答案】见解析．
【分析】利用角平分线的性质及平行线的性质可得∠E＝∠ACE，根据等角对等边可得结论.
【解析】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EC∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴△ACE是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，即有两个角相等的三角形是等腰三角形，还涉及了两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，灵活利用角平分线的性质及平行线的性质证明角相等是解题的关键.
40．（2018上·八年级单元测试）如图，于E，于F，若、，

(1)求证：平分；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案．
【解析】（1）证明：于，于，
，
与均为直角三角形，
在与中，
，
，
，而，，
平分；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
41．（2023上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在中，，于点D．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质进行求解即可；
（2）先利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：∵，在中，，，
∴，
∵，即，
∴；
（2）解：∵在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
42．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）如图，中，，于D，平分分别与交于点E，F．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）由可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形；
（2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，由此可得的长．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
由（1）知是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
，
，
．
43．（2019上·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝6，求△ADE的周长．
（2）若∠DAE＝60°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）6；（2）120°
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，CE＝AE，求出△ADE的周长＝BC，即可得出答案；
（2）由∠DAE＝60°，即可得∠ADE+∠AED＝120°，又由DA＝DB，EA＝EC，即可求得∠BAC的度数．
【解析】解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DB＝DA，EA＝EC，
又BC＝6，
∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6，
（2）∵∠DAE＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝120°
∵DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，∠AED＝∠C+∠CAE＝2∠C
∴2∠B+2∠C＝120°
∴∠B+∠C＝60°
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°
【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
44．（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明可得，进而根据角平分线的判定定理即可求解；掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键；
（2）根据角平分线的定义可得，根据，可得，则，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可解答．掌握30度角的直角边是斜边的一半是解题的关键．
【解析】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵于点D，于点E，
∴：是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
45．（2019上·江苏苏州·八年级校考期末）如图，已知△ABC与△ADE为等边三角形，D为BC延长线上的一点．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE平分∠ACD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】(1)由等边三角形可知，从而，结论显然．
(2)在(1)的结论下，可得，而，结论显然．
【解析】解：(1)为等边三角形，为等边三角形，
，
，
，
，
在中，
．
(2)，
，
，
，
，
∴CE平分．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质, 等边三角形的性质，解题关键在于对于等量代换进而得出判定全等的条件即可.
46．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．

(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，再由可知，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论．
【解析】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴；
（2）解：∵，由（1）知，
∴．
∵为等边三角形，是中线，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于是解题的关键．
47．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论；
（2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出．
【解析】（1）证明：∵，，
∴与都为直角三角形，
∵M为的中点，
∴、为斜边的中点，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：在中，∵，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
48．（2021上·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．

(1)点，运动几秒后，，两点重合？
(2)点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由．
(3)点，运动几秒后，可得到直角三角形？
【答案】(1)12秒
(2)存在，4或16
(3)或或15或18
【分析】（1）设点M，N运动x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可；
（2）首先假设是等腰三角形，不难得到在上运动时点N在点M前方，如图所示，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值．
（3）分情况讨论，利用角所对的直角边等于斜边的一半解题即可．
【解析】（1）设点、运动秒后，、两点重合，
由题意可得：，
解得：，
即当、运动12秒时，，两点重合；
（2）当点、运动4或16秒时，存在以为底的等腰三角形，理由如下：
由（1）可知：当、运动12秒时，，两点重合，
当、分别在、上时，，
，
，成立；
如图，当、都在BC上时，，

，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
，
解得：，成立；
综上，满足条件的的值为4或16；
（3）当点在上运动时，
如图，若，

，，
，
，
，即，
解得：；
如图，若，

由，则，
解得：；
当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形；
当点在上运动时，
如图，当点位于中点处时，

由时等边三角形知，即是直角三角形，
则，
解得：；
如图，当点位于中点处时，
由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当或或15或18时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
49．（2023上·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，的一个动点，作点关于的对称点，，交直线于点．

(1)若，，是边上的高线．
①求线段的长；
②当，求线段的长；
(2)在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)①；②；
(2)或
【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案；②根据对称性，结合①中，得到即可得到；
（2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；结合条件求解即可得到答案．
【解析】（1）解：①如图，过点作，

在中，，，
，
是边上的高线，
，
即，
解得：；
②根据题意，如图所示：

点关于对称点为，
，
由①知，
则，
；
（2）如图所示：

由是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；
①当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
'是的一个外角，
，
即；
②当时，
点关于对称点为，
，
在中，，
是的一个外角，
，
即；
③当时，
点关于对称点为，
，
是的一个外角，
，
即（舍弃），
综上所述，在的情况下，或．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等面积法求高、对称性质、等腰三角形性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握三角形相关性质，作出辅助线是解决问题的关键．
50．（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C．
①求证：；
②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②存在，的值为或或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①连接，根据等腰直角三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等腰直角三角形的性质和等量代换，得出，进而得出，再根据勾股定理和等量代换，即可得出结论；②根据点的坐标，得出，再根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出是等腰直角三角形，然后分三种情况进行分类讨论：当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合；当时；当时，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可．
【解析】（1）解：设直线的解析式为，
由题意得，
解得，
∴直线的函数表达式是；
（2）解：①如图，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②存在，理由如下：
∵、，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合，
∴，
∴为等腰三角形，
∴此时；
如图，当时，
∵为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
如图，当时，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
综上所述，的值为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和分类讨论思想．
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